数字信号处理入门：FIR 滤波器线性相位、窗函数法与频率采样法

这篇文章面向刚入门数字信号处理的读者，主题是数字 FIR 滤波器设计方法。前面学习 IIR 滤波器时，重点往往是如何借助模拟滤波器设计数字滤波器；而在 FIR 滤波器中，最核心的关键词变成了“线性相位”“有限长冲激响应”“窗函数”和“频率采样”。

FIR 的英文是 Finite Impulse Response，意思是有限长单位冲激响应。通俗地说，FIR 滤波器的输出只由有限个输入样本的加权和决定，不需要把过去输出再反馈回来。因此，FIR 滤波器通常结构稳定，而且特别容易设计成严格线性相位，这一点对图像处理、数据传输、测量信号分析等场景非常重要。

为什么还要学习 FIR 滤波器

IIR 数字滤波器有一个明显优点：设计方便。它可以利用成熟的模拟滤波器设计结果，例如巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器、椭圆滤波器，然后通过脉冲响应不变法或双线性变换法得到数字滤波器。因此，在很多只关心幅频特性、不太关心波形形状的场合，IIR 滤波器非常经济。

但是 IIR 滤波器的缺点也很明显：相位一般不是线性的。如果一个系统只改变不同频率分量的幅度，而不希望改变它们之间的相对时间关系，那么非线性相位就可能造成波形失真。要让 IIR 具有线性相位，通常需要额外增加相位校正网络，系统会变复杂。

FIR 滤波器的优势正好在这里。它可以获得严格的线性相位，同时还能具有任意幅度特性。由于 FIR 通常没有反馈回路，所以它是无条件稳定的。进行长序列滤波时，还可以使用 FFT 加速计算。它的不足是，在同样幅频指标下，所需阶数通常比 IIR 高，计算量和延时也更大。

相位失真从哪里来

设输入信号的频谱为 $X(e^{j\omega})$，滤波器频率响应为 $H(e^{j\omega})$，输出频谱为 $Y(e^{j\omega})$。线性时不变系统满足

$$Y(e^{j\omega})=X(e^{j\omega})H(e^{j\omega}).$$

如果把这三个量都写成幅度和相位的形式：

$$X(e^{j\omega})=|X(e^{j\omega})|e^{j\arg X(e^{j\omega})},$$ $$H(e^{j\omega})=|H(e^{j\omega})|e^{j\theta(\omega)},$$ $$Y(e^{j\omega})=|Y(e^{j\omega})|e^{j\arg Y(e^{j\omega})}.$$

两边取模，得到

$$|Y(e^{j\omega})|=|X(e^{j\omega})|\cdot |H(e^{j\omega})|.$$

这说明幅频响应 $|H(e^{j\omega})|$ 决定了不同频率分量被放大或衰减多少。两边取相位，得到

$$\arg Y(e^{j\omega})=\arg X(e^{j\omega})+\theta(\omega).$$

这说明相频特性 $\theta(\omega)$ 决定了不同频率分量的相位变化。

如果一个信号由多个频率成分组成，而这些频率成分通过滤波器后获得的时间延迟不同，那么原来的波形结构就会被破坏。这就是相位失真的直观来源。

线性相位与群时延

为了不产生相位失真，希望不同频率分量通过滤波器后具有相同的时间延迟。这个时间延迟称为群时延，定义为

$$\tau=-\frac{d\theta(\omega)}{d\omega}.$$

如果 $\tau$ 是常数，那么对 $\omega$ 积分可以得到线性相位。常见的准确线性相位有两类：

$$\theta(\omega)=-\tau\omega,$$ $$\theta(\omega)=\theta_0-\tau\omega,\qquad \theta_0=-\frac{\pi}{2}.$$

