数字信号处理入门：从符号到 Z 变换、DFT、IIR 与 FIR

这篇文章按“你什么都不懂”的状态来写。先不急着背公式，先把每个符号、每个概念的“人话意思”弄清楚。数字信号处理最怕的不是公式多，而是看到 $x(n)$、$H(z)$、$X(k)$、$\omega$、ROC 就不知道它们在干什么。

先记住一句总纲：

$$\boxed{\text{数字信号处理，就是研究一串数字怎样变化、怎样分析频率、怎样设计滤波器。}}$$

讲义里也把数字信号处理概括为：信号是承载信息的对象，数字表示用离散数据记录，处理表示对这些数据进行分析、变换、滤波、压缩、识别或重建。

0. 先把符号看懂

1. $x(t)$ 和 $x(n)$ 是什么

$x(t)$ 表示连续时间信号。

这里的 $t$ 是连续时间，比如

$$t=0.1,\quad t=0.15,\quad t=2.367$$

都可以取。你可以把 $x(t)$ 想象成一条连续曲线，比如声音、电压、温度。

$x(n)$ 表示离散时间信号。

这里的 $n$ 只能是整数，比如

$$n=0,1,2,3,\cdots$$

所以 $x(n)$ 不是一条连续曲线，而是一串点：

$$x(0),x(1),x(2),x(3),\cdots$$

讲义里也强调，离散时间信号可以理解为一串按整数编号排列的数据点。因此：

$$x(t)=\text{连续曲线}$$ $$x(n)=\text{一串数字点}$$

考试中，看到 $n$，你就知道这是离散时间信号。

2. $y(n)$ 是什么

$x(n)$ 一般表示输入信号，$y(n)$ 一般表示输出信号。

比如一个系统把输入变成输出：

$$x(n)\rightarrow \text{系统}\rightarrow y(n)$$

也可以写成：

$$y(n)=T[x(n)]$$

这里 $T[\cdot]$ 表示系统对输入做的运算。它可以是延迟、加法、滤波、放大、差分等。讲义中也说明，离散时间系统就是把输入序列 $x(n)$ 经过某种运算后变成输出序列 $y(n)$。

3. $\delta(n)$ 是什么

$\delta(n)$ 叫单位冲激序列，也叫单位抽样序列，定义为

$$\delta(n)= \begin{cases} 1,& n=0 \\ 0,& n\ne 0 \end{cases}$$

人话解释：它就是一个只在 $n=0$ 处冒出来的单点信号。

如果写成 $\delta(n-2)$，意思是这个单点移动到 $n=2$：

$$\delta(n-2)= \begin{cases} 1,& n=2 \\ 0,& n\ne 2 \end{cases}$$

为什么它重要？因为任何离散序列都可以拆成很多个冲激点相加。比如：

$$x(n)=2\delta(n)+3\delta(n-1)-\delta(n-2)$$

意思是

$$x(0)=2,\quad x(1)=3,\quad x(2)=-1$$

4. $u(n)$ 是什么

$u(n)$ 叫单位阶跃序列，一般定义为

$$u(n)= \begin{cases} 1,& n\ge 0 \\ 0,& n<0 \end{cases}$$

人话解释：从 $n=0$ 开始，它一直等于 $1$。

所以

$$a^n u(n)$$

表示从 $n=0$ 开始的指数序列，因为 $u(n)$ 把 $n<0$ 的部分都挡掉了。

5. $h(n)$ 是什么

$h(n)$ 叫单位冲激响应。

意思是：系统输入一个 $\delta(n)$，系统输出什么，就叫 $h(n)$。

$$\delta(n)\rightarrow \text{系统}\rightarrow h(n)$$

对 LTI 系统来说，$h(n)$ 非常重要。只要知道 $h(n)$，任何输入 $x(n)$ 的输出都可以用卷积算出来：

$$y(n)=x(n)*h(n)$$

讲义中直接把冲激响应比作 LTI 系统的身份证，因为它能描述系统自身特性。

6. $*$ 是什么

$*$ 表示卷积。卷积公式是

$$y(n)=x(n)*h(n)=\sum_{m=-\infty}^{+\infty}x(m)h(n-m)$$

你现在不必一上来就怕这个公式。它的人话意思是：

$$\boxed{\text{系统输出 = 输入信号和系统冲激响应的滑动重叠求和}}$$

讲义中也解释，卷积可以理解为滑动、重叠、相乘、求和。

7. $j$ 是什么

$j$ 是虚数单位。在数学里常写 $i$，但电路和信号里常写 $j$，因为 $i$ 容易和电流混淆。

$$j^2=-1$$

复数一般写成

$$a+jb$$

其中 $a$ 是实部，$b$ 是虚部。

8. $e^{j\omega}$ 是什么

这是复指数。欧拉公式是

$$e^{j\omega}=\cos\omega+j\sin\omega$$

所以 $e^{j\omega}$ 可以理解为单位圆上的一个旋转点。在数字信号处理中，很多频率分析都用 $e^{j\omega}$ 表示，因为正弦、余弦都可以用复指数表示。

9. $\omega$ 和 $\Omega$ 有什么区别

$\omega$ 是离散时间角频率，一般出现在

$$X(e^{j\omega}),\quad H(e^{j\omega})$$

它通常只看

$$-\pi\le \omega\le \pi$$

或者

$$0\le \omega\le 2\pi$$

因为离散时间频谱具有 $2\pi$ 周期性。

$\Omega$ 是连续时间角频率，一般出现在模拟滤波器中，比如

$$H_a(j\Omega)$$

简单记忆：

$$\boxed{\omega\text{：}\text{数字频率}}$$ $$\boxed{\Omega\text{：}\text{模拟频率}}$$

10. $z$ 是什么

$z$ 是复变量，可以写成

$$z=re^{j\omega}$$

其中 $r$ 表示半径，$\omega$ 表示角度。

Z 变换就是把信号放到 $z$ 平面里分析。讲义里说，把 DTFT 中的单位圆变量 $e^{j\omega}$ 推广成一般复变量 $z=re^{j\omega}$，就得到 Z 变换。

当 $r=1$ 时：

$$z=e^{j\omega}$$

这就是单位圆。

所以：

$$\boxed{\text{DTFT 是 Z 变换在单位圆上的取值}}$$

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第一轮：Z 变换、系统函数、因果稳定、零极点分析

这一轮最重要，因为它最容易出大题。你先记住一句话：

$$\boxed{\text{Z 变换是用来分析离散系统的工具。}}$$

它能解决三个问题：第一，序列对应什么表达式；第二，系统是否因果、是否稳定；第三，零极点怎样影响频率响应。

1. Z 变换定义

Z 变换定义为

$$X(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(n)z^{-n}$$

这里每个符号都要懂：

• $x(n)$：原来的离散序列
• $X(z)$：Z 变换之后的表达式
• $n$：整数下标
• $z$：复变量
• $z^{-n}$：Z 变换里的基本项

你可以把它理解为：

$$\boxed{\text{Z 变换把时域序列 }x(n)\text{ 变成复平面函数 }X(z)}$$

2. ROC 是什么

ROC 是 Region of Convergence，中文叫收敛域。

Z 变换是一个无穷求和：

$$X(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(n)z^{-n}$$

这个求和不是对所有 $z$ 都能收敛。能让它收敛的 $z$ 的范围，就叫 ROC。

人话解释：

$$\boxed{\text{ROC 就是这个 Z 变换公式在哪些地方成立。}}$$

考试重点是：写 Z 变换时不能只写 $X(z)$，还要写 ROC。因为同一个 $X(z)$，ROC 不同，原来的 $x(n)$ 可能不同。

例如

$$X(z)=\frac{1}{1-az^{-1}}$$

如果 ROC 是

$$|z|>|a|$$

对应右边序列

$$x(n)=a^n u(n)$$

如果 ROC 是

$$|z|<|a|$$

对应左边序列

$$x(n)=-a^n u(-n-1)$$

所以：

$$\boxed{X(z)\text{ 相同，ROC 不同，}x(n)\text{ 不同}}$$

3. 右边序列、左边序列、双边序列

右边序列：从某个点开始往右有值。典型形式：

$$a^n u(n)$$

右边序列的 ROC 在最外极点之外。

左边序列：往左边有值。典型形式：

$$-a^n u(-n-1)$$

左边序列的 ROC 在最内极点之内。

双边序列：左右两边都有值，它的 ROC 通常是两个极点之间的圆环。

只要记住：

$$\boxed{\text{右边序列：ROC 向外}}$$ $$\boxed{\text{左边序列：ROC 向内}}$$ $$\boxed{\text{双边序列：ROC 在中间一圈}}$$

4. 极点和零点是什么

如果

$$X(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$$

那么：

• $P(z)=0$ 的根叫零点
• $Q(z)=0$ 的根叫极点

人话解释：

• 零点：让函数变成 $0$ 的位置
• 极点：让函数趋于无穷大或发散的位置

例如

$$H(z)=\frac{z}{z-0.5}$$

分子 $z=0$，所以零点是

$$z=0$$

分母 $z-0.5=0$，所以极点是

$$z=0.5$$

5. 单位圆是什么

单位圆就是复平面中半径为 $1$ 的圆：

$$|z|=1$$

因为

$$z=e^{j\omega}$$

时，$|z|=1$。

为什么单位圆重要？因为频率响应就是系统函数在单位圆上的取值：

$$H(e^{j\omega})=H(z)\big|_{z=e^{j\omega}}$$

但必须注意：单位圆必须在 ROC 内，频率响应才存在。所以要补一句：

$$\boxed{\text{前提：ROC 包含单位圆}}$$

6. 系统函数 $H(z)$ 是什么

对 LTI 系统，系统函数定义为

$$H(z)=Z[h(n)]$$

也就是单位冲激响应 $h(n)$ 的 Z 变换。

因为 LTI 系统满足

$$y(n)=x(n)*h(n)$$

Z 域中卷积变乘法：

$$Y(z)=X(z)H(z)$$

所以

$$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}$$

人话解释：

$$\boxed{H(z)\text{ 就是系统的数学说明书}}$$

7. 因果系统怎么判断

因果的意思是：输出不能提前知道未来。

例如

$$y(n)=x(n)+x(n-1)$$

是因果系统，因为它只用当前输入和过去输入。

但是

$$y(n)=x(n+1)$$

不是因果系统，因为它用了未来输入。

对 LTI 系统，最重要条件是

$$\boxed{\text{因果}\Longleftrightarrow h(n)=0,\quad n<0}$$

在 Z 域中，如果系统是有理系统，则

$$\boxed{\text{因果系统的 ROC 在最外极点之外}}$$

8. 稳定系统怎么判断

稳定的意思是：输入不爆炸，输出也不能爆炸。正式说法叫 BIBO 稳定，也就是

$$\boxed{\text{有界输入产生有界输出}}$$

对 LTI 系统，稳定条件是

$$\boxed{\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|h(n)|<\infty}$$

在 Z 域中，稳定条件是

$$\boxed{\text{ROC 包含单位圆}}$$

所以，如果一个系统既因果又稳定，而且是有理系统，那么所有极点必须在单位圆内：

$$\boxed{\text{因果稳定有理系统} \Longleftrightarrow \text{所有极点在单位圆内}}$$

9. 零极点怎样看滤波器

系统函数一般可以写成

$$H(z)=A\frac{\prod (z-c_m)}{\prod (z-d_k)}$$

这里 $c_m$ 是零点，$d_k$ 是极点。

在单位圆上

$$z=e^{j\omega}$$

频率响应幅度为

$$|H(e^{j\omega})| = |A| \frac{\prod |e^{j\omega}-c_m|}{\prod |e^{j\omega}-d_k|}$$

