各根的重数：$x=1$（1重），$x=2$（2重），$x=3$（3重），$x=4$（4重）。

$f'(x) = 0$ 的根：$x=1$（0重，消失），$x=2$（1重），$x=3$（2重），$x=4$（3重）。

$f''(x) = 0$ 的根：$x=2$（0重，消失），$x=3$（1重），$x=4$（2重）。

拐点需 $f''(x)$ 变号：

• $x = 3$：1 重根（奇数重），$f''(x)$ 变号。✓ 拐点。
• $x = 4$：2 重根（偶数重），$f''(x)$ 不变号。✗

答案：C。

极值点判断：$f'(x) = 0$ 的根中，奇数重根为极值点（$f'$ 变号），偶数重根非极值点。$x=2$（1重，极值），$x=3$（2重，非极值），$x=4$（3重，极值）。加上 $x=1$ 处 $f'$ 不变号（从 $f$ 的1重根知 $f'$ 在此无根），需进一步分析。

极值点：$f'(x)$ 变号的点（$f'(x)$ 穿越 $x$ 轴）。

由图分析 $f'(x)$ 的正负变化：在 $x_1$、$x_3$、$x_4$、$x_6$ 处 $f'(x)$ 变号，加上 $x = 0$ 和 $x = x_5$ 处（铅直渐近线，$f'(x)$ 从 $+\infty$ 跳到 $-\infty$ 或反之，也变号）。

但 $f(x)$ 在 $x = 0$ 和 $x = x_5$ 处连续（题设），$f'(x)$ 趋于 $\pm\infty$ 意味着 $f(x)$ 在此处不可导但连续，$f'(x)$ 变号则为极值点。

极值点个数为 4。

拐点：$f''(x)$ 变号的点，即 $f'(x)$ 单调性发生变化的点。

由图分析 $f'(x)$ 的增减变化：在 $x_2$、$x_5$、$x_6$ 处 $f'(x)$ 的单调性改变（从增变减或从减变增），但需排除 $f'(x)$ 不连续的点。

拐点个数为 3。

关键：若 $f(x)$ 可导，极值点是邻域内 $f'(x)$ 变号的点；极值点可以是不可导点。若 $f(x)$ 二阶可导，拐点是邻域内 $f''(x)$ 变号的点，即 $f'(x)$ 单调性发生变化的点；拐点可以是不可导点。

由 $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{f''(x)}{x} = -1$，分母 $\to 0$，故分子 $f''(x) \to 0$，由 $f''$ 连续得 $f''(0) = 0$。

由保号性：$x > 0$（充分小）时 $\dfrac{f''(x)}{x} < 0$，即 $f''(x) < 0$（凸）；$x < 0$ 时 $\dfrac{f''(x)}{x} < 0$，即 $f''(x) > 0$（凹）。

$f''(x)$ 在 $x = 0$ 两侧变号（左正右负），故 $(0, f(0))$ 为拐点。

答案：C。

分子趋于 $0$（分母 $\to 0$，极限存在）：$f''(0) + f(0) - f(0) = 0$，即 $f''(0) = 0$。

分子复杂，很难直接使用保号性进行分析。用 Taylor 展开！

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \dfrac{f''(0)}{2}x^2 + o(x^2) = f(0) + o(x^2)$

$f(-x) = f(0) - f'(0)x + \dfrac{f''(0)}{2}x^2 + o(x^2) = f(0) + o(x^2)$

$f(x) - f(-x) = o(x^2)$（奇数阶项）

故 $f''(x) + f(x) - f(-x) = f''(x) + o(x^2)$。

由 $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{f''(x) + o(x^2)}{|x|} = 1 > 0$，得 $f''(x) > 0$（$x$ 充分小且 $x \ne 0$）。

$f''(x) > 0$ 在 $x = 0$ 两侧均成立，$f''(x)$ 不变号，故非拐点。

又 $f'(0) = 0$，$f''(x) > 0$（$x \ne 0$ 充分小），$f'(x)$ 在 $x = 0$ 附近单增，$f'(x)$ 左负右正，故 $f(0)$ 为极小值。

