矩阵方程的解法

矩阵方程是线性代数中的重要题型。所谓矩阵方程，是指方程中含有未知矩阵的方程。例如，在方程

$$AX=B$$

中，若 $A,B$ 为已知矩阵，$X$ 为未知矩阵，则该方程就是一个矩阵方程。

矩阵方程的核心思想是：能够直接解出未知矩阵时，就直接利用逆矩阵求解；若相关矩阵不可逆，则不能强行消去矩阵因子，而应将矩阵方程转化为线性方程组进行求解。

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1. 矩阵方程的基本化简

解矩阵方程时，首先应根据题设条件和矩阵运算规则，将方程化为常见形式，例如

$$AX=B,\qquad XA=B,\qquad AXB=C.$$

在化简过程中，常用以下方法。

1.1 消去可逆因子

若

$$CA=CB,$$

且 $C$ 可逆，则两端左乘 $C^{-1}$，得

$$C^{-1}CA=C^{-1}CB,$$

即

$$EA=EB,$$

所以

$$A=B.$$

同理，若

$$AC=BC,$$

且 $C$ 可逆，则两端右乘 $C^{-1}$，也可得

$$A=B.$$

需要注意的是，只有可逆矩阵才能被消去。若 $C$ 不可逆，则不能由 $CA=CB$ 推出 $A=B$。

1.2 提取公因式

矩阵乘法满足分配律。因此，若出现相同的左因子或右因子，可以提取公因式。

例如，

$$CA+CB=C(A+B).$$

又如，

$$AC+BC=(A+B)C.$$

但必须注意，左公因式只能从左侧提出，右公因式只能从右侧提出。由于矩阵乘法一般不满足交换律，所以不能随意改变矩阵因子的位置。

1.3 移项整理

在矩阵方程中，通常把含有未知矩阵的项移到一边，把已知矩阵项移到另一边。例如

$$AX+C=B$$

可化为

$$AX=B-C.$$

若 $A$ 可逆，则

$$X=A^{-1}(B-C).$$

1.4 常用矩阵公式

解矩阵方程时，常用以下公式。

若 $A$ 为 $n$ 阶方阵，则

$$AA^*=A^*A=|A|E.$$

若 $A$ 可逆，则

$$A^*=|A|A^{-1}.$$

并且

$$(A^*)^*=|A|^{\,n-2}A,\qquad n\ge 2.$$

对于矩阵乘积的转置，有

$$(AB)^T=B^TA^T.$$

对于矩阵乘积的逆，有

$$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.$$

对于伴随矩阵，有

$$(AB)^*=B^*A^*.$$

此外，若 $A$ 可逆，则

$$(A^{-1})^*=(A^*)^{-1},\qquad (A^T)^{-1}=(A^{-1})^T,\qquad (A^*)^T=(A^T)^*.$$

这些公式在含有伴随矩阵、转置矩阵、逆矩阵的方程中十分常用。

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2. 矩阵方程的基本求解方法

2.1 可逆情形

若

$$AX=B,$$

且 $A$ 可逆，则

$$X=A^{-1}B.$$

若

$$XA=B,$$

且 $A$ 可逆，则

$$X=BA^{-1}.$$

若

$$AXB=C,$$

且 $A,B$ 均可逆，则

$$X=A^{-1}CB^{-1}.$$

这里必须注意左右顺序。例如 $AXB=C$ 中，$A^{-1}$ 应从左侧乘入，$B^{-1}$ 应从右侧乘入，不能写成 $B^{-1}CA^{-1}$。

2.2 不可逆情形

若 $A$ 不可逆，方程

$$AX=B$$

不能写成

$$X=A^{-1}B.$$

此时应把 $X$ 和 $B$ 按列分块。设

$$X=(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n),\qquad B=(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n).$$

于是

$$AX=A(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n)=(A\xi_1,A\xi_2,\cdots,A\xi_n).$$

由 $AX=B$，得

$$(A\xi_1,A\xi_2,\cdots,A\xi_n)=(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n).$$