人话很简单：单位圆上的某个频率点靠近零点，该频率会被压低；靠近极点，该频率会被增强。

所以：

• 零点像压制器
• 极点像增强器

如果极点靠近 $\omega=0$，低频增强，可能是低通；如果零点靠近 $\omega=0$，低频被压制，可能是高通。

10. 这一轮你必须会的题型

第一类：给 $X(z)$ 和 ROC，求 $x(n)$。

第二类：给 $H(z)$，判断因果稳定。

第三类：给零极点图，判断滤波器类型。

小例题：由 $X(z)$ 与 ROC 反推序列

已知

$$X(z)=\frac{1}{1-0.5z^{-1}}$$

若 ROC 为 $|z|>0.5$，求 $x(n)$，并判断它是不是右边序列。

解答：

先看公式

$$\frac{1}{1-az^{-1}} \Longleftrightarrow a^n u(n),\quad \text{ROC: }|z|>|a|$$

这里 $a=0.5$，而题目给出的 ROC 恰好是 $|z|>0.5$，所以

$$x(n)=0.5^n u(n)$$

因为它在 $n=0$ 之后向右展开，所以它是右边序列。

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第二轮：DFT、圆周卷积、FFT

这一轮先不讲难题，先讲它到底是什么。你先把这一轮理解成一句话：

$$\boxed{\text{DFT 是把一段有限长数字序列，变成有限个频率信息。}}$$

你现在先别急着背公式，先搞懂下面这几个问题。

原来我们手里有一串数：

$$x(0),x(1),x(2),x(3),\cdots$$

这叫时域序列。意思是：它是按时间顺序排列的一串数字。

但是我们还想知道：这串数字里面有没有低频成分？有没有高频成分？哪些频率比较强？哪些频率比较弱？

这就需要把它从时间角度换到频率角度去看。DFT 做的就是这件事。讲义里也说，计算机不能直接处理连续频率曲线，所以 DFT 要解决频谱如何离散化，以及怎样快速计算两个问题。

1. DFT 全名是什么

DFT 是 Discrete Fourier Transform，中文叫离散傅里叶变换。

拆开理解：

• 离散，表示我们处理的是一串点，不是连续曲线。
• 傅里叶变换，表示把信号从时间角度变成频率角度。

所以 DFT 的人话解释是：

$$\boxed{\text{DFT 把一串有限长度的数字，分解成若干个频率成分。}}$$

例如你有一段序列：

$$x(n)=\{1,2,3,4\}$$

它在时域里只是 $4$ 个数。

做 DFT 以后，会得到：

$$X(k)=\{X(0),X(1),X(2),X(3)\}$$

这些 $X(k)$ 就是频域里的 $4$ 个频率点。

2. $x(n)$ 是什么

$x(n)$ 是时域序列。

比如：

$$x(n)=\{1,2,3,4\}$$

意思是：

$$x(0)=1,\quad x(1)=2,\quad x(2)=3,\quad x(3)=4$$

这里的 $n$ 是时域下标，也就是第几个采样点。

所以你看到 $x(n)$，就想成：

$$\boxed{x(n)=\text{原来的那串数字}}$$

3. $X(k)$ 是什么

$X(k)$ 是 DFT 之后得到的频域序列。

这里的 $k$ 不是时间下标，而是频率下标。

比如做 $4$ 点 DFT，得到：

$$X(0),X(1),X(2),X(3)$$

它们分别表示 $4$ 个频率位置上的信息。

所以你看到 $X(k)$，就想成：

$$\boxed{X(k)=\text{第 }k\text{ 个频率点的结果}}$$

注意大小写：

$$x(n)\text{：时域}$$ $$X(k)\text{：频域}$$

小写 $x$ 是原序列，大写 $X$ 是变换后的频谱。

4. $N$ 是什么

$N$ 是 DFT 点数。

如果你做 $4$ 点 DFT，那么

$$N=4$$

如果你做 $8$ 点 DFT，那么

$$N=8$$

做 $N$ 点 DFT，就会得到 $N$ 个频率点：

$$X(0),X(1),\cdots,X(N-1)$$

5. DFT 的公式是什么

$N$ 点 DFT 定义为：

$$X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}$$

你先不要怕这个公式。把它翻译成人话就是：

$$\boxed{\text{第 }k\text{ 个频率点 }X(k)\text{，等于原序列每个点乘上一个旋转因子后全部加起来。}}$$

逐个符号解释：

• $x(n)$：原来的第 $n$ 个数字
• $n$：时域下标，从 $0$ 到 $N-1$
• $k$：频域下标，表示第几个频率点
• $N$：DFT 总点数
• $j$：虚数单位，满足 $j^2=-1$
• $e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}$：复指数，可以理解成单位圆上的旋转量
• $\sum$：求和，把所有 $n$ 对应的结果加起来

所以公式可以读成：

$$\boxed{ X(k)=\text{把 }x(0),x(1),\cdots,x(N-1)\text{ 按第 }k\text{ 个频率规则加权求和} }$$

讲义中给出的 DFT 定义也是：把 $N$ 个时域样本 $x(0),x(1),\cdots,x(N-1)$ 变成 $N$ 个频域样本 $X(0),X(1),\cdots,X(N-1)$。

6. DFT 到底在算什么

你可以这样理解：一串信号可能由很多频率成分组成。

比如一个声音信号，里面可能有低音、中音、高音。

在时域里，你只看到波形怎么变化。

在频域里，你能看到哪些频率强，哪些频率弱。

DFT 就是把

$$\boxed{\text{一串随时间变化的数字}}$$

变成

$$\boxed{\text{一串表示频率强弱的数字}}$$

也就是

$$x(n)\rightarrow X(k)$$

7. $X(0)$ 表示什么

$X(0)$ 是第 $0$ 个频率点。它通常表示直流分量，也就是信号的平均趋势。

因为当 $k=0$ 时：

$$e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}=e^0=1$$

所以

$$X(0)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)$$

也就是说，$X(0)$ 就是所有时域样本加起来。

如果序列整体偏大，$X(0)$ 就大；如果序列正负抵消，$X(0)$ 可能比较小。

8. $X(1),X(2),\cdots$ 表示什么

它们表示不同频率位置上的成分。

$k$ 越大，通常表示频率越高。但注意，DFT 的频率是周期的，所以不是简单地一直越来越高。对考试来说，你先记住：

$$\boxed{k\text{ 是频率编号}}$$ $$\boxed{X(k)\text{ 是第 }k\text{ 个频率点的大小和相位信息}}$$

9. IDFT 是什么

DFT 是从时域到频域：

$$x(n)\rightarrow X(k)$$

IDFT 是反过来，从频域回到时域：

$$X(k)\rightarrow x(n)$$

IDFT 叫逆离散傅里叶变换，公式是：

$$x(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(k)e^{j\frac{2\pi}{N}kn}$$

你要记住 DFT 和 IDFT 的区别：

DFT：

$$X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}$$

IDFT：

$$x(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(k)e^{j\frac{2\pi}{N}kn}$$

区别有两个：

• DFT 指数是负号
• IDFT 指数是正号，并且前面多了一个 $1/N$

讲义中也给出了对应的反变换公式，说明 IDFT 可以从这 $N$ 个频域样本恢复主值区间内的时域序列。

10. 为什么 DFT 里面有周期延拓

这是你理解圆周移位和圆周卷积的关键。

DFT 只处理有限长序列，比如：

$$x(n)=\{1,2,3,4\}$$

但是在 DFT 的世界里，它不是只看这一段，而是默认这段序列会不断重复：

$$1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,\cdots$$

这叫周期延拓。

也就是说，DFT 默认：

$$x(n+N)=x(n)$$

例如 $N=4$ 时：

$$x(4)=x(0),\quad x(5)=x(1),\quad x(6)=x(2),\quad x(7)=x(3)$$

讲义中也强调，DFT 中有限长序列总是隐含周期性，有限长序列被看成周期序列的一个主值区间。

这就是为什么后面会出现圆周移位和圆周卷积。因为 DFT 不是把序列放在一条直线上看，而是把它绕成一个圆来看。

11. DFT 和 DTFT 的区别

DTFT 是

$$X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(n)e^{-j\omega n}$$

这里的 $\omega$ 是连续变化的，所以 $X(e^{j\omega})$ 是一条连续频谱曲线。

DFT 是

$$X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}$$

这里的 $k$ 只能取

$$k=0,1,2,\cdots,N-1$$

所以 DFT 只得到 $N$ 个频率点。

区别就是：

$$\boxed{\text{DTFT：}\text{连续频谱}}$$ $$\boxed{\text{DFT：}\text{有限个频率点}}$$

12. DFT 和 Z 变换、DTFT 的关系

DFT 可以看成 Z 变换在单位圆上的 $N$ 点采样：

$$X(k)=X(z)\bigg|_{z=e^{j\frac{2\pi}{N}k}}$$

也可以看成 DTFT 在 $N$ 个频率点上的采样：

$$X(k)=X(e^{j\omega})\bigg|_{\omega=\frac{2\pi}{N}k}$$

人话解释：

$$\boxed{\text{DFT 不是新东西，它就是从连续频谱上取几个点}}$$

13. 补零是什么意思

如果原序列长度是 $M$，但题目要求做 $N$ 点 DFT，并且 $N>M$，就要在后面补零。

例如：

$$x(n)=\{1,2,3\}$$

做 $5$ 点 DFT，就写成：

$$\{1,2,3,0,0\}$$

补零不会增加新信息，只是让频域采样更密。

13.1 按定义怎么一步一步计算 DFT

前面讲的是 DFT 的含义，这里单独讲“题目真让你算的时候该怎么下手”。这一节先不走 FFT，只按定义直接代入。

先记住一句话：

$$\boxed{\text{DFT 就是把一串数，分别代入不同的频率编号 }k\text{，算出 }X(k)\text{。}}$$

13.1.1 DFT 的计算公式

$N$ 点 DFT 的定义是

$$X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}$$

也常写成

$$X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{kn}$$

其中

$$W_N=e^{-j\frac{2\pi}{N}}$$

$W_N$ 叫旋转因子。你可以把它理解为：算 DFT 时，会不断取这个复数的不同次幂。

所以 DFT 公式也可以写成

$$\boxed{ X(k)=x(0)W_N^{0k}+x(1)W_N^{1k}+x(2)W_N^{2k}+\cdots+x(N-1)W_N^{(N-1)k} }$$

