4.4 二阶线性微分方程解的结构与性质

二阶线性微分方程的解具有叠加原理：两个齐次解的差/和仍是齐次解；非齐次解加上齐次解仍是非齐次解。

来源：邂逅遗憾 27 考研数学思维课，第四章 微分方程 §4.4，p.312–320。

一、二阶线性微分方程及其解的结构

（一）基本形式

二阶线性微分方程的一般形式为：

$$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x) \quad (*)$$

当 $f(x)\equiv 0$ 时，称为齐次二阶线性微分方程：

$$y''+p(x)y'+q(x)y=0$$

（二）解的性质

定理 1（解的叠加原理）

设 $y_1, y_2$ 是齐次方程 $y''+p(x)y'+q(x)y=0$ 的两个解，则它们的线性组合 $C_1y_1+C_2y_2$ 也是该方程的解，其中 $C_1,C_2$ 为任意常数。

证明： 因为 $y_1,y_2$ 是齐次方程的解，所以有：

$$\begin{aligned} y_1''+p(x)y_1'+q(x)y_1&=0 \\ y_2''+p(x)y_2'+q(x)y_2&=0 \end{aligned}$$

计算 $(y_1-y_2)$：

$$(y_1-y_2)''+p(x)(y_1-y_2)'+q(x)(y_1-y_2)=(y_1''-y_2'')+p(x)(y_1'-y_2')'+q(x)(y_1-y_2)=0$$

因此 $y_1-y_2$ 也是齐次方程的解。

类似地，可以证明：若 $y_1,y_2$ 分别是方程 $(*)$ 的两个不同非齐次方程的解（即 $y_1''+p(x)y_1'+q(x)y_1=f_1(x)$，$y_2''+p(x)y_2'+q(x)y_2=f_2(x)$），则它们的和 $y_1+y_2$ 满足：

$$(y_1+y_2)''+p(x)(y_1+y_2)'+q(x)(y_1+y_2)=f_1(x)+f_2(x)$$

解答题例 4.20

验证解的叠加原理。

解答

给定方程组：

$$\begin{cases} y_1''+p(x)y_1'+q(x)y_1=f_1(x) \\ y_2''+p(x)y_2'+q(x)y_2=f_2(x) \end{cases}$$

将两式相减：

$$(y_1-y_2)''+p(x)(y_1-y_2)'+q(x)(y_1-y_2)=f_1(x)-f_2(x)$$

若 $f_1(x)=f_2(x)$，则右边等于 0，说明 $y_1-y_2$ 是对应齐次方程的解。

解答题例 4.21

已知 $y_1,y_2$ 是齐次方程的两个解，$y_p$ 是非齐次方程的一个特解，求原方程的通解。

解答

根据叠加原理，通解为：

$$y=C_1y_1+C_2y_2+y_p$$

（三）重要结论

解答题例 4.22（2019 数三真题）

已知 $y_1,y_2,y_3$ 是某个二阶非齐次线性微分方程的三个线性无关的特解，求该方程的通解。

解答

利用叠加原理，我们知道：

1. $y_1-y_3$ 和 $y_2-y_3$ 都是对应齐次方程的解
2. 因此齐次方程的通解为 $C_1(y_1-y_3)+C_2(y_2-y_3)$
3. 非齐次方程的通解为齐次通解 + 一个特解，即：

$$y=C_1(y_1-y_3)+C_2(y_2-y_3)+y_3$$

整理得：

$$y=C_1y_1+C_2y_2+(1-C_1-C_2)y_3$$

解答题例 4.22.1（非常非常好的题目）

详见本节首页”定理 1”及其下方的”注”！

已知 $y_1,y_2$ 是某二阶齐次方程的两个解，且 $y_1,y_2$ 线性无关（即 Wronskian $W(y_1,y_2)\neq 0$），求原方程的形式。

解答

由已知条件，我们可以确定特征方程的根。设二阶常系数齐次方程的特征方程为 $r^2+ar+b=0$，其特征根决定了通解的形式。

例如：

• 若两根不相等且为实数 $r_1,r_2$，则通解为 $y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$
• 若有重根 $r_1=r_2=r$，则通解为 $y=(C_1+C_2x)e^{rx}$
• 若为共轭复根 $\alpha\pm i\beta$，则通解为 $y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$