因此原矩阵方程等价于

$$A\xi_i=\beta_i,\qquad i=1,2,\cdots,n.$$

也就是说，一个矩阵方程被转化成了若干个同系数矩阵的线性方程组。

若方程不能化为上述几种标准形式，则可设未知矩阵

$$X=(x_{ij}),$$

再代入原方程，转化为关于元素 $x_{ij}$ 的线性方程组。这就是待定元素法。

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解答题例 1

设

$$A= \begin{pmatrix} 1&1&-1\\ -1&1&1\\ 1&-1&1 \end{pmatrix},$$

且满足

$$A^*B\left(\frac12 A^*\right)^*=8A^{-1}B+16E.$$

求矩阵 $B$。

解答

先计算

$$|A|=4.$$

由于 $A$ 为三阶矩阵，所以

$$(A^*)^*=|A|A.$$

又因为对于三阶矩阵有

$$(kA)^*=k^2A^*,$$

于是

$$\left(\frac12 A^*\right)^*=\left(\frac12\right)^2(A^*)^*=\frac14|A|A=A.$$

又由

$$A^*=|A|A^{-1}=4A^{-1},$$

原方程左边可化为

$$A^*B\left(\frac12 A^*\right)^*=4A^{-1}BA.$$

所以原方程化为

$$4A^{-1}BA=8A^{-1}B+16E.$$

两边同除以 $4$，得

$$A^{-1}BA=2A^{-1}B+4E.$$

移项整理，

$$A^{-1}B(A-2E)=4E.$$

两边左乘 $A$，得

$$B(A-2E)=4A.$$

接下来计算

$$(A-2E)^{-1} = -\frac12 \begin{pmatrix} 1&1&0\\ 0&1&1\\ 1&0&1 \end{pmatrix}.$$

因此

$$B=4A(A-2E)^{-1} = \begin{pmatrix} 0&-4&0\\ 0&0&-4\\ -4&0&0 \end{pmatrix}.$$

本题的关键在于正确使用伴随矩阵公式，尤其是

$$(A^*)^*=|A|^{\,n-2}A.$$

当 $n=3$ 时，该式化为

$$(A^*)^*=|A|A.$$

解答题例 2

已知 $a$ 是常数，且矩阵

$$A= \begin{pmatrix} 1&2&a\\ 1&3&0\\ 2&7&-a \end{pmatrix}$$

可经初等列变换化为矩阵

$$B= \begin{pmatrix} 1&a&2\\ 0&1&1\\ -1&1&1 \end{pmatrix}.$$

求：

$$(1)\ a;$$ $$(2)\ 满足\ AP=B\ 的可逆矩阵\ P.$$

解答

由于初等列变换不改变矩阵的秩，所以

$$r(A)=r(B).$$

先对 $A$ 作初等行变换，可得

$$A\sim \begin{pmatrix} 1&0&3a\\ 0&1&-a\\ 0&0&0 \end{pmatrix}.$$

因此

$$r(A)=2.$$

再对 $B$ 作初等行变换，可得

$$B\sim \begin{pmatrix} 1&0&2-a\\ 0&1&1\\ 0&0&2-a \end{pmatrix}.$$

要使

$$r(B)=2,$$

必须有

$$2-a=0.$$

所以

$$a=2.$$

当 $a=2$ 时，

$$A= \begin{pmatrix} 1&2&2\\ 1&3&0\\ 2&7&-2 \end{pmatrix}, \qquad B= \begin{pmatrix} 1&2&2\\ 0&1&1\\ -1&1&1 \end{pmatrix}.$$

因为 $A$ 不可逆，不能直接写 $P=A^{-1}B$。此时应将 $P$ 按列分块。设

$$P=(\xi_1,\xi_2,\xi_3),\qquad B=(\beta_1,\beta_2,\beta_3).$$

由

$$AP=B$$

可得

$$A\xi_i=\beta_i,\qquad i=1,2,3.$$

对增广矩阵 $(A\mid B)$ 作初等行变换，有

$$(A\mid B) \sim \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1&0&6&3&4&4\\ 0&1&-2&-1&-1&-1\\ 0&0&0&0&0&0 \end{array} \right).$$

于是矩阵方程 $AP=B$ 等价于

$$\begin{pmatrix} 1&0&6\\ 0&1&-2\\ 0&0&0 \end{pmatrix}P= \begin{pmatrix} 3&4&4\\ -1&-1&-1\\ 0&0&0 \end{pmatrix}.$$