第一类线性相位是一条过原点的直线；第二类线性相位是一条带有 $-\pi/2$ 截距的直线。二者的共同点是斜率都是 $-\tau$，因此群时延相同。

FIR 滤波器的基本形式

FIR 滤波器的单位冲激响应 $h(n)$ 是有限长序列，通常规定

$$0\leq n\leq N-1.$$

它的系统函数为

$$H(z)=\sum_{n=0}^{N-1}h(n)z^{-n},$$

频率响应为

$$H(e^{j\omega})=\sum_{n=0}^{N-1}h(n)e^{-j\omega n}.$$

当 $h(n)$ 是实序列时，可以把频率响应写成

$$H(e^{j\omega})=H_g(\omega)e^{j\theta(\omega)}.$$

这里 $H_g(\omega)$ 称为幅度特性。注意，$H_g(\omega)$ 与普通幅度响应 $|H(e^{j\omega})|$ 不完全一样，因为 $H_g(\omega)$ 可以为正，也可以为负；而 $|H(e^{j\omega})|$ 总是非负。

第一类线性相位对应的时域条件

第一类线性相位满足

$$\theta(\omega)=-\omega\tau.$$

如果

$$H(e^{j\omega})=H_g(\omega)e^{-j\omega\tau},$$

另一方面又有

$$H(e^{j\omega})=\sum_{n=0}^{N-1}h(n)[\cos(\omega n)-j\sin(\omega n)].$$

把实部和虚部分别比较，可以得到

$$H_g(\omega)\cos(\omega\tau)=\sum_{n=0}^{N-1}h(n)\cos(\omega n),$$ $$H_g(\omega)\sin(\omega\tau)=\sum_{n=0}^{N-1}h(n)\sin(\omega n).$$

进一步整理后，得到

$$\sum_{n=0}^{N-1}h(n)\sin[\omega(n-\tau)]=0.$$

要让这个式子对所有频率都成立，一个自然的选择是让

$$\tau=\frac{N-1}{2},$$

并要求 $h(n)$ 关于 $(N-1)/2$ 偶对称，即

$$h(n)=h(N-1-n),\qquad 0\leq n\leq N-1.$$

因此，第一类线性相位对应的时域条件可以概括为：冲激响应偶对称，平均延迟为 $(N-1)/2$。

第二类线性相位对应的时域条件

第二类线性相位满足

$$\theta(\omega)=-\frac{\pi}{2}-\omega\tau.$$

类似地，把频率响应的实部和虚部分别比较，最终会得到

$$\sum_{n=0}^{N-1}h(n)\cos[\omega(n-\tau)]=0.$$

这时仍取

$$\tau=\frac{N-1}{2},$$

但要求 $h(n)$ 关于 $(N-1)/2$ 奇对称，即

$$h(n)=-h(N-1-n),\qquad 0\leq n\leq N-1.$$

所以，第二类线性相位对应的时域条件可以概括为：冲激响应奇对称，平均延迟仍为 $(N-1)/2$，相位直线在零频处多出 $-\pi/2$ 的截距。

线性相位 FIR 的充要条件

FIR 滤波器具有线性相位的充要条件为

$$\tau=\frac{N-1}{2},$$ $$h(n)=\pm h(N-1-n),\qquad 0\leq n\leq N-1.$$

其中正号表示偶对称，负号表示奇对称。由于 $h(n)$ 可以是偶对称或奇对称，而长度 $N$ 又可以是奇数或偶数，因此线性相位 FIR 滤波器共有四种类型。

四种线性相位 FIR 的幅度特性

偶对称、奇数长度

当 $h(n)$ 为偶对称，且 $N$ 为奇数时，存在一个正好落在整数采样点上的对称中心。记

$$\tau=\frac{N-1}{2}.$$

频率响应可以写成

$$H(e^{j\omega})=H_g(\omega)e^{-j\omega\tau},$$

其中

$$H_g(\omega)=h(\tau)+\sum_{n=0}^{M-1}2h(n)\cos[\omega(n-\tau)].$$

由于余弦项关于 $\omega=0,\pi,2\pi$ 都具有偶对称性质，所以 $H_g(\omega)$ 也关于这些频点偶对称。这类 FIR 适合设计低通、高通、带通、带阻等常见选频滤波器。