13.1.2 DFT 的直接计算步骤

如果题目给你

$$x(n)=\{x(0),x(1),\cdots,x(N-1)\}$$

让你求 $N$ 点 DFT，就按下面五步走：

第一步，确定 $N$。

第二步，写出旋转因子

$$W_N=e^{-j\frac{2\pi}{N}}$$

第三步，列出常用的 $W_N^0,W_N^1,\cdots,W_N^{N-1}$。

第四步，分别计算

$$X(0),X(1),\cdots,X(N-1)$$

第五步，整理成

$$X(k)=\{X(0),X(1),\cdots,X(N-1)\}$$

13.1.3 最简单的 2 点 DFT

设

$$x(n)=\{a,b\}$$

也就是

$$x(0)=a,\qquad x(1)=b$$

这里 $N=2$，旋转因子为

$$W_2=e^{-j\frac{2\pi}{2}}=e^{-j\pi}=-1$$

2 点 DFT 只有两个结果：$X(0)$ 和 $X(1)$。

先算 $X(0)$：

$$X(0)=x(0)W_2^{0\cdot 0}+x(1)W_2^{1\cdot 0}=a+b$$

再算 $X(1)$：

$$X(1)=x(0)W_2^{0\cdot 1}+x(1)W_2^{1\cdot 1}=a+bW_2=a-b$$

所以

$$\boxed{\{a,b\}\text{ 的 2 点 DFT 是 }\{a+b,\ a-b\}}$$

例如

$$x(n)=\{1,3\}$$

则

$$X(0)=1+3=4,\qquad X(1)=1-3=-2$$

因此

$$\boxed{\mathrm{DFT}[\{1,3\}]=\{4,-2\}}$$

13.1.4 重点例子：4 点 DFT 怎么算

现在看最常见的小例子：

$$x(n)=\{1,2,3,4\}$$

也就是

$$x(0)=1,\quad x(1)=2,\quad x(2)=3,\quad x(3)=4$$

这里 $N=4$，所以要算

$$X(0),X(1),X(2),X(3)$$

先求旋转因子：

$$W_4=e^{-j\frac{2\pi}{4}}=e^{-j\frac{\pi}{2}}$$

根据欧拉公式

$$e^{-j\frac{\pi}{2}}=\cos\frac{\pi}{2}-j\sin\frac{\pi}{2}=-j$$

所以

$$\boxed{W_4=-j}$$

接着列出常用次幂：

$$W_4^0=1,\quad W_4^1=-j,\quad W_4^2=-1,\quad W_4^3=j,\quad W_4^4=1$$

因此 4 点 DFT 最常用的表是

$$\boxed{W_4^0=1,\quad W_4^1=-j,\quad W_4^2=-1,\quad W_4^3=j}$$

DFT 公式写成

$$X(k)=\sum_{n=0}^{3}x(n)W_4^{kn}$$

代入 $x(0)=1,x(1)=2,x(2)=3,x(3)=4$ 得

$$X(k)=1\cdot W_4^{0k}+2\cdot W_4^{1k}+3\cdot W_4^{2k}+4\cdot W_4^{3k}$$

现在分别计算。

先算 $X(0)$。令 $k=0$，则

$$X(0)=1\cdot W_4^0+2\cdot W_4^0+3\cdot W_4^0+4\cdot W_4^0$$

因为 $W_4^0=1$，所以

$$X(0)=1+2+3+4=10$$

因此

$$\boxed{X(0)=10}$$

再算 $X(1)$。令 $k=1$，则

$$X(1)=1\cdot W_4^0+2\cdot W_4^1+3\cdot W_4^2+4\cdot W_4^3$$

代入 $W_4^0=1,W_4^1=-j,W_4^2=-1,W_4^3=j$，得到

$$X(1)=1+2(-j)+3(-1)+4j$$

整理可得

$$X(1)=1-2j-3+4j=-2+2j$$

因此

$$\boxed{X(1)=-2+2j}$$

再算 $X(2)$。令 $k=2$，则

$$X(2)=1\cdot W_4^0+2\cdot W_4^2+3\cdot W_4^4+4\cdot W_4^6$$

利用周期性 $W_4^4=1,\ W_4^6=W_4^{4+2}=W_4^2=-1$，得

$$X(2)=1+2(-1)+3(1)+4(-1)$$

所以

$$X(2)=1-2+3-4=-2$$

因此

$$\boxed{X(2)=-2}$$

最后算 $X(3)$。令 $k=3$，则

$$X(3)=1\cdot W_4^0+2\cdot W_4^3+3\cdot W_4^6+4\cdot W_4^9$$

利用周期性 $W_4^6=W_4^2=-1,\ W_4^9=W_4^{8+1}=W_4^1=-j$，得

$$X(3)=1+2j+3(-1)+4(-j)$$

整理可得

$$X(3)=1+2j-3-4j=-2-2j$$

因此

$$\boxed{X(3)=-2-2j}$$

所以最终结果是

$$\boxed{X(k)=\{10,\ -2+2j,\ -2,\ -2-2j\}}$$

也就是

$$X(0)=10,\quad X(1)=-2+2j,\quad X(2)=-2,\quad X(3)=-2-2j$$

13.1.5 再看三个小例子

第一个例子：

$$x(n)=\{5,1\}$$

因为是 2 点 DFT，直接用

$$\{a,b\}\rightarrow \{a+b,\ a-b\}$$

所以

$$X(0)=5+1=6,\qquad X(1)=5-1=4$$

因此

$$\boxed{\mathrm{DFT}[\{5,1\}]=\{6,4\}}$$

第二个例子：

$$x(n)=\{1,0,0,0\}$$

则

$$X(k)=1\cdot W_4^{0k}+0+0+0=1$$

所以对所有 $k$ 都有

$$X(k)=1$$

因此

$$\boxed{\mathrm{DFT}[\{1,0,0,0\}]=\{1,1,1,1\}}$$

这个例子说明：单位冲激序列在频域中的各个频率点完全一样。

第三个例子：

$$x(n)=\{1,1,1,1\}$$

则

$$X(0)=1+1+1+1=4$$ $$X(1)=1+W_4+W_4^2+W_4^3=1+(-j)+(-1)+j=0$$ $$X(2)=1+W_4^2+W_4^4+W_4^6=1+(-1)+1+(-1)=0$$ $$X(3)=1+W_4^3+W_4^6+W_4^9=1+j+(-1)+(-j)=0$$

因此

$$\boxed{\mathrm{DFT}[\{1,1,1,1\}]=\{4,0,0,0\}}$$

这个例子说明：常数序列只有直流分量，也就是只有 $X(0)$ 不为零。

13.1.6 这一小节的结论

你可以把按定义计算 DFT 的流程压成五步：

第一，看序列有几个数，先确定 $N$。

第二，写

$$W_N=e^{-j\frac{2\pi}{N}}$$

第三，列出 $W_N$ 的常用次幂。

第四，分别代入计算

$$X(0),X(1),\cdots,X(N-1)$$

第五，整理成

$$X(k)=\{X(0),X(1),\cdots,X(N-1)\}$$

最重要的两个记忆点是

$$\boxed{\{a,b\}\rightarrow\{a+b,\ a-b\}}$$

以及 4 点 DFT 的旋转因子表

$$\boxed{W_4^0=1,\quad W_4^1=-j,\quad W_4^2=-1,\quad W_4^3=j}$$

最后再记一句：

$$\boxed{\text{DFT 是定义，FFT 是快速算法；两者算出来的结果完全一样。}}$$

14. 圆周移位是什么

先看普通移位。

原序列：

$$\{1,2,3,4\}$$

如果向右移 $1$ 位，普通移位可能变成：

$$\{0,1,2,3,4\}$$

前面补了一个 $0$。

圆周移位不补 $0$，而是把移出去的部分绕回来。

原序列

$$\{1,2,3,4\}$$

向右圆周移位 $1$ 位，结果是：

$$\{4,1,2,3\}$$

向左圆周移位 $1$ 位，结果是：

$$\{2,3,4,1\}$$

所以圆周移位的人话解释是：

$$\boxed{\text{把序列首尾接起来，在圆上移动}}$$

讲义中的说法是：如果某个样本从主值区间一端移出去，它会从另一端重新移进来。

15. 卷积是什么

在讲圆周卷积之前，你先知道普通卷积是什么。

普通卷积记作：

$$y(n)=x(n)*h(n)$$

它的人话意思是：

$$\boxed{\text{一个序列滑过另一个序列，重叠部分相乘再相加}}$$

它常用来表示 LTI 系统输出：

$$\text{输入 }x(n)\quad \rightarrow \quad \text{系统 }h(n)\quad \rightarrow \quad \text{输出 }y(n)$$

也就是：

$$y(n)=x(n)*h(n)$$

你先把卷积想成滑动重叠求和就行。

16. 圆周卷积是什么

普通卷积是在直线上滑动。

圆周卷积是在圆上滑动。

因为 DFT 默认序列周期重复，所以 DFT 里面对应的是圆周卷积，也叫循环卷积，记作：

$$x_1(n)\circledast_L x_2(n)$$

或者有些教材写成

$$x_1(n)\otimes x_2(n)$$

这里的 $L$ 表示圆周卷积长度。

圆周卷积的人话解释是：

$$\boxed{\text{先把两个序列都看成长度为 }L\text{ 的周期序列，再在圆上做卷积}}$$

如果卷积结果超出了长度 $L$，它不会继续往后排，而是绕回前面。

这就是圆周卷积和普通线性卷积最大的区别。

17. 为什么圆周卷积容易出错

因为普通线性卷积的结果可能比较长。

如果你用太短的圆来装它，后面的尾巴会绕回前面，和前面的结果加在一起。

这叫混叠。

人话说：

$$\boxed{\text{圆太短，结果装不下，尾巴绕回来，答案就乱了}}$$

18. 线性卷积和圆周卷积什么时候一样

这是考试高频公式。

如果一个序列长度是 $N$，另一个序列长度是 $M$，那么它们的普通线性卷积长度是：

$$N+M-1$$

如果你想用 $L$ 点圆周卷积得到同样的结果，必须让圆足够大：

$$\boxed{L\ge N+M-1}$$

讲义中也明确说，若希望 $L$ 点循环卷积等于线性卷积，必须满足 $L\ge N+M-1$；否则线性卷积的尾部会折叠回前面，产生混叠。

例如：

$$x(n)=\{1,2,3\},\qquad h(n)=\{1,1\}$$

前者长度是 $3$，后者长度是 $2$，所以线性卷积长度是

$$N+M-1=3+2-1=4$$

所以如果你想用圆周卷积代替线性卷积，至少要做 $4$ 点圆周卷积。

19. DFT 为什么能用来算卷积

这是 DFT 最重要的用途之一。

在时域里做圆周卷积比较麻烦，但是 DFT 有一个非常重要的性质：

$$\boxed{\text{时域圆周卷积}\Longleftrightarrow\text{频域相乘}}$$

也就是说，如果

$$X_1(k)=DFT[x_1(n)]$$ $$X_2(k)=DFT[x_2(n)]$$

那么

$$DFT[x_1(n)\circledast x_2(n)]=X_1(k)X_2(k)$$

所以要算圆周卷积，可以这样做：

第一步，对 $x_1(n)$ 做 DFT，得到 $X_1(k)$。

第二步，对 $x_2(n)$ 做 DFT，得到 $X_2(k)$。

第三步，在频域直接相乘：

$$Y(k)=X_1(k)X_2(k)$$

第四步，对 $Y(k)$ 做 IDFT，得到 $y(n)$。

也就是

$$x_1(n),x_2(n) \rightarrow DFT \rightarrow X_1(k),X_2(k) \rightarrow \text{相乘} \rightarrow Y(k) \rightarrow IDFT \rightarrow y(n)$$