记

$$A'= \begin{pmatrix} 1&0&6\\ 0&1&-2\\ 0&0&0 \end{pmatrix}.$$

则齐次方程组 $A'x=0$ 的一个基础解系为

$$(-6,2,1)^T.$$

于是三个非齐次方程组的通解分别为

$$\xi_1=k_1(-6,2,1)^T+(3,-1,0)^T,$$ $$\xi_2=k_2(-6,2,1)^T+(4,-1,0)^T,$$ $$\xi_3=k_3(-6,2,1)^T+(4,-1,0)^T.$$

因此

$$P= \begin{pmatrix} -6k_1+3&-6k_2+4&-6k_3+4\\ 2k_1-1&2k_2-1&2k_3-1\\ k_1&k_2&k_3 \end{pmatrix},$$

其中 $(k_1,k_2,k_3)$ 为任意常数。

题目要求 $P$ 可逆，所以还需满足

$$|P|\neq 0.$$

计算得

$$|P|=k_3-k_2.$$

因此

$$k_3\neq k_2.$$

综上，所求可逆矩阵为

$$P= \begin{pmatrix} -6k_1+3&-6k_2+4&-6k_3+4\\ 2k_1-1&2k_2-1&2k_3-1\\ k_1&k_2&k_3 \end{pmatrix}, \qquad k_3\neq k_2.$$

本题体现了矩阵方程的重要思想：当 $A$ 不可逆时，不能用 $A^{-1}$ 求解，而应按列分块，把矩阵方程转化为线性方程组。

解答题例 3

设

$$A= \begin{pmatrix} 1&1&2\\ 2&3&7\\ 2&0&-2 \end{pmatrix}, \qquad B= \begin{pmatrix} 1&0&-1\\ 2&1&1\\ 2&1&1 \end{pmatrix}.$$

求所有满足

$$PA=B$$

的可逆矩阵 $P$。

解答

本题与上一题的区别在于，未知矩阵 $P$ 位于左侧。由于 $A$ 不可逆，不能写成

$$P=BA^{-1}.$$

此时可对方程两端同时取转置：

$$(PA)^T=B^T.$$

由转置公式

$$(PA)^T=A^TP^T,$$

得

$$A^TP^T=B^T.$$

这就把原方程转化成了

$$A^TX=B^T,$$

其中 $X=P^T$。

注意：

$$A^T= \begin{pmatrix} 1&2&2\\ 1&3&0\\ 2&7&-2 \end{pmatrix}, \qquad B^T= \begin{pmatrix} 1&2&2\\ 0&1&1\\ -1&1&1 \end{pmatrix}.$$

这与例 2 中 $a=2$ 时的方程完全相同。因此由上一题可得

$$P^T= \begin{pmatrix} -6k_1+3&-6k_2+4&-6k_3+4\\ 2k_1-1&2k_2-1&2k_3-1\\ k_1&k_2&k_3 \end{pmatrix}.$$

于是

$$P= \begin{pmatrix} -6k_1+3&2k_1-1&k_1\\ -6k_2+4&2k_2-1&k_2\\ -6k_3+4&2k_3-1&k_3 \end{pmatrix}.$$

又因为

$$|P|=|P^T|,$$

而上一题中

$$|P^T|=k_3-k_2,$$

所以

$$|P|=k_3-k_2.$$

因此 $P$ 可逆的条件为

$$k_3\neq k_2.$$

综上，所求可逆矩阵为

$$P= \begin{pmatrix} -6k_1+3&2k_1-1&k_1\\ -6k_2+4&2k_2-1&k_2\\ -6k_3+4&2k_3-1&k_3 \end{pmatrix}, \qquad k_3\neq k_2.$$