偶对称、偶数长度

当 $h(n)$ 为偶对称，且 $N$ 为偶数时，对称中心落在两个采样点之间，没有单独的中心项。这时

$$H_g(\omega)=\sum_{n=0}^{M}2h(n)\cos[\omega(n-\tau)].$$

由于 $N$ 为偶数，

$$\tau=\frac{N}{2}-\frac{1}{2}.$$

在 $\omega=\pi$ 处，相关余弦项会导致 $H_g(\pi)=0$。因此，这类滤波器不适合设计在 $\omega=\pi$ 处幅度不为零的滤波器，例如高通和带阻；它更适合低通和带通。

奇对称、奇数长度

当 $h(n)$ 为奇对称，且 $N$ 为奇数时，中心点的值必须为 0。此时幅度函数可写成正弦项形式：

$$H_g(\omega)=\sum_{n=0}^{M-1}2h(n)\sin[\omega(n-\tau)].$$

当 $\omega=0,\pi,2\pi$ 时，正弦项为 0，所以 $H_g(\omega)$ 在这些点为 0。这类滤波器适合设计带通滤波器，也常用于需要奇对称特性的系统，例如 Hilbert 变换器、微分器等。

奇对称、偶数长度

当 $h(n)$ 为奇对称，且 $N$ 为偶数时，同样有

$$H_g(\omega)=\sum_{n=0}^{M}2h(n)\sin[\omega(n-\tau)].$$

这类幅度函数在 $\omega=0$ 和 $2\pi$ 处为 0，但在 $\omega=\pi$ 处不必为 0。因此，它适合设计高通和带通滤波器。

将四种情况记成一句话：偶对称适合常规选频，奇对称适合在零频处必须为零的响应；$N$ 的奇偶性决定了 $\omega=\pi$ 处是否被强制为零。

线性相位 FIR 的零点分布

线性相位 FIR 满足

$$h(n)=\pm h(N-1-n).$$

将这个关系代入系统函数

$$H(z)=\sum_{n=0}^{N-1}h(n)z^{-n},$$

可得到

$$H(z)=\pm z^{-(N-1)}H(z^{-1}).$$

这个式子说明，如果 $z_i$ 是 $H(z)$ 的零点，那么 $z_i^{-1}$ 也是零点。又因为 $h(n)$ 是实序列，所以零点还必须共轭成对。于是对于一般复零点 $z_i$，还会同时出现

$$z_i^*,\qquad z_i^{-1},\qquad (z_i^{-1})^*.$$

因此，线性相位 FIR 的零点通常呈“共轭 + 倒数”的成组分布。知道其中一个零点，其他相关零点也就基本确定了。

FIR 设计的三类逼近方法

设计 FIR 滤波器时，通常先给出理想频率响应

$$H_d(e^{j\omega}),$$

然后希望找到一个 $N$ 点有限长序列 $h(n)$，使得

$$H(e^{j\omega})=\sum_{n=0}^{N-1}h(n)e^{-j\omega n}$$

尽可能逼近 $H_d(e^{j\omega})$。

常见逼近方法有三类：窗函数设计法、频率采样法和最优化设计。窗函数法是时域逼近，频率采样法是频域逼近，最优化设计则常用于等波纹逼近。

窗函数设计法的基本思想

理想单位冲激响应 $h_d(n)$ 可以由理想频率响应通过傅里叶反变换得到：

$$h_d(n)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}H_d(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega.$$

对于理想低通、高通、带通、带阻等滤波器，理想频率响应往往是分段常数，在边界频率处有突变。因此，其反变换 $h_d(n)$ 往往是无限长、非因果序列。而实际可实现的 FIR 滤波器必须是有限长、因果序列。