讲义中也给出了这个步骤：先计算两个序列的 DFT，再频域相乘，最后作 IDFT。

20. FFT 是什么

FFT 是 Fast Fourier Transform，中文叫快速傅里叶变换。

你一定要记住：

$$\boxed{\text{FFT 不是新的变换，它只是快速计算 DFT 的算法}}$$

也就是说：

• DFT 是定义
• FFT 是算法

就像乘法是定义，竖式乘法是快速计算方法一样。

讲义中也明确说，FFT 不是另一种变换，它是 DFT 的快速算法。

21. 为什么需要 FFT

直接算 DFT 太慢。

DFT 公式是

$$X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}$$

你要算每一个 $X(k)$，都要对 $n=0$ 到 $N-1$ 求和。

一共有 $N$ 个 $X(k)$，所以直接计算量大约是

$$N^2$$

如果 $N=1024$，计算量就很大。

FFT 的作用就是把计算量降下来：

直接 DFT：

$$N^2$$

FFT：

$$N\log_2N$$

所以 FFT 特别适合大规模信号处理。

22. FFT 的基本思想

FFT 的核心思想是：

$$\boxed{\text{把一个大的 DFT，拆成几个小的 DFT}}$$

例如 $8$ 点 DFT 太大，就拆成两个 $4$ 点 DFT；$4$ 点 DFT 再拆成两个 $2$ 点 DFT。这样不断拆下去，计算量就减少了。

讲义中也说，FFT 的基本思想是不断把长序列的 DFT 分解成短序列的 DFT，并利用旋转因子的周期性、对称性和可约性减少重复计算。

23. 基 2 FFT 是什么

基 $2$ FFT 指的是

$$N=2^m$$

也就是 DFT 点数必须是 $2$ 的整数次方，例如

$$N=2,4,8,16,32,64,\cdots$$

如果原序列长度不是 $2$ 的整数次方，通常补零。

24. DIT-FFT 是什么

DIT 是 Decimation In Time，中文叫按时间抽取。

按时间抽取就是按照时域下标分组。

比如 $8$ 点序列：

$$x(0),x(1),x(2),x(3),x(4),x(5),x(6),x(7)$$

分成偶数下标和奇数下标。

偶数下标：

$$x(0),x(2),x(4),x(6)$$

奇数下标：

$$x(1),x(3),x(5),x(7)$$

然后分别做两个 $4$ 点 DFT，再合并成一个 $8$ 点 DFT。

25. 蝶形运算是什么

FFT 合并两个小 DFT 时，会用到一组一加一减的公式：

$$X(k)=X_1(k)+W_N^kX_2(k)$$ $$X(k+N/2)=X_1(k)-W_N^kX_2(k)$$

这两个式子画出来像蝴蝶，所以叫蝶形运算。

你现在先不用完全推导，只要知道：

$$\boxed{\text{蝶形运算就是 FFT 中的基本计算单元，一上一下，一个加，一个减}}$$

26. 最小计算例子：线性卷积、圆周卷积与 4 点 FFT

下面用最小数字例子，把三件事算清楚：

1. 线性卷积怎么算
2. 圆周卷积怎么算
3. FFT 和蝶形运算怎么算

先记住一句话：

$$\boxed{\text{线性卷积是在直线上算，圆周卷积是在圆上算，FFT 是快速算 DFT。}}$$

讲义里也说，普通卷积可以理解为滑动、重叠、求和；而圆周卷积中的下标要按长度 $L$ 取模，超出范围会绕回主值区间。

26.1 线性卷积举例怎么算

设

$$x(n)=\{1,2,3\}$$ $$h(n)=\{1,1\}$$

也就是

$$x(0)=1,\quad x(1)=2,\quad x(2)=3$$ $$h(0)=1,\quad h(1)=1$$

线性卷积记作

$$y(n)=x(n)*h(n)$$

定义是

$$y(n)=\sum_m x(m)h(n-m)$$

它的人话意思就是：让两个序列滑动，重叠的部分相乘再相加。

两个序列长度分别是

$$N=3,\qquad M=2$$

所以线性卷积结果长度是

$$N+M-1=3+2-1=4$$

因此结果应该有

$$y(0),y(1),y(2),y(3)$$

当 $n=0$ 时：

$$y(0)=x(0)h(0)=1\cdot1=1$$

当 $n=1$ 时：

$$y(1)=x(0)h(1)+x(1)h(0)=1\cdot1+2\cdot1=3$$

当 $n=2$ 时：

$$y(2)=x(1)h(1)+x(2)h(0)=2\cdot1+3\cdot1=5$$

当 $n=3$ 时：

$$y(3)=x(2)h(1)=3\cdot1=3$$

所以

$$\boxed{x(n)*h(n)=\{1,3,5,3\}}$$

26.2 圆周卷积举例怎么算

圆周卷积和线性卷积不一样。线性卷积是在直线上算，结果可以变长；圆周卷积是在固定长度的圆上算，结果长度固定。

如果做 $L$ 点圆周卷积，结果一定只有 $L$ 个数。公式是

$$y_c(n)=\sum_{m=0}^{L-1}x(m)h((n-m))_L$$

这里最重要的是

$$((n-m))_L$$

它表示对 $L$ 取余数，也就是绕回去。

例如当 $L=3$ 时：

$$-1\equiv 2,\qquad -2\equiv 1$$

26.2.1 先做 3 点圆周卷积

还是用

$$x(n)=\{1,2,3\},\qquad h(n)=\{1,1\}$$

把 $h(n)$ 补成 3 点：

$$h(n)=\{1,1,0\}$$

所以现在

$$x=\{1,2,3\},\qquad h=\{1,1,0\}$$

结果长度固定为 3：

$$y_c(0),y_c(1),y_c(2)$$

算 $y_c(0)$：

$$y_c(0)=x(0)h(0)+x(1)h(-1)+x(2)h(-2)$$

因为 3 点圆周卷积里

$$h(-1)=h(2),\qquad h(-2)=h(1)$$

所以

$$y_c(0)=x(0)h(0)+x(1)h(2)+x(2)h(1)$$

代入得

$$y_c(0)=1\cdot1+2\cdot0+3\cdot1=4$$

算 $y_c(1)$：

$$y_c(1)=x(0)h(1)+x(1)h(0)+x(2)h(-1)$$

因为

$$h(-1)=h(2)$$

所以

$$y_c(1)=x(0)h(1)+x(1)h(0)+x(2)h(2)$$

代入得

$$y_c(1)=1\cdot1+2\cdot1+3\cdot0=3$$

算 $y_c(2)$：

$$y_c(2)=x(0)h(2)+x(1)h(1)+x(2)h(0)$$

代入得

$$y_c(2)=1\cdot0+2\cdot1+3\cdot1=5$$

所以 3 点圆周卷积结果是

$$\boxed{y_c(n)=\{4,3,5\}}$$

它和线性卷积不同，是因为线性卷积结果

$$\{1,3,5,3\}$$

放不进 3 个位置，最后那个 $3$ 会绕回第 0 个位置，于是折回成

$$\{1+3,3,5\}=\{4,3,5\}$$

这就是混叠。人话就是：圆太小，尾巴绕回来了。

26.3 什么时候圆周卷积等于线性卷积

如果 $x(n)$ 长度为 $N$，$h(n)$ 长度为 $M$，那么线性卷积长度是

$$N+M-1$$

要让 $L$ 点圆周卷积等于线性卷积，必须满足

$$\boxed{L\ge N+M-1}$$

刚才例子中

$$N=3,\quad M=2$$

所以

$$N+M-1=4$$

因此至少要做 4 点圆周卷积。

把两个序列都补到 4 点：

$$x=\{1,2,3,0\},\qquad h=\{1,1,0,0\}$$

这时算出来的 4 点圆周卷积就是

$$\boxed{y_c(n)=\{1,3,5,3\}}$$

它正好等于线性卷积，因为

$$L=4\ge 3+2-1=4$$

26.4 用 DFT 算圆周卷积是什么意思

DFT 有一个重要性质：

$$\boxed{\text{时域圆周卷积}\Longleftrightarrow\text{频域相乘}}$$

也就是如果

$$X(k)=DFT[x(n)],\qquad H(k)=DFT[h(n)]$$

那么

$$Y(k)=X(k)H(k)$$

再做 IDFT：

$$y(n)=IDFT[Y(k)]$$

就得到圆周卷积。讲义里也说，用 DFT 计算循环卷积，就是先分别做 DFT，再频域相乘，最后做 IDFT。

26.5 FFT 举例怎么算

现在看一个最简单的 4 点 FFT 例子。设

$$x(n)=\{1,2,3,4\}$$

要求 4 点 DFT：

$$X(0),X(1),X(2),X(3)$$

26.5.1 先按奇偶下标分组

DIT-FFT 是按时域下标奇偶分组。

偶数下标：

$$x(0),x(2)$$

所以

$$x_e=\{1,3\}$$

奇数下标：

$$x(1),x(3)$$

所以

$$x_o=\{2,4\}$$

26.5.2 分别做 2 点 DFT

对两个数

$$\{a,b\}$$

它的 2 点 DFT 是

$$\{a+b,\ a-b\}$$

所以偶数部分

$$x_e=\{1,3\}$$

得到

$$E(0)=1+3=4,\qquad E(1)=1-3=-2$$

即

$$E=\{4,-2\}$$

奇数部分

$$x_o=\{2,4\}$$

得到

$$O(0)=2+4=6,\qquad O(1)=2-4=-2$$

即

$$O=\{6,-2\}$$

26.5.3 蝶形运算怎么算

4 点 FFT 中，合并公式是

$$X(k)=E(k)+W_4^kO(k)$$ $$X(k+2)=E(k)-W_4^kO(k)$$

其中

$$k=0,1$$

旋转因子

$$W_4=e^{-j\frac{2\pi}{4}}=e^{-j\frac{\pi}{2}}=-j$$

所以

$$W_4^0=1,\qquad W_4^1=-j$$

当 $k=0$ 时：

$$X(0)=E(0)+W_4^0O(0)=4+1\cdot 6=10$$ $$X(2)=E(0)-W_4^0O(0)=4-1\cdot 6=-2$$

当 $k=1$ 时，先算

$$W_4^1O(1)=(-j)(-2)=2j$$

于是

$$X(1)=E(1)+W_4^1O(1)=-2+2j$$ $$X(3)=E(1)-W_4^1O(1)=-2-2j$$

所以最终结果是

$$\boxed{X(k)=\{10,\ -2+2j,\ -2,\ -2-2j\}}$$

26.6 蝶形运算怎么记

给两个输入

$$A,\quad B$$

再给一个旋转因子

$$W$$

先算

$$WB$$

然后记住：

$$\boxed{\text{上输出}=A+WB}$$ $$\boxed{\text{下输出}=A-WB}$$

也就是

$$A,B\longrightarrow A+WB,\ A-WB$$

例如：

$$A=4,\quad B=6,\quad W=1$$

则

$$4,6\longrightarrow 10,-2$$

又如

$$A=-2,\quad B=-2,\quad W=-j$$

则先有

$$WB=(-j)(-2)=2j$$

所以

$$-2,-2\longrightarrow -2+2j,\ -2-2j$$

26.7 计算过程压缩版

原序列

$$x=\{1,2,3,4\}$$

先按奇偶分组：

$$x_e=\{1,3\},\qquad x_o=\{2,4\}$$

分别做 2 点 DFT：

$$E=\{1+3,1-3\}=\{4,-2\}$$ $$O=\{2+4,2-4\}=\{6,-2\}$$

再做蝶形合并：

$$X(0)=4+6=10,\qquad X(2)=4-6=-2$$ $$X(1)=-2+(-j)(-2)=-2+2j$$ $$X(3)=-2-(-j)(-2)=-2-2j$$

