① 合并：$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x + xf(x)}{x^2} = 2$。

② 由 $\sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)$，分子 $= x + xf(x) + o(x^3)$，故

③ 由脱帽法：在 $x = 0$ 的去心邻域内，$1 + f(x) = 2x + o(x)$，即 $f(x) = -1 + 2x + o(x)$。

④ 由 $f(x)$ 连续：$f(0) = \lim\limits_{x \to 0} f(x) = -1$。

故 $f(0) = -1$，$f'(0) = 2$。

① 确定 $f(0)$：当 $x = 0$ 时，$0 = \int_1^{y} \sin^2\!\left(\dfrac{\pi t}{4}\right)dt$，上限等于下限，故 $y = 1$，即 $f(0) = 1$。

② 两边对 $x$ 求导：

代入 $x = 0$，$y = 1$：$\sin^2\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{1}{2}$，故 $1 = \dfrac{1}{2}(y' - 1)$，解得 $y'(0) = 3$，即 $f'(0) = 3$。

③ 由导数定义：

代入 $x = 0$：$\sin 0 - \int_0^{y(0)} \varphi(u)\,du = 0$，即 $\int_0^{y(0)} \varphi(u)\,du = 0$。由 $\varphi(u) > 0$ 知 $y(0) = 0$。

一阶导：两边对 $x$ 求导：

代入 $x = 0$，$y = 0$：$1 - [1 \cdot y'(0) - 1] = 0$，解得 $y'(0) = 2$。

二阶导：再对 $x$ 求导：

代入 $x = 0$，$y = 0$，$y'(0) = 2$：

解得 $y''(0) = -3$。

一阶导：两边对 $x$ 求导：

代入 $x = 1$，$y = -2$：

二阶导：再对 $x$ 求导：

代入 $x = 1$，$y = -2$，$y'(1) = 0$：

方法一（直接求导）：

方法二（对数运算法则简化）：

注：$\dfrac{d}{dx}[\ln(kx)] = \dfrac{1}{x}$（而非 $\dfrac{1}{kx}$），因为 $\ln(kx) = \ln k + \ln x$，$\ln k$ 为常数。

方法一（定义法）：$f(0) = (1-1)(1-2)\cdots(1-n) = 0$。

由 $e^x - 1 \sim x$（$x \to 0$），故

方法二（分离零因子）：令 $g(x) = e^x - 1$，$h(x) = (e^{2x}-2)\cdots(e^{nx}-n)$。

$g(0) = 0$，$g'(0) = 1$，$h(0) = (-1)(-2)\cdots(-(n-1)) = (-1)^{n-1}(n-1)!$。

$f'(0) = g'(0)h(0) + g(0)h'(0) = 1 \cdot (-1)^{n-1}(n-1)! + 0 = (-1)^{n-1}(n-1)!$。

答案：A。

函数值相同：$-1 = 1 + a + b$，即 $a + b = -2$。

导数值相同：第一条曲线 $y' = 2x + a$，在 $x = 1$ 处 $y' = 2 + a$。

第二条曲线两边对 $x$ 求导：$2y' = y^3 + 3xy^2 y'$，代入 $(1, -1)$：

$2y' = -1 + 3y'$，解得 $y' = 1$。

故 $2 + a = 1$，$a = -1$，$b = -1$。

答案：D。

两边对 $x$ 求导：$e^{2x+y}(2 + y') + \sin(xy)(y + xy') = 0$。

代入 $(0, 1)$：$e(2 + y') + 0 = 0$，解得 $y'(0) = -2$。

法线斜率 $= -\dfrac{1}{y'(0)} = \dfrac{1}{2}$（切线与法线斜率互为负倒数）。

法线方程：$y - 1 = \dfrac{1}{2}(x - 0)$，即 $y = \dfrac{1}{2}x + 1$。

设切点为 $(x_0, y_0)$。

函数值相同：$ax_0 = \ln x_0$。

导数值相同：$a = \dfrac{1}{x_0}$。

代入：$\dfrac{1}{x_0} \cdot x_0 = \ln x_0$，即 $1 = \ln x_0$，$x_0 = e$。

故 $a = \dfrac{1}{e}$。

注：若题目没给出切点坐标，则设切点坐标 $(x_0, y_0)$！

确定对应关系：$y = 1$ 时，$\int_1^{2x} e^{t^2}\,dt + 1 = 1$，即 $\int_1^{2x} e^{t^2}\,dt = 0$，故 $2x = 1$，$x = \dfrac{1}{2}$。

求 $f'(x)$ 和 $f''(x)$：

反函数二阶导公式：

代入 $x = \dfrac{1}{2}$：$f'\!\left(\dfrac{1}{2}\right) = 2e$，$f''\!\left(\dfrac{1}{2}\right) = 8e$。

$x'(t) = 6t + 2$，$x''(t) = 6$。$x'(0) = 2$，$x''(0) = 6$。

由 $e^y\sin t - y + 1 = 0$，代入 $t = 0$：$0 - y + 1 = 0$，$y(0) = 1$。

对 $t$ 求导：$e^y y'\sin t + e^y\cos t - y' = 0$。

代入 $t = 0$，$y = 1$：$0 + e - y'(0) = 0$，$y'(0) = e$。

再对 $t$ 求导：$e^y(y')^2\sin t + e^y y''\sin t + e^y y'\cos t - e^y\sin t - y'' = 0$。