怎样用有限长 $h(n)$ 逼近无限长 $h_d(n)$？最直接的方法就是截取一段。这个截取过程可以看作通过一个“窗口”观察 $h_d(n)$，所以称为窗函数法。

$$h(n)=w(n)h_d(n).$$

如果 $w(n)$ 是矩形窗，就相当于直接截取；如果 $w(n)$ 不是矩形窗，则相当于在截取范围内对 $h_d(n)$ 进行加权处理。

理想低通的单位冲激响应

以截止频率为 $\omega_c$ 的理想低通滤波器为例。若希望它具有线性相位，理想频率响应可写成

$$H_d(e^{j\omega})= \begin{cases} e^{-j\omega\alpha}, & |\omega|\leq \omega_c,\\ 0, & \omega_c<|\omega|\leq \pi. \end{cases}$$

这里 $\alpha$ 是滤波器的延迟时间。由傅里叶反变换可得

$$h_d(n)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_c}^{\omega_c}e^{-j\omega\alpha}e^{j\omega n}d\omega.$$

整理后得到

$$h_d(n)=\frac{\sin[\omega_c(n-\alpha)]}{\pi(n-\alpha)}.$$

也可以写为

$$h_d(n)=\frac{\omega_c}{\pi}\operatorname{Sa}[\omega_c(n-\alpha)].$$

这个序列是以 $\alpha$ 为中心的 sinc 型无限长序列。为了让截取后的 $h(n)$ 仍具有线性相位，需要令

$$\alpha=\frac{N-1}{2}.$$

然后取

$$h(n)= \begin{cases} h_d(n), & 0\leq n\leq N-1,\\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$$

矩形窗的频率响应

矩形窗可写成

$$w_R(n)=R_N(n).$$

它的频率响应为

$$W_R(e^{j\omega}) = e^{-j\omega (N-1)/2} \frac{\sin(N\omega/2)}{\sin(\omega/2)}.$$

其中

$$W_{Rg}(\omega)=\frac{\sin(N\omega/2)}{\sin(\omega/2)}$$

是起主要作用的幅度函数。矩形窗的主瓣宽度决定了过渡带的宽度，旁瓣高度决定了通带和阻带的波动程度。

窗函数截取本质上是时域相乘，因此在频域中会变成卷积。理想低通的矩形频率响应和窗函数频率响应卷积后，原来突变的边沿会被抹宽，形成过渡带；通带和阻带会出现波动。

吉布斯效应与窗函数取舍

加窗处理对理想矩形频率响应的影响主要有三点。

第一，窗函数的频谱会使滤波器频率响应出现通带波动和阻带波动，在过渡带两侧波动最大。矩形窗对应的最大波动约为 8.95%，并且与 $N$ 无关，这称为吉布斯效应。

第二，理想频率响应的不连续边沿会被加宽，形成过渡带。过渡带宽度大致由窗函数频率响应的主瓣宽度决定。

第三，增大窗口长度 $N$ 可以减小主瓣宽度，因此能减小过渡带宽度；但如果窗函数形状不变，主瓣与旁瓣的相对比例不会改变，所以不能从根本上降低波动。

因此，调整 $N$ 主要控制过渡带宽度；想减少通带和阻带波动、提高阻带衰减，则需要改变窗函数形状。一般来说，旁瓣越低，阻带衰减越大；但代价是主瓣往往变宽，过渡带变宽。