答案：D（$f(0)$ 为极值，但非拐点）。

由第一个极限：分母 $\ln(1+x) \to 0$，极限为 $0$，故分子 $f(x) - a \to 0$，即 $f(0) = a$（$f$ 连续）。

$\dfrac{f(x) - f(0)}{\ln(1+x)} \to 0$，又 $\ln(1+x) \sim x$，故 $\dfrac{f(x) - f(0)}{x} \to 0$，即 $f'(0) = 0$。

由第二个极限：分母 $e^{x^2} - 1 \sim x^2 \to 0$，极限为 $2021$，故分子 $f''(x) - 1 \to 0$，即 $f''(0) = 1 > 0$。

$f'(0) = 0$，$f''(0) = 1 > 0$，由第二充分条件，$f(0)$ 为极小值。

答案：B。

由 $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x^4} = 1$，得 $f(0) = f'(0) = f''(0) = f'''(0) = 0$，$f^{(4)}(0) = 24$。

（由 Taylor 展开唯一性：$f(x) = x^4 + o(x^4)$）

设 $g(x) = f'(x)$：$g(0) = 0$，$g'(0) = f''(0) = 0$，$g''(0) = f'''(0) = 0$，$g'''(0) = f^{(4)}(0) = 24 \ne 0$。

$n = 3$（奇数），故 $(0, 0)$ 为 $y = f'(x)$ 的拐点。

设 $h(x) = f''(x)$：$h(0) = 0$，$h'(0) = f'''(0) = 0$，$h''(0) = f^{(4)}(0) = 24 > 0$。

$n = 2$（偶数），$h''(0) > 0$，故 $x = 0$ 为 $f''(x)$ 的极小值点。

答案：A。

代入 $x = 0$：$f''(0) + [f'(0)]^2 = 0$，即 $f''(0) + 0 = 0$，$f''(0) = 0$。

对方程两边求导：$f'''(x) + 2f'(x)f''(x) = 1$。

代入 $x = 0$：$f'''(0) + 2 \cdot 0 \cdot 0 = 1$，$f'''(0) = 1 \ne 0$。

$f''(0) = 0$，$f'''(0) \ne 0$，由拐点第二充分条件，$(0, f(0))$ 为拐点。

答案：C。

$f'(x_0) = 0$（驻点），代入方程：

$f''(x_0) + x_0 \cdot 0 = \ln(1+x_0) - \dfrac{\arctan x_0}{1+x_0}$

即 $f''(x_0) = \ln(1+x_0) - \dfrac{\arctan x_0}{1+x_0}$。

设 $g(x) = \ln(1+x) - \dfrac{\arctan x}{1+x}$（$x > 0$），$g(0) = 0$。

$g'(x) = \dfrac{1}{1+x} - \dfrac{\frac{1}{1+x^2}(1+x) - \arctan x}{(1+x)^2} = \dfrac{1}{1+x} - \dfrac{1}{(1+x^2)(1+x)} + \dfrac{\arctan x}{(1+x)^2}$

化简后可证 $g'(x) > 0$（$x > 0$），故 $g(x_0) > g(0) = 0$，即 $f''(x_0) > 0$。

$f'(x_0) = 0$，$f''(x_0) > 0$，故 $x_0$ 为极小值点。

答案：B。

对原方程两边对 $x$ 求导（隐函数求导）：

代入 $x = 0$，$y = 0$，$y' = 0$：$1 + 0 + 0 - 1 + 0 = 0$。✓（验证一致性）

再求导（对上述方程再对 $x$ 求导），代入 $x = 0$，$y = 0$，$y' = 0$：

化简后得 $1 + y''(0) + 1 = 0$，即 $y''(0) = -2 < 0$。

$y'(0) = 0$，$y''(0) = -2 < 0$，由第二充分条件，$x = 0$ 为 $y(x)$ 的极大值点。

$g(x) = f(0)(1-x) + f(1)x$ 是 $x$ 的一次函数（直线），且 $g(0) = f(0)$，$g(1) = f(1)$。

故 $y = g(x)$ 是过 $(0, f(0))$ 和 $(1, f(1))$ 两点的弦。

当 $f''(x) \ge 0$ 时，$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上为凹函数。

凹函数的性质：弦在曲线上方，即 $g(x) \ge f(x)$，即 $f(x) \le g(x)$。

答案：D。

AB 选项只涉及 $f'(x) \ge 0$（单调性），与凹凸性无关，属于扯淡命题。