代入 $t = 0$，$y = 1$，$y'(0) = e$：$0 + 0 + e \cdot e - 0 - y''(0) = 0$，$y''(0) = e^2$。

由公式：

化为参数方程（以 $\theta$ 为参数）：

代入 $\theta = \dfrac{\pi}{6}$：

切线斜率 $= \dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = 1$。

切点坐标：$x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{2\sqrt{3}-3}{4}$，$y = \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{4} = \dfrac{2-\sqrt{3}}{4}$。

切线方程：$y - \dfrac{2-\sqrt{3}}{4} = x - \dfrac{2\sqrt{3}-3}{4}$。

法线方程：$y - \dfrac{2-\sqrt{3}}{4} = -\left(x - \dfrac{2\sqrt{3}-3}{4}\right)$。

方法：参数方程求导若无法直接使用公式，做法有两种：① 解出 $y = y(x)$ 的显式表达式（优先）；② 对参数 $t$ 分段讨论。

方法一（解出显式）：

$t \ge 0$：$x = 3t$，$t = x/3$，$y = \dfrac{x}{3}\sin\dfrac{x}{3}$。

$t < 0$：$x = t$，$t = x$，$y = -x\sin x$。

$f(0) = 0$，$f(x)$ 在 $x = 0$ 处连续。

$f'_+(0) = \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{\frac{x}{3}\sin\frac{x}{3}}{x} = 0$，$f'_-(0) = \lim\limits_{x \to 0^-} \dfrac{-x\sin x}{x} = 0$。

故 $f'(0) = 0$。

$x > 0$ 时 $f'(x) = \dfrac{1}{3}\sin\dfrac{x}{3} + \dfrac{x}{9}\cos\dfrac{x}{3}$；$x < 0$ 时 $f'(x) = -\sin x - x\cos x$。

$\lim\limits_{x \to 0} f'(x) = 0 = f'(0)$，故 $f'(x)$ 在 $x = 0$ 处连续。

$f''_+(0) = \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{f'(x) - 0}{x} = \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{\frac{1}{3}\sin\frac{x}{3} + \frac{x}{9}\cos\frac{x}{3}}{x} = \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{9} = \dfrac{2}{9}$。

$f''_-(0) = \lim\limits_{x \to 0^-} \dfrac{-\sin x - x\cos x}{x} = -1 - 1 = -2$。

$f''_+(0) \ne f''_-(0)$，故 $f''(0)$ 不存在。

答案：C。

因式分解：$2x^2 - 7x + 6 = (2x-3)(x-2)$。

裂项：$f(x) = \dfrac{x}{(2x-3)(x-2)} = \dfrac{2}{x-2} - \dfrac{3}{2x-3}$。

（待定系数法是通法：设 $\dfrac{x}{(2x-3)(x-2)} = \dfrac{A}{x-2} + \dfrac{B}{2x-3}$，代入特殊值求解。）

由公式②：

代数变形：$f(x) = \dfrac{x^2 - 1 + 1}{1-x^2} = -1 + \dfrac{1}{1-x^2} = -1 + \dfrac{1}{(1-x)(1+x)}$。

裂项：$= -1 + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{1-x} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{1+x}$。

由公式②（$-1$ 的 $n$ 阶导为 $0$，$n \ge 1$）：

方法一（莱布尼茨法则）：令 $u = x^2$，$v = \ln(1+x)$。

$u' = 2x$，$u'' = 2$，$u^{(k)} = 0$（$k \ge 3$）。

$u(0) = 0$，$u'(0) = 0$，$u''(0) = 2$，故只剩第三项：

由公式③：$[\ln(1+x)]^{(n-2)}\big|_{x=0} = (-1)^{n-3}(n-3)!$。

方法二（泰勒展开）：$\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots + \dfrac{(-1)^{n-1}x^{n-1}}{n-1} + \cdots$

$f(x) = x^2\ln(1+x) = x^3 - \dfrac{x^4}{2} + \cdots + \dfrac{(-1)^{n-1}x^{n+1}}{n-1} + \cdots$

$x^n$ 的系数为 $\dfrac{(-1)^{n-3}}{n-2} = \dfrac{(-1)^{n-1}}{n-2}$。

由泰勒展开唯一性：$f^{(n)}(0) = n! \cdot \dfrac{(-1)^{n-1}}{n-2} = \dfrac{(-1)^{n-1} \cdot n!}{n-2}$。

令 $u = x^3$，$v = 2^x$。$u^{(k)}(0) = 0$（$k \ne 3$），$u^{(3)}(0) = 6$。

$v^{(m)}(x) = (\ln 2)^m \cdot 2^x$，$v^{(m)}(0) = (\ln 2)^m$。

由莱布尼茨法则，只有 $k = 3$ 的项非零：

$x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1)$，故 $f(x) = (x-1)^n (x^2+x+1)^n \sin x$。

令 $u = (x-1)^n$，$v = (x^2+x+1)^n \sin x$。