最终

$$\boxed{X(k)=\{10,\ -2+2j,\ -2,\ -2-2j\}}$$

27. 这一轮你真正要会什么

这一轮考试最常考的不是让你空谈概念，而是让你会判断、会套公式、会选长度。

你按下面顺序掌握。

第一，知道 DFT 是什么：

$$\boxed{\text{DFT：把有限长时域序列变成有限个频率点}}$$

第二，知道 DFT 公式里每个符号是什么：

$$X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}$$

$x(n)$ 是原序列，$X(k)$ 是频域结果，$n$ 是时域下标，$k$ 是频域下标，$N$ 是 DFT 点数。

第三，知道 IDFT 是反变换：

$$x(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(k)e^{j\frac{2\pi}{N}kn}$$

第四，知道 DFT 默认序列周期延拓，所以会出现圆周移位、圆周卷积和取模下标。

第五，知道圆周移位就是绕圈移动。例如

$$\{1,2,3,4\}$$

向左圆周移位 $1$ 位后是

$$\{2,3,4,1\}$$

第六，知道圆周卷积和线性卷积的区别：普通线性卷积是在直线上算，圆周卷积是在圆上算，圆太短会混叠。

第七，记住最重要条件：

$$\boxed{L\ge N+M-1}$$

如果满足，圆周卷积等于线性卷积；如果不满足，尾巴绕回前面，产生混叠。

第八，知道 FFT 是什么：

$$\boxed{\text{FFT 是快速计算 DFT 的算法，不是新的变换}}$$

第九，知道基 $2$ FFT 要求：

$$N=2^m$$

第十，知道 DIT-FFT 是按下标奇偶分组：偶数下标一组，奇数下标一组。

小例题：线性卷积能否直接用圆周卷积代替

设 $x_1(n)$ 长度为 $4$，$x_2(n)$ 长度为 $3$。若要用圆周卷积得到和线性卷积完全一样的结果，圆周卷积长度 $L$ 至少应取多少？

解答：

线性卷积长度是

$$N+M-1=4+3-1=6$$

所以要避免混叠，至少应满足

$$L\ge 6$$

也就是说，最小可取

$$L=6$$

如果 $L<6$，线性卷积尾部就会绕回前面，结果和真正的线性卷积不一致。

28. 最适合现在背的极简版

你可以先背这版：

DFT 的定义：把 $N$ 个时域样本 $x(0),x(1),\cdots,x(N-1)$ 变成 $N$ 个频域样本 $X(0),X(1),\cdots,X(N-1)$。

公式：

$$X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}$$

IDFT：

$$x(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(k)e^{j\frac{2\pi}{N}kn}$$

DFT 的核心特点：有限长序列在 DFT 中默认周期延拓。

圆周移位：首尾相接地移动。

圆周卷积：在周期圆上做卷积。

线性卷积长度：

$$N+M-1$$

圆周卷积等于线性卷积的条件：

$$L\ge N+M-1$$

FFT：快速计算 DFT 的算法。

基 $2$ FFT：

$$N=2^m$$

DIT-FFT：按时域下标奇偶分组。

最后一句话：

$$\boxed{ \text{DFT 是频率分析工具，圆周卷积是 DFT 世界里的卷积，FFT 是快速计算 DFT 的方法。} }$$

---

第三轮：IIR 数字滤波器设计

这一轮不要先背“脉冲响应不变法、双线性变换法”，先看清楚它们为什么会出现。整章的来龙去脉是：

$$\boxed{ \text{想滤波}\rightarrow\text{需要设计系统}\rightarrow\text{系统用 }H(z)\text{ 表示} \rightarrow\text{IIR 直接设计麻烦}\rightarrow\text{借用成熟的 }H_a(s)\rightarrow H(z) }$$

数字滤波器不是凭空写出一条差分方程，而是先确定希望得到的频率选择效果，再反过来求可实现的 $H(z)$ 或 $h(n)$。IIR 的重要设计思路，就是先设计理论成熟的模拟滤波器，再把它变成数字滤波器。

1. 为什么要设计滤波器

现实信号通常并不干净。例如语音中混入高频噪声时，我们希望保留语音主体、削弱高频噪声，所需系统就是“低频通过、高频削弱”的低通滤波器。

滤波器的本质不是公式，而是一个频率筛子：

$$\boxed{\text{有些频率让它通过，有些频率让它变小。}}$$

• 低通滤波器：保留低频，抑制高频
• 高通滤波器：保留高频，抑制低频
• 带通滤波器：只保留中间某一段频率
• 带阻滤波器：抑制中间某一段频率

讲义中也说，数字滤波器是输入和输出都是数字信号的系统，它通过数值运算改变输入信号中各频率成分的比例。

2. 滤波器在数学上是什么

数字滤波器通常看作一个 LTI 系统：

$$Y(z)=X(z)H(z),\qquad H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}$$

$H(z)$ 就是数字滤波器的数学说明书。令 $z=e^{j\omega}$，便得到频率响应 $H(e^{j\omega})$，它说明每个频率经过滤波器后会被放大、保留还是削弱。因此设计滤波器的真正目标是：

$$\boxed{\text{根据想要的频率效果，求出一个合适的 }H(z)}$$

3. IIR 是什么

IIR 是 Infinite Impulse Response，中文叫无限长单位脉冲响应滤波器。

所谓“无限长”，是指给系统一个单位冲激 $\delta(n)$ 后，它的输出 $h(n)$ 可能一直拖很长，理论上无限延续。

IIR 一般有反馈，也就是输出会反过来参与后续计算。差分方程常写成

$$y(n)=\sum_{i=1}^{N}a_i y(n-i)+\sum_{i=0}^{M}b_i x(n-i)$$

如果式子里有过去输出 $y(n-i)$，说明系统有反馈，这就是 IIR 的典型特征。

4. IIR 系统函数与优缺点

IIR 系统函数常写成

$$H(z)=\frac{\sum_{i=0}^{M}b_i z^{-i}}{1-\sum_{i=1}^{N}a_i z^{-i}}$$

这里最关键的关系是：

$$\boxed{\text{差分方程是时域里的计算规则，}H(z)\text{ 是这个规则做 Z 变换后的样子。}}$$

它们不是两套东西，而是同一个滤波器的两种写法。

4.1 差分方程为什么会出现

最简单的系统是

$$y(n)=x(n)$$

表示输出等于输入。如果让当前输出等于当前输入和前一个输入的平均，则有

$$y(n)=\frac{1}{2}x(n)+\frac{1}{2}x(n-1)$$

它把相邻采样点平均，可以削弱快速变化的高频成分，是一个简单的低通滤波器。当前输出不只取决于当前输入，还取决于过去输入，这就是差分方程的雏形。

数字滤波器最终要由计算机或 DSP 芯片运行，而硬件每一拍所做的基本操作就是加法、乘法和延迟。$x(n-1)$ 表示输入延迟一个采样周期，$y(n-1)$ 表示上一次输出。因此数字滤波器最自然的实现形式就是

$$y(n)=\sum_{i=1}^{N}a_i y(n-i)+\sum_{i=0}^{M}b_i x(n-i)$$

也就是：

$$\boxed{\text{当前输出} = \text{过去输出的加权和} + \text{当前及过去输入的加权和}}$$

4.2 每一项代表什么

以二阶差分方程为例：

$$y(n)=a_1y(n-1)+a_2y(n-2)+b_0x(n)+b_1x(n-1)+b_2x(n-2)$$

• $y(n)$：当前输出
• $x(n)$：当前输入
• $x(n-1),x(n-2)$：过去输入
• $y(n-1),y(n-2)$：过去输出
• $a_1,a_2,b_0,b_1,b_2$：滤波器系数

只要出现过去输出 $y(n-i)$，就说明输出参与了后续计算，即系统存在反馈。

4.3 为什么反馈会产生无限长冲激响应

看最简单的一阶反馈系统：

$$y(n)=ay(n-1)+x(n)$$

令输入为 $x(n)=\delta(n)$，初始条件为 $y(-1)=0$，逐点递推：

$$y(0)=1,\qquad y(1)=a,\qquad y(2)=a^2,\qquad y(3)=a^3$$

所以单位冲激响应为

$$h(n)=a^n u(n)$$

输入冲激只在 $n=0$ 出现一次，输出却形成 $1,a,a^2,a^3,\ldots$。只要 $a\neq0$，反馈就会让已有输出继续影响未来输出，响应理论上可以无限延续。因此：

$$\boxed{\text{过去输出参与计算}\Rightarrow\text{反馈}\Rightarrow\text{冲激响应可能无限长}\Rightarrow\text{IIR}}$$

4.4 从差分方程推导系统函数

系统函数不是凭空写出的，而是差分方程做 Z 变换后整理得到的。仍以

$$y(n)=ay(n-1)+x(n)$$

为例。Z 变换的延迟性质是

$$y(n-1)\xleftrightarrow{Z}z^{-1}Y(z)$$

也就是说，时域延迟一个采样点，在 Z 域就乘 $z^{-1}$。对差分方程两边做 Z 变换：

$$Y(z)=az^{-1}Y(z)+X(z)$$

移项并提取 $Y(z)$：

$$Y(z)(1-az^{-1})=X(z)$$

系统函数定义为 $H(z)=Y(z)/X(z)$，因此

$$\boxed{H(z)=\frac{1}{1-az^{-1}}}$$

人话解释就是：$H(z)$ 表示系统把输入 $X(z)$ 变成输出 $Y(z)$ 的作用，因为

$$Y(z)=X(z)H(z)$$

4.5 一般 IIR 系统函数的推导

从一般差分方程出发：

$$y(n)=\sum_{i=1}^{N}a_i y(n-i)+\sum_{i=0}^{M}b_i x(n-i)$$

利用延迟性质

$$y(n-i)\xleftrightarrow{Z}z^{-i}Y(z),\qquad x(n-i)\xleftrightarrow{Z}z^{-i}X(z)$$