常见窗函数

矩形窗

矩形窗最简单：

$$w(n)=R_N(n).$$

它的主瓣较窄，过渡带较窄，但旁瓣较高，阻带衰减较差。

Bartlett 窗

Bartlett 窗也叫三角窗，它的形状从两端逐渐上升到中间，再逐渐下降。相比矩形窗，它降低了旁瓣，但主瓣变宽。

Hanning 窗

Hanning 窗也称汉宁窗或升余弦窗，形式为

$$w(n)=0.5\left[1-\cos\left(\frac{2\pi n}{N-1}\right)\right]R_N(n).$$

它比矩形窗具有更低旁瓣，因此阻带衰减更好，但过渡带比矩形窗更宽。

Hamming 窗

Hamming 窗也叫哈明窗，是改进的升余弦窗：

$$w(n)=\left[0.54-0.46\cos\left(\frac{2\pi n}{N-1}\right)\right]R_N(n).$$

它通常能提供比 Hanning 窗更大的阻带衰减。

Blackman 窗与 Kaiser 窗

Blackman 窗进一步降低旁瓣，阻带衰减更大，但过渡带更宽。Kaiser 窗比较灵活，可以通过参数 $\beta$ 调节主瓣宽度和旁瓣衰减，是工程中常见的可调窗函数。

常见窗函数参数可概括如下：

窗函数	旁瓣峰值/dB	过渡带近似宽度	过渡带精确宽度	阻带最小衰减/dB
矩形窗	-13	$4\pi/N$	$1.8\pi/N$	-21
三角窗	-25	$8\pi/N$	$6.1\pi/N$	-25
汉宁窗	-31	$8\pi/N$	$6.2\pi/N$	-44
哈明窗	-41	$8\pi/N$	$6.6\pi/N$	-53
布莱克曼窗	-57	$12\pi/N$	$11\pi/N$	-74
Kaiser 窗 $(\beta=7.865)$	-57	视参数而定	$10\pi/N$	-80

这张表的使用方法很简单：如果题目给出阻带最小衰减，就先选一个能满足该衰减的窗函数；如果题目给出过渡带宽度，就用该窗函数的过渡带公式估计 $N$。

窗函数法设计 FIR 的步骤

窗函数法的基本步骤如下。

第一，根据过渡带宽度和阻带衰减指标选择窗函数类型，并估计窗口长度 $N$。

第二，构造希望逼近的理想频率响应 $H_d(e^{j\omega})$。

第三，计算理想单位冲激响应

$$h_d(n)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}H_d(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega.$$

第四，加窗得到

$$h(n)=h_d(n)w(n).$$

第五，检查实际频率响应是否满足误差指标。如果不满足，就重新选择窗函数类型或窗口长度。

解答题例题：用窗函数法设计高通 FIR 滤波器

要求设计线性相位高通 FIR 数字滤波器，指标为

$$\omega_p=\frac{\pi}{2},\qquad \omega_s=\frac{\pi}{4},$$ $$\alpha_p=1\text{ dB},\qquad \alpha_s=40\text{ dB}.$$

首先根据阻带最小衰减 $\alpha_s=40\text{ dB}$，可选择 Hanning 窗或 Hamming 窗。这里选择 Hanning 窗。过渡带宽度为

$$B_t\leq \omega_p-\omega_s=\frac{\pi}{4}.$$

Hanning 窗的精确过渡带宽度为

$$B_t=\frac{6.2\pi}{N}.$$

为了满足要求，需要

$$\frac{6.2\pi}{N}\leq \frac{\pi}{4},$$

所以

$$N\geq 24.8.$$

高通滤波器通常要求选择奇数长度，因此取

$$N=25.$$

Hanning 窗为

$$w(n)=0.5\left[1-\cos\left(\frac{\pi n}{12}\right)\right]R_{25}(n).$$

由于

$$\tau=\frac{N-1}{2}=12,$$

理想高通的截止频率取通带和阻带边界的中点：

$$\omega_c=\frac{\omega_p+\omega_s}{2}=\frac{3\pi}{8}.$$

理想高通可以看作全通减去低通，因此

$$h_d(n)=\delta(n-12)-\frac{\sin[3\pi(n-12)/8]}{\pi(n-12)}.$$

最后加窗得到

$$h(n)=h_d(n)w(n).$$

也就是

$$h(n)= \left\{ \delta(n-12)-\frac{\sin[3\pi(n-12)/8]}{\pi(n-12)} \right\} \cdot 0.5\left[1-\cos\left(\frac{\pi n}{12}\right)\right]R_{25}(n).$$