解答题例 4.22.2（2010 数二数三真题）

若掌握了解的叠加原理，此题即为口算题。

解答

根据叠加原理直接构造通解，无需复杂计算。

解答题例 4.22.3（2026 数二真题）

此题和上一题一模一样，我选它的唯一目的就是想告诉大家：真题就是一个轮回，一定一定要注重真题。

解答

同样的解题思路，直接应用叠加原理即可。

二、奇偶性 + 三角函数简化特解计算

求解非齐次方程的特解时，若右端项包含三角函数，可利用奇偶性大幅减少计算量！

在求解 $y=A\cos x+B\sin x$ 形式的特解时，需设特解形式，之后将其代入到方程中，对 4 个待定的系数进行求解，计算量很大。但此时，若结合奇偶性，则可大大减轻计算量！

注意到 $e^x$ 既不是奇函数也不是偶函数，$\cos x$ 为偶函数。当 $f(x)$ 为偶函数时，$y$ 也为偶函数，两个偶函数相加，结果还是偶函数，等号左右两端都是偶函数，成立。若 $f(x)$ 为奇函数，则 $y$ 也为奇函数，两个奇函数相加结果仍然是奇函数，此时等号左端是奇函数，等号右端是偶函数，矛盾。于是可知，$f(x)$ 为偶函数，即 $y$ 也为偶函数。

观察特解形式，显然某些系数必为 0，于是只需要将特解形式代入原方程，求解出剩余的参数即可。

解答题例 4.27（1991 考研真题）

求解微分方程，注意利用奇偶性简化计算。

解答

首先判断右端项 $f(x)$ 的奇偶性。若 $f(x)$ 为偶函数（如 $f(x)=\cos x$），则特解也应为偶函数。

因此，对于形如 $y=A\cos x+B\sin x+A_1x\cos x+B_1x\sin x$ 的特解，根据奇偶性可以直接判断：

• 偶函数部分保留：$\cos x$ 项
• 奇函数部分舍去：$\sin x,x\cos x,x\sin x$ 的系数可能为 0

直接将简化的特解形式代入原方程，解得 $B_1=0$，$B=0$，$A=1/2$，$A_1=0$ 等。

将此思想放在未来的考研中只可能作为填空题出现，利用奇偶性可以直接看出某些系数一定为 0，就算是大题，在设出特解的形式后，可以直接在答题卡上写”将其代入原方程，解得…”，中间的计算过程并不是采分点。

此思想非常重要！几乎任意一道涉及到三角函数的二阶非齐次微分方程，都可用此方法大大减轻计算量！

三、可降阶的二阶微分方程

某些二阶方程可以通过降阶的方法转化为可分离变量或一阶线性方程。

解答题例 4.23（2016 数一真题）

综合应用二阶方程的解法。

解答

首先分析方程特点，选择合适的解法。可能是：

1. 特征方程法（常系数）
2. 降阶法（缺少某项）
3. 待定系数法（特定形式）
4. 变易常数法

根据题意选择最优路径。

解答题例 4.24（2012 数一真题）

更推荐答案”三种解题思路”中的 (1) 和 (2)。

解答

分别尝试不同的解法，比较哪种更为简洁高效。

四、高阶微分方程的基础（引入三阶）

考研范围内，所考过的高阶微分方程（阶数大于等于 3），目前只出现过三阶，其解的形式和二阶微分方程类似，主要通过特征方程求解。

特征方程形式：

$$(r-r_1)^{m_1}(r-r_2)^{m_2}\cdots(r-r_k)^{m_k}=0$$

对应通解：

$$y=\sum_{j=1}^k e^{r_jx}(C_{j1}+C_{j2}x+\cdots+C_{jm_j}x^{m_j-1})$$

五、考场速记

方程类型	特征	通解形式
二阶齐次线性	$y''+p(x)y'+q(x)y=0$	$y=C_1y_1+C_2y_2$
二阶非齐次线性	$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$	$y=C_1y_1+C_2y_2+y_p$
常系数齐次	特征方程法	看根的分布
非齐次特解	奇偶性简化	看 $f(x)$ 形式

关键结论：

1. 叠加原理：齐次解的线性组合仍是齐次解；非齐次解加齐次解仍是非齐次解
2. 特解简化：利用奇偶性可以快速判断某些系数为 0
3. 真题规律：同一类题型会重复出现，务必重视历年真题

注意：特征方程的根决定了通解的具体形式，一定要熟练掌握各种情况的处理方法。