两边做 Z 变换得到

$$Y(z)=\sum_{i=1}^{N}a_i z^{-i}Y(z)+\sum_{i=0}^{M}b_i z^{-i}X(z)$$

把含 $Y(z)$ 的项移到左边并分别提取 $Y(z)$、$X(z)$：

$$Y(z)\left(1-\sum_{i=1}^{N}a_i z^{-i}\right) =X(z)\left(\sum_{i=0}^{M}b_i z^{-i}\right)$$

所以

$$\boxed{ H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)} =\frac{\sum_{i=0}^{M}b_i z^{-i}} {1-\sum_{i=1}^{N}a_i z^{-i}} }$$

分子 $\sum b_i z^{-i}$ 来自当前及过去输入项，所以由 $b_i$ 决定；分母 $1-\sum a_i z^{-i}$ 来自过去输出的反馈项，所以由 $a_i$ 决定。进一步说，分子决定零点，分母决定极点，而极点决定稳定性。这就是 IIR 必须特别关注分母的原因。

4.6 为什么 FIR 只有分子

如果所有反馈系数 $a_i=0$，差分方程就变成

$$y(n)=\sum_{i=0}^{M}b_i x(n-i)$$

做 Z 变换可得

$$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\sum_{i=0}^{M}b_i z^{-i}$$

它没有过去输出项和递归反馈，只由有限个输入样本加权求和，因此冲激响应有限长：

$$\boxed{\text{FIR：没有过去输出项，没有反馈，系统函数只有分子。}}$$ $$\boxed{\text{IIR：有过去输出项，有反馈，反馈项整理后形成分母。}}$$

4.7 一个完整例子

设差分方程为

$$y(n)=0.5y(n-1)+x(n)$$

因为含有 $y(n-1)$，所以它有反馈，是 IIR。做 Z 变换：

$$Y(z)=0.5z^{-1}Y(z)+X(z)$$

移项并提取 $Y(z)$：

$$Y(z)(1-0.5z^{-1})=X(z)$$

所以

$$\boxed{ y(n)=0.5y(n-1)+x(n) \Longleftrightarrow H(z)=\frac{1}{1-0.5z^{-1}} }$$

令分母为零：

$$1-0.5z^{-1}=0\quad\Rightarrow\quad z=0.5$$

极点 $z=0.5$ 位于单位圆内，所以在因果条件下系统稳定。

4.8 最容易混淆的四点

第一，差分方程来自数字系统的实际计算结构，即加法、乘法、延迟和反馈，并不是凭空出现的。

第二，$z^{-1}$ 代表一个采样周期的延迟：

$$x(n-1)\xleftrightarrow{Z}z^{-1}X(z),\qquad y(n-1)\xleftrightarrow{Z}z^{-1}Y(z)$$

第三，IIR 的分母来自过去输出项。反馈项做 Z 变换后仍含 $Y(z)$，移到等式左边并提取 $Y(z)$，就形成了分母。

第四，IIR 的“无限长”来自反馈。冲激输入结束后，系统内部已有输出仍会继续参与递推。

整条逻辑链可以压缩为：

$$\boxed{ \text{加法、乘法、延迟} \rightarrow\text{差分方程} \rightarrow\text{Z 变换} \rightarrow H(z) }$$ $$\boxed{\text{差分方程是 IIR 的时域计算规则，}H(z)\text{ 是它做 Z 变换后的系统函数。}}$$

分子对应零点，分母对应极点。因为 IIR 有分母，所以有极点；极点位置决定稳定性。

反馈使 IIR 能以较低阶数获得较陡的幅频响应，因此计算量通常比同等指标的 FIR 小。但代价是必须检查稳定性，极点不能落在单位圆外；它的相位一般也不是线性的，可能造成波形失真。IIR 更适合主要关心幅频特性、对严格相位保真要求不高的场合。

5. 滤波器指标怎么看

以低通滤波器为例，常见指标有：

• $\omega_p$：通带截止频率
• $\omega_s$：阻带截止频率
• $\alpha_p$：通带最大衰减
• $\alpha_s$：阻带最小衰减
• $\delta_1$：通带允许波动
• $\delta_2$：阻带允许残留

低通指标通常写成

$$1-\delta_1\le |H(e^{j\omega})|\le 1,\quad |\omega|<\omega_p$$ $$|H(e^{j\omega})|\le \delta_2,\quad \omega_s\le |\omega|\le \pi$$

通带和阻带之间是过渡带。过渡带越窄，滤波器越难设计，通常需要更高阶数。

6. 为什么不直接设计数字 IIR

理论上可以直接求 $H(z)$，但实际要同时控制通带波纹、阻带衰减、过渡带宽度、稳定性和阶数，很难凭空写出满足全部条件的系统函数。

模拟滤波器理论却已经非常成熟，巴特沃斯、切比雪夫和椭圆滤波器都有完整公式与设计套路。因此采用更可靠的路线：

$$\boxed{\text{先设计模拟滤波器 }H_a(s)，\text{再转换成数字滤波器 }H(z)}$$

7. 从 $s$ 平面到 $z$ 平面必须满足什么

模拟滤波器写作 $H_a(s)$，数字滤波器写作 $H(z)$，数字化本质上就是寻找 $s=f(z)$，把 $s$ 平面上的系统映射到 $z$ 平面。

这个映射不能随意选择。模拟频率响应位于 $s=j\Omega$，即 $s$ 平面的虚轴；数字频率响应位于 $z=e^{j\omega}$，即 $z$ 平面的单位圆。因此必须满足：

$$\boxed{s\text{ 平面的虚轴}\rightarrow z\text{ 平面的单位圆}}$$

模拟稳定系统的极点位于左半平面，数字稳定系统的极点位于单位圆内，所以还必须满足：

$$\boxed{s\text{ 平面的左半平面}\rightarrow z\text{ 平面的单位圆内}}$$

8. 为什么会出现两种方法

两种方法都在解决 $H_a(s)\rightarrow H(z)$，只是出发点不同：

$$\boxed{\text{脉冲响应不变法：从时域采样入手。}}$$ $$\boxed{\text{双线性变换法：从平面映射入手。}}$$

前者利用“LTI 系统由冲激响应决定”，直接采样 $h_a(t)$；后者不采样冲激响应，而是建立 $s$ 与 $z$ 的一一对应公式。

9. IIR 设计的总路线

IIR 设计最常见路线是：

$$H_a(s)\rightarrow H(z)$$

也就是先设计模拟滤波器，再把模拟滤波器变成数字滤波器。

讲义中重点方法就两个：脉冲响应不变法、双线性变换法。

10. 脉冲响应不变法

脉冲响应不变法的人话意思：让数字滤波器的冲激响应等于模拟滤波器冲激响应的采样值。

也就是

$$h(n)=h_a(nT)$$

如果模拟滤波器写成部分分式

$$H_a(s)=\sum_{i=1}^{N}\frac{A_i}{s-s_i}$$

那么数字滤波器变成

$$H(z)=\sum_{i=1}^{N}\frac{A_i}{1-e^{s_iT}z^{-1}}$$

有的教材会写成

$$H(z)=\sum_{i=1}^{N}\frac{TA_i}{1-e^{s_iT}z^{-1}}$$

要看老师讲义采用哪种归一化方式。

最关键替换是

$$\boxed{ \frac{A_i}{s-s_i} \longrightarrow \frac{A_i}{1-e^{s_iT}z^{-1}} }$$

优点：时域冲激响应保持得好。

缺点：会产生频谱混叠。

这是因为时域采样会使频谱周期延拓。该方法对应的映射是

$$z=e^{sT}$$

令 $s=j\Omega$，就有 $z=e^{j\Omega T}$ 和 $\omega=\Omega T$。频率关系虽然线性，但指数函数具有周期性，$\Omega$ 与 $\Omega+2\pi/T$ 会落到同一个数字频率点，周期延拓的频谱便可能相互重叠。因此它较适合高频能量已经充分衰减的低通、带通滤波器，不适合高通和带阻滤波器。

10.1 一阶系统例题

设

$$H_a(s)=\frac{1}{s+1},\qquad T=1$$

拉普拉斯反变换为

$$h_a(t)=e^{-t}u(t)$$

按 $h(n)=h_a(nT)$ 采样：

$$h(n)=e^{-n}u(n)$$

利用 $a^nu(n)\xleftrightarrow{Z}1/(1-az^{-1})$，得到

$$\boxed{H(z)=\frac{1}{1-e^{-1}z^{-1}}\approx\frac{1}{1-0.3679z^{-1}}}$$

由 $H(z)=Y(z)/X(z)$ 还可写出差分方程：

$$(1-e^{-1}z^{-1})Y(z)=X(z)$$

所以

$$\boxed{y(n)=e^{-1}y(n-1)+x(n)}$$

10.2 部分分式例题

设

$$H_a(s)=\frac{2}{(s+1)(s+3)},\qquad T=1$$

先作部分分式展开：

$$H_a(s)=\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+3}$$

两个极点分别为 $s_1=-1$、$s_2=-3$。逐项替换得到

$$H(z)=\frac{1}{1-e^{-1}z^{-1}}-\frac{1}{1-e^{-3}z^{-1}}$$

合并后为

$$H(z)=\frac{(e^{-1}-e^{-3})z^{-1}} {(1-e^{-1}z^{-1})(1-e^{-3}z^{-1})}$$

利用 $e^{-1}\approx0.3679$、$e^{-3}\approx0.0498$，可写成

$$\boxed{H(z)\approx\frac{0.3181z^{-1}} {1-0.4177z^{-1}+0.0183z^{-2}}}$$

这类题的关键步骤是：

$$\boxed{\text{先作部分分式展开，再把每个模拟极点指数化。}}$$

11. 双线性变换法

双线性变换法的人话意思：用一个固定替换公式，把 $s$ 平面的模拟滤波器变成 $z$ 平面的数字滤波器。

核心公式是

$$s=\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$$

所以

$$H(z)=H_a(s)\bigg|_{s=\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}$$

优点：不会产生频谱混叠。

缺点：频率会非线性变形，所以需要预畸变。

预畸变公式：

$$\Omega=\frac{2}{T}\tan\frac{\omega}{2}$$

这里 $\omega$ 是数字频率，$\Omega$ 是模拟频率。

由于 $\tan(\omega/2)$ 是非线性的，模拟频率与数字频率并不成比例。越靠近高频，压缩越明显。因此题目给出数字边界频率 $\omega_p,\omega_s$ 时，应先预畸变：

$$\Omega_p=\frac{2}{T}\tan\frac{\omega_p}{2},\qquad \Omega_s=\frac{2}{T}\tan\frac{\omega_s}{2}$$

这相当于在设计前反向校正，使变换后的数字截止频率落在题目要求的位置。

11.1 一阶系统例题

仍取

$$H_a(s)=\frac{1}{s+1},\qquad T=1$$

此时

$$s=2\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$$

直接代入：

$$H(z)=\frac{1}{2\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}+1} =\frac{1+z^{-1}}{3-z^{-1}}$$