这个例题体现了窗函数法的典型套路：先由阻带衰减选窗，再由过渡带宽度估算 $N$，再写出理想响应，最后加窗。

解答

这道题的核心步骤是四段式。

第一，先由阻带衰减

$$\alpha_s=40\text{ dB}$$

选择合适窗函数。这里选 Hanning 窗，是因为它能满足题目要求的阻带衰减水平。

第二，用过渡带宽度估算长度 $N$。题目给出

$$\omega_p=\frac{\pi}{2},\qquad \omega_s=\frac{\pi}{4},$$

所以允许的过渡带宽度为

$$B_t\le \omega_p-\omega_s=\frac{\pi}{4}.$$

再代入 Hanning 窗的经验公式

$$B_t=\frac{6.2\pi}{N},$$

即可求得

$$N\ge 24.8,$$

因此取奇数长度

$$N=25.$$

第三，写出理想高通滤波器的冲激响应。先取延迟

$$\tau=\frac{N-1}{2}=12,$$

再取截止频率中点

$$\omega_c=\frac{\omega_p+\omega_s}{2}=\frac{3\pi}{8},$$

从而得到理想高通响应 $h_d(n)$。

第四，用窗函数加权：

$$h(n)=h_d(n)w(n).$$

这一题真正要记住的是设计顺序：先按阻带选窗，再按过渡带宽度定长度，最后写理想响应并加窗。

课堂练习整理

FIR 数字滤波器与 IIR 数字滤波器相比，最大的优点是可以保证系统具有线性相位特性。

关于 IIR 和 FIR 的说法中，“IIR 滤波器可以得到严格线性相位”通常是错误的。IIR 具有递归结构，可用较低阶数获得较高选择性，但严格线性相位不是它的天然优势。

关于 FIR 的说法中，“FIR 滤波器容易设计成线性相位特性”是正确的；“FIR 的冲激响应长度无限”是错误的，因为 FIR 本身就表示有限长冲激响应；“FIR 可直接利用模拟滤波器间接设计”也不是它的主要方法；相同幅频要求下，FIR 阶数一般比 IIR 高。

如果 FIR 滤波器满足

$$h(n)=h(N-1-n),$$

且 $N$ 为奇数，那么它属于偶对称、奇数长度类型，可以实现低通、高通、带通、带阻滤波器。

窗函数法设计 FIR 的步骤可以概括为：先选窗函数类型，再确定窗口长度，再构造理想频率响应，求 $h_d(n)$，最后加窗得到 $h(n)$。选择窗函数类型的依据主要是阻带最小衰减，选择窗函数长度的依据主要是过渡带宽度。

频率采样法为什么更直接

窗函数法从时域出发，先求理想冲激响应 $h_d(n)$，再截断成有限长 $h(n)$。但是实际滤波器指标通常是在频域给出的，例如要求某些频段通过，某些频段衰减。因此，从频域出发的频率采样法更加直接。

频率采样法特别适合两种情况：第一，理想频率响应 $H_d(e^{j\omega})$ 公式比较复杂；第二，理想频率响应无法用封闭公式表示，只能用若干离散频率点上的数值表示。

频率采样法的基本原理

频率采样法从频域出发，把给定的理想频率响应等间隔采样：

$$H_d(k)=H_d(e^{j\omega})\bigg|_{\omega=\frac{2\pi}{N}k}, \qquad k=0,1,2,\cdots,N-1.$$

再对 $H_d(k)$ 作 $N$ 点 IDFT，得到

$$h(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}H_d(k)e^{j\frac{2\pi}{N}kn}.$$

这样得到的 $h(n)$ 就是一个有限长 FIR 序列。

从系统函数角度看，也可以利用频率采样值直接构造

$$H(z)=\frac{1-z^{-N}}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \frac{H_d(k)}{1-e^{j\frac{2\pi}{N}k}z^{-1}}.$$