本题的关键是：当未知矩阵在左侧时，可以通过两端取转置，把方程化为未知矩阵在右侧的形式。

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3. “拆 $E$”思想

在矩阵方程中，还有一个非常重要的技巧，叫作“拆 $E$”。

所谓“拆 $E$”，就是根据题设条件，把单位矩阵 $E$ 表示成某些矩阵的乘积，从而判断这些矩阵可逆，并进一步求解矩阵方程。

例如，若

$$A^3=O,$$

则

$$E-A^3=E.$$

而

$$E-A^3=(E-A)(E+A+A^2).$$

因此

$$(E-A)(E+A+A^2)=E.$$

这说明 $E-A$ 可逆，且

$$(E-A)^{-1}=E+A+A^2.$$

同理，由于 $A^3=O$ 可推出 $A^4=O$，所以

$$(E-A^2)(E+A^2)=E-A^4=E.$$

因此 $E-A^2$ 可逆，且

$$(E-A^2)^{-1}=E+A^2.$$

这类方法在含有 $A^2,A^3$ 以及 $A^m=O$ 的矩阵方程中非常常见。

解答题例 4

设矩阵

$$A= \begin{pmatrix} a&1&0\\ 1&a&-1\\ 0&1&a \end{pmatrix},$$

且

$$A^3=O.$$

求：

$$(1)\ a\ 的值；$$ $$(2)\ 若矩阵\ X\ 满足 X-XA^2-AX+AXA^2=E,$$

其中 $E$ 为三阶单位矩阵，求 $X$。

解答

由 $A^3=O$ 可知

$$|A^3|=0.$$

又因为

$$|A^3|=|A|^3,$$

所以

$$|A|=0.$$

直接计算

$$|A|= \begin{vmatrix} a&1&0\\ 1&a&-1\\ 0&1&a \end{vmatrix} =a^3.$$

因此

$$a^3=0,$$

所以

$$a=0.$$

当 $a=0$ 时，

$$A= \begin{pmatrix} 0&1&0\\ 1&0&-1\\ 0&1&0 \end{pmatrix}.$$

接下来解矩阵方程

$$X-XA^2-AX+AXA^2=E.$$

先按左右因子分组：

$$X-XA^2=X(E-A^2),$$ $$-AX+AXA^2=-AX(E-A^2).$$

所以原方程化为

$$(E-A)X(E-A^2)=E.$$

由于 $A^3=O$，所以

$$(E-A)^{-1}=E+A+A^2,$$

又因为

$$(E-A^2)^{-1}=E+A^2.$$

因此

$$X=(E-A)^{-1}(E-A^2)^{-1} =(E+A+A^2)(E+A^2).$$

计算

$$A^2= \begin{pmatrix} 1&0&-1\\ 0&0&0\\ 1&0&-1 \end{pmatrix}.$$

于是

$$E+A+A^2= \begin{pmatrix} 2&1&-1\\ 1&1&-1\\ 1&1&0 \end{pmatrix},$$ $$E+A^2= \begin{pmatrix} 2&0&-1\\ 0&1&0\\ 1&0&0 \end{pmatrix}.$$

相乘得

$$X= \begin{pmatrix} 3&1&-2\\ 1&1&-1\\ 2&1&-1 \end{pmatrix}.$$

所以

$$X= \begin{pmatrix} 3&1&-2\\ 1&1&-1\\ 2&1&-1 \end{pmatrix}.$$

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4. 易错点

在例 4 中，很多同学会犯一个典型错误：对方程

$$X-XA^2-AX+AXA^2=E$$

两端同时右乘 $A$，得到

$$XA-XA^3-AXA+AXA^3=A.$$

由于 $A^3=O$，于是化简为

$$XA-AXA=A.$$

然后再去求 $X$。

这种做法是错误的。原因在于：由 $A^3=O$ 可知 $A$ 不可逆。若在方程两端同时乘以一个不可逆矩阵，则新方程不一定与原方程等价。

也就是说，原方程的解一定满足右乘 $A$ 后得到的新方程，但新方程的解未必满足原方程。这样可能会扩大解集，产生多余解。

因此，在矩阵方程中必须牢记：

只有两端乘以可逆矩阵，才不会改变方程的解集。

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5. 总结

矩阵方程的解题原则可以概括为以下几句话。

若方程可以化为

$$AX=B,\qquad XA=B,\qquad AXB=C$$

且相关矩阵可逆，则直接利用逆矩阵求解。

若矩阵不可逆，则不能强行消去矩阵因子，应将未知矩阵按列分块，把矩阵方程转化为若干个线性方程组。

若未知矩阵在左侧，例如

$$XA=B$$

或

$$PA=B,$$

可以考虑两端取转置，把问题转化为未知矩阵在右侧的形式。

若题目给出

$$A^m=O$$

这类条件，应优先想到“拆 $E$”思想，即把单位矩阵写成矩阵乘积，从而判断某些矩阵可逆。

矩阵方程的难点不在计算本身，而在于判断每一步变形是否等价。尤其要注意：不可逆矩阵不能随意消去，也不能通过乘以不可逆矩阵来获得等价方程。