将分母首项归一化：

$$\boxed{H(z)=\frac{\frac13+\frac13z^{-1}}{1-\frac13z^{-1}}}$$

对应差分方程为

$$\boxed{y(n)=\frac13y(n-1)+\frac13x(n)+\frac13x(n-1)}$$

11.2 含参数的一阶低通

设

$$H_a(s)=\frac{\alpha}{s+\alpha}$$

代入双线性变换公式并通分：

$$H(z)= \frac{\alpha(1+z^{-1})} {\frac{2}{T}(1-z^{-1})+\alpha(1+z^{-1})}$$

整理分母后得到

$$\boxed{ H(z)= \frac{\alpha(1+z^{-1})} {\left(\frac{2}{T}+\alpha\right) +\left(\alpha-\frac{2}{T}\right)z^{-1}} }$$

再将分子分母同除以 $2/T+\alpha$，即可得到分母首项为 1 的标准形式。此类题的关键就是：把 $H_a(s)$ 中所有 $s$ 替换，再通分整理。

11.3 预畸变例题

设 $T=1$，数字通带、阻带截止频率分别为

$$\omega_p=\frac{\pi}{4},\qquad \omega_s=\frac{\pi}{2}$$

由 $\Omega=2\tan(\omega/2)$：

$$\Omega_p=2\tan\frac{\pi}{8}=2(\sqrt2-1)\approx0.8284$$ $$\Omega_s=2\tan\frac{\pi}{4}=2$$

所以

$$\boxed{\Omega_p\approx0.8284,\qquad\Omega_s=2}$$

这一步先把数字频率指标校正为模拟频率指标，之后才能据此设计 $H_a(s)$。

12. 两种 IIR 方法怎么区分

脉冲响应不变法：

• 关键词：冲激响应采样
• 优点：时域保持好
• 缺点：有混叠

双线性变换法：

• 关键词：代换
• 优点：无混叠
• 缺点：频率非线性，需要预畸变

考试里比较时，直接记：

$$\boxed{\text{脉冲响应不变法：时域保持好，但有混叠}}$$ $$\boxed{\text{双线性变换法：无混叠，但频率非线性，需要预畸变}}$$

12.1 同一个 $H_a(s)$，结果为什么不同

对同一个

$$H_a(s)=\frac{1}{s+1},\qquad T=1$$

脉冲响应不变法得到

$$H(z)=\frac{1}{1-e^{-1}z^{-1}}$$

双线性变换法得到

$$H(z)=\frac{1+z^{-1}}{3-z^{-1}}$$

两者不同，是因为保留的对象不同。前者要求 $h(n)=h_a(nT)$，保留模拟冲激响应的采样值；后者保留 $s$ 平面与 $z$ 平面的一一映射关系，优先避免混叠。因此不能说其中一个必然更正确，应按设计要求选择。

12.2 考试步骤对比

脉冲响应不变法：

1. 将 $H_a(s)$ 作部分分式展开。
2. 找出各极点 $s_i$ 和留数 $A_i$。
3. 逐项使用 $A_i/(s-s_i)\rightarrow A_i/(1-e^{s_iT}z^{-1})$。
4. 需要时合并为一个有理函数。

口诀是：

$$\boxed{\text{部分分式，极点指数化。}}$$

双线性变换法：

1. 若题目给数字边界频率，先用 $\Omega=(2/T)\tan(\omega/2)$ 预畸变。
2. 将 $H_a(s)$ 中的 $s$ 全部替换为 $(2/T)(1-z^{-1})/(1+z^{-1})$。
3. 通分并整理为 $z^{-1}$ 的标准有理式。
4. 需要时由 $H(z)=Y(z)/X(z)$ 写出差分方程。

口诀是：

$$\boxed{\text{直接代换，先预畸变。}}$$

特别地，若 $T=2$，代换式简化为

$$s=\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$$

这通常是题目令计算更简单的信号。

13. 巴特沃斯在其中扮演什么角色

巴特沃斯不是数字化方法。脉冲响应不变法和双线性变换法解决的是 $H_a(s)\rightarrow H(z)$，巴特沃斯解决的是“怎样根据模拟指标求 $H_a(s)$”。完整关系是：

$$\boxed{ \text{数字指标}\rightarrow\text{模拟指标}\rightarrow \text{巴特沃斯求 }H_a(s)\rightarrow \text{选一种变换求 }H(z) }$$

巴特沃斯低通的幅度平方函数为

$$|H_a(j\Omega)|^2=\frac{1}{1+\left(\frac{\Omega}{\Omega_c}\right)^{2N}}$$

它的通带最大平坦，幅频响应随 $\Omega$ 增大而单调下降；阶数 $N$ 越大，过渡带越陡。

14. 完整设计流程与考试判断

若题目给出数字指标 $\omega_p,\omega_s,\alpha_p,\alpha_s$，先把它们转换成模拟指标。脉冲响应不变法使用 $\Omega=\omega/T$；双线性变换法使用 $\Omega=(2/T)\tan(\omega/2)$。然后设计模拟低通，求阶数 $N$、截止频率 $\Omega_c$ 和 $H_a(s)$，最后用指定方法得到 $H(z)$。

若题目直接给 $H_a(s)$ 并指定脉冲响应不变法，就做部分分式展开、找极点 $s_i$，再逐项使用

$$\frac{A_i}{s-s_i}\longrightarrow\frac{A_i}{1-e^{s_iT}z^{-1}}$$

若题目直接给 $H_a(s)$ 并指定双线性变换法，就代入

$$s=\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$$

最后把整轮压缩成一句话：

$$\boxed{ \text{IIR 设计的核心不是凭空写 }H(z)， \text{而是借用成熟的 }H_a(s)，\text{再用合适的映射把它数字化。} }$$

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第四轮：FIR 线性相位、窗函数法、频率采样法

这一轮先记住：

$$\boxed{\text{FIR 是有限长单位冲激响应滤波器}}$$

FIR 是 Finite Impulse Response。它的输出只由有限个输入样本加权求和，不需要过去输出反馈，所以结构稳定，而且容易设计成严格线性相位。

可以把 IIR 看成带反馈系统，而 FIR 更像有限记忆的加权平均器：

$$\boxed{\text{FIR 没有反馈，最大的优点是稳定并且容易实现线性相位。}}$$

1. FIR 系统函数

FIR 的冲激响应有限长：

$$0\le n\le N-1$$

系统函数：

$$H(z)=\sum_{n=0}^{N-1}h(n)z^{-n}$$

频率响应：

$$H(e^{j\omega})=\sum_{n=0}^{N-1}h(n)e^{-j\omega n}$$

FIR 的差分方程是

$$y(n)=\sum_{k=0}^{N-1}h(k)x(n-k)$$

展开后就是

$$y(n)=h(0)x(n)+h(1)x(n-1)+\cdots+h(N-1)x(n-N+1)$$

也就是说，当前输出只是当前与过去有限个输入的加权和。例如

$$y(n)=\frac13x(n)+\frac13x(n-1)+\frac13x(n-2)$$

是一个 3 点平均滤波器，可以削弱快速抖动，具有低通和平滑效果。

对差分方程做 Z 变换：

$$Y(z)=X(z)\left[h(0)+h(1)z^{-1}+\cdots+h(N-1)z^{-(N-1)}\right]$$

于是得到前面的 $H(z)$。它没有由过去输出形成的反馈分母，只有有限个延迟项。

FIR 也天然满足 BIBO 稳定性。只要输入有界、系数有限，有限个有界数的加权和必然有界。IIR 则需要额外检查极点是否位于单位圆内。

频率响应还可以写成

$$H(e^{j\omega})=|H(e^{j\omega})|e^{j\theta(\omega)}$$

其中 $|H(e^{j\omega})|$ 决定各频率被放大或衰减多少，$\theta(\omega)$ 决定各频率的相位变化。

2. 什么是线性相位

如果不同频率通过系统后延迟不一样，波形会变形。线性相位的意思是

$$\theta(\omega)=-\tau\omega$$

或者

$$\theta(\omega)=-\frac{\pi}{2}-\tau\omega$$

群时延定义为

$$\tau=-\frac{d\theta(\omega)}{d\omega}$$

人话解释：

$$\boxed{\tau \text{ 表示不同频率成分通过滤波器后延迟多少}}$$

如果 $\tau$ 是常数，不同频率延迟相同，波形就不容易失真。

例如方波由许多正弦分量叠加而成。若低频、中频、高频的延迟不同，它们到达时间不一致，重新叠加后就不再是原来的方波，这就是相位失真。因此线性相位真正想保住的是波形，而不仅仅是幅度。

3. FIR 线性相位的核心条件

这是必背公式：

$$\boxed{h(n)=\pm h(N-1-n)}$$

如果是加号，

$$h(n)=h(N-1-n)$$

叫偶对称。

如果是减号，

$$h(n)=-h(N-1-n)$$

叫奇对称。

平均延迟为

$$\tau=\frac{N-1}{2}$$

人话解释：只要 FIR 的冲激响应左右对称，或者左右反对称，它就能实现线性相位。

为什么对称会产生线性相位？以偶对称、$N=5$ 为例：

$$h(0)=h(4),\qquad h(1)=h(3)$$

频率响应可以配对整理成

$$H(e^{j\omega})=e^{-j2\omega} \left[h(2)+2h(1)\cos\omega+2h(0)\cos2\omega\right]$$

方括号中是实函数，$e^{-j2\omega}$ 则提供相位 $-2\omega$，对应固定群时延 2，而 $2=(N-1)/2$。一般情况下，对称项配对后都能提取出

$$e^{-j\omega(N-1)/2}$$

这个纯延迟项，这就是线性相位的来源。

4. 四种线性相位 FIR

线性相位 FIR 分四种：

1. 偶对称，$N$ 为奇数
2. 偶对称，$N$ 为偶数
3. 奇对称，$N$ 为奇数
4. 奇对称，$N$ 为偶数

四类的端点限制必须会判断：

• 第一类：偶对称、奇数长度，最通用，可设计低通、高通、带通和带阻。
• 第二类：偶对称、偶数长度，在 $\omega=\pi$ 处必为 0，不适合要求最高频通过的高通和带阻。
• 第三类：奇对称、奇数长度，在 $\omega=0$ 和 $\omega=\pi$ 处都为 0，常用于 Hilbert 变换器和微分器。
• 第四类：奇对称、偶数长度，在 $\omega=0$ 处必为 0，但 $\omega=\pi$ 处不一定为 0，可用于部分高通、带通和微分器。

简单记忆：

$$\boxed{\text{普通低通、高通、带通、带阻，优先想偶对称}}$$ $$\boxed{\text{奇对称多用于微分器、Hilbert 变换器}}$$

5. 窗函数法是什么

理想滤波器的频率响应通常是突然跳变的，但这往往对应无限长冲激响应，实际做不出来。

以理想低通为例：

$$H_d(e^{j\omega})= \begin{cases} e^{-j\omega\alpha},&|\omega|\le\omega_c,\\ 0,&\omega_c<|\omega|\le\pi \end{cases}$$