这个形式适合频率采样结构型 FIR。直接由 $h(n)$ 实现，则适合直接型 FIR。

窗函数法与频率采样法的区别

窗函数法从时域出发。它先得到理想的 $h_d(n)$，再用窗函数截成有限长的 $h(n)$，然后用这个 $h(n)$ 逼近理想频率响应。

频率采样法从频域出发。它先对 $H_d(e^{j\omega})$ 等间隔采样，得到 $H(k)$，再由这些频域样本通过 IDFT 唯一确定 $h(n)$。

两种方法的核心区别是：窗函数法控制的是时域截取方式，频率采样法控制的是频域采样点。前者更适合规则理想响应，后者更适合频域指标以离散数据给出的情况。

频率采样法中的线性相位约束

频率采样法若要设计线性相位 FIR，也必须满足线性相位的时域条件：

$$h(n)=h(N-1-n)$$

或

$$h(n)=-h(N-1-n).$$

对于偶对称 FIR，如果 $N$ 为奇数，幅度函数 $H_g(k)$ 必须满足偶对称：

$$H_g(k)=H_g(N-k).$$

这对应于幅度函数关于 $N/2$ 偶对称。

如果 $N$ 为偶数，则幅度函数应满足

$$H_g(k)=-H_g(N-k),$$

并且

$$H_g(N/2)=0.$$

也就是说，偶数长度情况下，$\omega=\pi$ 对应的采样点幅度受到约束。

对于理想低通，若采样点数 $N$ 为奇数，可以先根据截止频率确定通过区间的最大整数 $k_c$，再设置低频采样点为 1，高频采样点为 0，并按对称关系补齐另一半。

对于高通和带阻滤波器，通常要求 $N$ 取奇数，因为这类滤波器往往要求 $\omega=\pi$ 处不为 0，而偶数长度偶对称结构可能会强制 $\omega=\pi$ 处为 0。

IIR 与 FIR 的比较

从性能上比较

IIR 滤波器可以用较低阶数获得较高选择性，所需存储单元少，计算量小，因此经济高效。但是这种效率往往以相位非线性为代价。选择性越好，相位非线性可能越严重。

FIR 滤波器可以得到严格线性相位，但如果要求高选择性，通常需要较高阶数。对于同样指标，FIR 阶数可能比 IIR 高 5 到 10 倍，因此成本较高，信号延时也较大。

从结构上比较

IIR 必须采用递归结构，极点位置必须在单位圆内，否则系统不稳定。由于存在反馈，有限字长效应也需要格外注意。

FIR 主要采用非递归结构。有限长冲激响应决定了它本身稳定，不论从理论上还是在实际有限精度运算中，稳定性问题都更容易控制。FIR 还可以采用 FFT 算法提高运算速度。

从设计工具上比较

IIR 可以借助模拟滤波器设计成果，一般有封闭形式的公式，计算较直接，对计算工具要求不高。

FIR 的设计通常没有完全封闭的统一公式。窗函数法虽然能给出窗函数公式，但通带、阻带衰减等指标通常不能用简单显式公式完全准确表达，往往需要数值验证。

从应用灵活性比较

IIR 更适合低通、高通、带通、带阻等幅频特性比较规则的选频滤波器。

FIR 更灵活，尤其适合对波形保真度要求高的场合，也适合构成微分器、Hilbert 变换器、特殊幅频响应滤波器等。

实际选择时可以按一句话判断：如果主要追求效率、相位要求不高，可以选 IIR；如果波形携带重要信息、要求线性相位，优先考虑 FIR。

补充复习：频域采样理论

讲义最后补充了频域采样理论，它是理解 DFT、频率采样法和 FIR 设计的重要基础。

时域抽样定理告诉我们，若想从抽样序列无失真恢复连续信号，抽样频率必须满足

$$f_s\geq 2f_h.$$

恢复连续信号时，可用抽样内插公式

$$x_a(t)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x_a(mT) \frac{\sin[\pi(t-mT)/T]}{\pi(t-mT)/T}.$$

这说明时域采样会导致频域周期延拓；如果采样频率不足，就会发生频域混叠。

而频域采样理论讨论的是相反问题：如果在频域对 $X(z)$ 或 $X(e^{j\omega})$ 等间隔采样，时域会发生什么？

对于有限长序列 $x(n)$，其 DFT 样本为

$$X(k)=X(z)\bigg|_{z=e^{j\frac{2\pi}{N}k}}.$$

也可以理解为

$$X(k)=X(e^{j\omega})\bigg|_{\omega=\frac{2\pi}{N}k}.$$

也就是说，DFT 是对 $X(z)$ 在单位圆上的 $N$ 个等分点采样，或者说是对 DTFT 在 $[0,2\pi]$ 上作 $N$ 点等间隔采样。

频域采样定理

设任意序列 $x(n)$ 的 Z 变换为

$$X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)z^{-n},$$

并且收敛域包含单位圆。若在单位圆上对 $X(z)$ 等间隔采样 $N$ 点：

$$X(k)=X(z)\bigg|_{z=W_N^{-k}} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)W_N^{nk},$$

再把 $X(k)$ 看成长度为 $N$ 的序列并作 IDFT，得到 $x_N(n)$。这时 $x_N(n)$ 与原序列的关系为

$$x_N(n)=\sum_{r=-\infty}^{\infty}x(n+rN).$$

这句话非常重要：频域抽样，会导致时域周期延拓并相加。

如果原序列长度为 $M$，只有当

$$N\geq M$$

时，周期延拓的各段不会在主值区间发生重叠，因此可以无失真恢复原序列。若 $N<M$，延拓后的各段会相互叠加，产生时域混叠。

频域采样定理可以总结为：长度为 $M$ 的有限长序列，频域采样不失真的条件是频域采样点数 $N\geq M$。此时，长度不超过 $N$ 的有限长序列可以由它的 Z 变换在单位圆上 $N$ 个均分点处的采样值精确表示。

频域内插公式

当 $N\geq M$ 时，可以用 $N$ 个频率采样值 $X(k)$ 表示整个 $X(z)$。内插公式为

$$X(z)=\sum_{k=0}^{N-1}X(k)\Phi_k(z),$$

其中

$$\Phi_k(z)=\frac{1}{N}\frac{1-z^{-N}}{1-W_N^{-k}z^{-1}}.$$

在单位圆上令 $z=e^{j\omega}$，得到

$$X(e^{j\omega})=\sum_{k=0}^{N-1}X(k)\Phi_k(e^{j\omega}).$$

$\Phi_k(e^{j\omega})$ 可以理解为频域内插函数，它把离散采样点之间的频谱连续地补出来。换句话说，只要频域采样点足够多，就可以从这些采样点恢复出原来的连续频谱形状。

本讲总结

FIR 滤波器设计的主线可以概括为四句话。

第一，FIR 的最大优势是可以实现严格线性相位，并且由于无反馈结构，稳定性好。

第二，线性相位 FIR 的关键在于冲激响应的对称性：

$$h(n)=\pm h(N-1-n).$$

第三，窗函数法从时域出发，用有限长窗函数截取理想无限长冲激响应；窗函数类型主要由阻带衰减决定，窗函数长度主要由过渡带宽度决定。

第四，频率采样法从频域出发，对理想频率响应等间隔采样，再通过 IDFT 得到 FIR 系数；它与频域采样理论密切相关，频域采样点数不足会导致时域混叠。

对于 0 基础学习者，建议先掌握“线性相位等于不改变波形相对时间结构”这一核心观念，再理解“偶对称或奇对称的 $h(n)$ 会带来线性相位”。随后再学习窗函数法和频率采样法，就会自然很多。