它的理想冲激响应是无限长的 sinc 型序列：

$$h_d(n)=\frac{\sin[\omega_c(n-\alpha)]}{\pi(n-\alpha)}$$

在 $n=\alpha$ 时应取极限 $h_d(\alpha)=\omega_c/\pi$。为获得线性相位，通常令

$$\alpha=\frac{N-1}{2}$$

使截取后的序列关于 FIR 中心对称。

窗函数法的做法是：

$$h(n)=h_d(n)w(n)$$

这里

• $h_d(n)$：理想冲激响应，通常无限长
• $w(n)$：窗函数，用来截断
• $h(n)$：实际 FIR 系数

人话解释：

$$\boxed{\text{窗函数法就是把无限长的理想响应剪成有限长}}$$

矩形窗相当于直接剪断序列，时域截断很突然，因此频域会出现明显波纹，即吉布斯效应。窗的主瓣宽度主要影响过渡带，旁瓣高度主要影响阻带波纹和阻带衰减：主瓣越窄，过渡带越陡；旁瓣越低，阻带抑制越强。二者通常不能同时做到最好。

6. 常见窗函数怎么选

• 矩形窗：过渡带窄，但旁瓣高，阻带衰减差
• 三角窗：旁瓣更低，但过渡带变宽
• 汉宁窗：阻带衰减更好
• 哈明窗：通常比汉宁窗更强
• 布莱克曼窗：阻带衰减更强，但过渡带更宽
• 凯泽窗：参数可调，更灵活

考试选窗时一般看阻带衰减 $\alpha_s$。

常见阻带衰减可近似记为：

• 矩形窗：约 21 dB
• 三角窗：约 25 dB
• 汉宁窗：约 44 dB
• 哈明窗：约 53 dB
• 布莱克曼窗：约 74 dB

强弱顺序是

$$\boxed{\text{矩形}<\text{三角}<\text{汉宁}<\text{哈明}<\text{布莱克曼}}$$

窗类型主要由阻带最小衰减决定，窗长度 $N$ 主要由过渡带宽度决定。过渡带越窄，所需 $N$ 越大。

7. 窗函数法设计步骤

第一步，看题目指标：$\omega_p,\omega_s,\alpha_s$。

第二步，根据 $\alpha_s$ 选窗。

第三步，估计窗长 $N$。

第四步，确定理想截止频率。低通、高通常取

$$\omega_c=\frac{\omega_p+\omega_s}{2}$$

第五步，写理想冲激响应 $h_d(n)$。

第六步，加窗得到

$$h(n)=h_d(n)w(n)$$

7.1 理想高通怎么写

高通可以理解成“全通减低通”。全通的冲激响应是 $\delta(n-\alpha)$，所以

$$\boxed{ h_d(n)=\delta(n-\alpha) -\frac{\sin[\omega_c(n-\alpha)]}{\pi(n-\alpha)} }$$

当 $n=\alpha$ 时，中心值应单独写为

$$h_d(\alpha)=1-\frac{\omega_c}{\pi}$$

7.2 高通 FIR 完整例题

设计线性相位高通 FIR，指标为

$$\omega_p=\frac{\pi}{2},\qquad \omega_s=\frac{\pi}{4},\qquad \alpha_s=40\text{ dB}$$

第一步，$\alpha_s=40\text{ dB}$，汉宁窗约能提供 44 dB 阻带衰减，因此选择汉宁窗。

第二步，过渡带宽度为

$$B_t=\omega_p-\omega_s=\frac{\pi}{4}$$

汉宁窗经验公式为 $B_t\approx6.2\pi/N$，所以

$$\frac{6.2\pi}{N}\le\frac{\pi}{4} \quad\Rightarrow\quad N\ge24.8$$

取 $N=25$。它既满足长度要求，又是奇数长度，不会把高通所需的 $\omega=\pi$ 响应强制为 0。

第三步，延迟为

$$\alpha=\frac{N-1}{2}=12$$

理想截止频率取过渡带中点：

$$\omega_c=\frac{\omega_p+\omega_s}{2}=\frac{3\pi}{8}$$

第四步，写出理想高通冲激响应：

$$h_d(n)=\delta(n-12) -\frac{\sin[\frac{3\pi}{8}(n-12)]}{\pi(n-12)}$$

中心值为

$$h_d(12)=1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$$

第五步，$N=25$ 的汉宁窗是

$$w(n)=0.5\left[1-\cos\left(\frac{2\pi n}{24}\right)\right] =0.5\left[1-\cos\left(\frac{\pi n}{12}\right)\right], \quad0\le n\le24$$

最终系数为

$$\boxed{h(n)=h_d(n)w(n),\qquad0\le n\le24}$$

因为 $w(12)=1$，所以中心系数 $h(12)=5/8$。完整流程可以记成

$$\boxed{\text{选窗}\rightarrow N\rightarrow\alpha\rightarrow\omega_c \rightarrow h_d(n)\rightarrow h_d(n)w(n)}$$

8. 频率采样法是什么

窗函数法是从时域出发，频率采样法是从频域出发。

它的做法是先对理想频率响应采样：

$$H_d(k)=H_d(e^{j\omega})\bigg|_{\omega=\frac{2\pi}{N}k}$$

再做 IDFT：

$$h(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}H_d(k)e^{j\frac{2\pi}{N}kn}$$

例如做 8 点低通频率采样，可以规定

$$H(k)=\{1,1,0,0,0,0,0,1\}$$

其中 1 表示相应频率通过，0 表示阻止。对这组频率样本做 8 点 IDFT，就得到有限长 $h(n)$。因此频率采样法的直观含义是：先在频率轴上指定若干点的滤波效果，再反变换得到时域系数。

它特别适合理想频率响应公式复杂，或者工程要求本来就只给出若干离散频率点的情况。

9. 窗函数法和频率采样法区别

窗函数法：从时域出发，先求 $h_d(n)$，再乘窗函数。

频率采样法：从频域出发，先给 $H_d(k)$，再 IDFT 求 $h(n)$。

讲义中的归纳就是：窗函数法控制时域截取方式，频率采样法控制频域采样点。

第四轮常见考点可以压缩为：

1. FIR 与 IIR 比较：FIR 无反馈、稳定、可严格线性相位，但同等指标下通常阶数和延迟更大。
2. 线性相位判断：检查 $h(n)=\pm h(N-1-n)$，群时延为 $(N-1)/2$。
3. 四类 FIR 判断：先看对称性，再看长度奇偶性和 $0,\pi$ 端点限制。
4. 窗函数设计：选窗、估计 $N$、求 $\alpha$ 和 $\omega_c$、写 $h_d(n)$、最后加窗。
5. 频率采样法：先取 $H_d(k)$，再由 IDFT 得到 $h(n)$。

小例题：判断 FIR 是否满足线性相位

已知某 FIR 滤波器长度 $N=5$，冲激响应为

$$h(0)=1,\quad h(1)=2,\quad h(2)=3,\quad h(3)=2,\quad h(4)=1$$

判断它是否满足线性相位条件。

解答：

线性相位 FIR 的核心条件是

$$h(n)=\pm h(N-1-n)$$

这里 $N=5$，所以应比较：

$$h(0)\text{ 与 }h(4),\quad h(1)\text{ 与 }h(3),\quad h(2)\text{ 与 }h(2)$$

题目中有

$$h(0)=h(4)=1,\quad h(1)=h(3)=2$$

所以它满足偶对称条件

$$h(n)=h(4-n)$$

因此它满足线性相位条件，且属于偶对称、奇数长度这一类。

最后把这一轮压缩成一句话：

$$\boxed{ \text{FIR 用有限长 }h(n)\text{ 逼近理想滤波器；线性相位靠对称性，} \text{窗函数法靠时域截断，频率采样法靠频域取点。} }$$

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最后再背：LTI 基础、单位冲激、卷积、采样定理、欧拉公式、复数运算

这一部分不是最难，但它是地基。如果你看不懂前面的内容，大概率是这些没懂。

1. LTI 是什么

LTI 是 Linear Time-Invariant，中文叫线性时不变系统。

线性意思是满足叠加原理。如果输入 $x_1(n)$ 输出 $y_1(n)$，输入 $x_2(n)$ 输出 $y_2(n)$，那么输入

$$ax_1(n)+bx_2(n)$$

输出应该是

$$ay_1(n)+by_2(n)$$

时不变意思是系统规则不随时间变化。如果输入延迟，输出也只延迟同样时间。

2. LTI 系统最重要公式

$$\boxed{y(n)=x(n)*h(n)}$$

意思是：输入 $x(n)$ 经过冲激响应为 $h(n)$ 的 LTI 系统，输出就是二者卷积。

3. 卷积常用性质

单位冲激卷积：

$$x(n)*\delta(n)=x(n)$$

延迟冲激卷积：

$$x(n)*\delta(n-n_0)=x(n-n_0)$$

和阶跃卷积：

$$x(n)*u(n)=\sum_{m=-\infty}^{n}x(m)$$

4. 采样定理

采样就是把连续信号变成离散信号。连续信号记作

$$x_a(t)$$

采样后

$$x(n)=x_a(nT)$$

这里 $T$ 是采样周期，$f_s$ 是采样频率。采样定理说：

$$\boxed{f_s\ge 2f_h}$$

其中 $f_h$ 是信号最高频率。意思是采样频率至少要大于等于最高频率的 $2$ 倍，否则会混叠。

5. 频谱混叠是什么

采样后，频谱会周期重复。如果采样频率太低，重复的频谱会重叠在一起，这就叫混叠。

人话解释：

$$\boxed{\text{混叠就是高频伪装成低频，导致恢复不回原信号}}$$

6. 欧拉公式

欧拉公式必须背：

$$e^{j\omega}=\cos\omega+j\sin\omega$$ $$e^{-j\omega}=\cos\omega-j\sin\omega$$

由它可以得到

$$\cos\omega=\frac{e^{j\omega}+e^{-j\omega}}{2}$$ $$\sin\omega=\frac{e^{j\omega}-e^{-j\omega}}{2j}$$

7. 复数模和相角

复数

$$a+jb$$

模长：

$$|a+jb|=\sqrt{a^2+b^2}$$

相角：

$$\arg(a+jb)=\tan^{-1}\frac{b}{a}$$

但注意象限，不能机械只看反正切值。

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按考试性价比的最终复习顺序

你现在就按这个顺序复习，不要乱。

第一优先级：Z 变换与系统分析。你要掌握 $X(z)$、ROC、极点零点、单位圆、系统函数 $H(z)$、因果性与稳定性。

第二优先级：DFT、圆周卷积、FFT。你要掌握 DFT/IDFT 定义、采样关系、圆周卷积、线性卷积长度和 FFT 本质。

第三优先级：IIR 滤波器设计。你要掌握 IIR 的反馈特征、指标定义、脉冲响应不变法与双线性变换法。

第四优先级：FIR 滤波器设计。你要掌握线性相位条件、四种对称类型、窗函数法与频率采样法。

第五优先级：基础知识。你要掌握 $\delta(n)$、$u(n)$、卷积、LTI、采样定理、欧拉公式、复数模和相角。

最后把整门课压成一句话：

$$\boxed{ \text{Z 变换看系统性质，DFT/FFT 看有限频谱，IIR 靠模拟滤波器变换，FIR 靠线性相位和有限长逼近。} }$$