4.6 欧拉方程（仅数一）的解法与技巧

欧拉方程通过变量代换 $x=e^t$ 可以转化为常系数线性微分方程，是数一特有的考点。

来源：邂逅遗憾 27 考研数学思维课，第四章 微分方程 §4.6，p.322–324。

一、欧拉方程的概念

欧拉方程是指形如以下形式的微分方程：

$$a_0x^ny^{(n)}+a_1x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}xy'+a_ny=f(x) \quad (a_i\text{为常数})$$

其特征是每一项中 $x$ 的幂次与导数阶数相同。

注意：此部分内容仅为数一要求，数二、数三同学不需要掌握。

二、标准解法：变量代换法

（一）基本思路

对自变量作变换 $x=e^t$（或 $t=\ln x$），将方程化为关于 $t$ 的常系数线性微分方程。

（二）导数转换公式

利用链式法则，可以得到各阶导数的转换关系：

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}\frac{dy}{dt} \Rightarrow xy'=y'$$

其中上标撇表示对 $t$ 求导。

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\frac{dy}{dt}\right)=-\frac{1}{x^2}\frac{dy}{dt}+\frac{1}{x^2}\frac{d^2y}{dt^2}$$

整理得：

$$x^2y''=y''-y'$$

依此类推，有：

$$x^ny^{(n)}=D(D-1)\cdots(D-n+1)y$$

其中 $D=\dfrac{d}{dt}$ 为微分算子。

（三）具体步骤

1. 令 $x=e^t$（即 $t=\ln x$）
2. 替换各阶导数：使用上述转换公式
3. 化简得到常系数方程
4. 求解常系数方程：用特征方程法
5. 回代 $t=\ln x$：得到原方程的解

解答题例 4.31（2021 数一真题）

求解欧拉方程 $x^2y''+xy'-y=0$。

解答

解法一：直接应用公式

令 $x=e^t$，则 $t=\ln x$。

导数转换：

• $xy'=Dy=y'_t$
• $x^2y''=D(D-1)y=y''_t-y'_t$

代入原方程：

$$(y''-y')+y'-y=0 \Rightarrow y''-y=0$$

特征方程：$r^2-1=0 \Rightarrow r=\pm1$

通解：$y=C_1e^t+C_2e^{-t}$

回代 $t=\ln x$：

$$y=C_1x+\frac{C_2}{x}$$

解法二：设 $y=x^r$ 试解

对于齐次欧拉方程，可以直接设 $y=x^r$：

$$y'=rx^{r-1},\;y''=r(r-1)x^{r-2}$$

代入原方程：

$$x^2\cdot r(r-1)x^{r-2}+x\cdot rx^{r-1}-x^r=0$$ $$[r(r-1)+r-1]x^r=0 \Rightarrow r^2-1=0 \Rightarrow r=\pm1$$

结果相同：$y=C_1x+\dfrac{C_2}{x}$

解答题例 4.32

综合应用欧拉方程的解法。

解答

对于非齐次欧拉方程：

1. 先求出对应的齐次方程的通解
2. 再求非齐次方程的一个特解
3. 最终通解 = 齐次通解 + 特解

常用的非齐次项处理方法：

• 若 $f(x)$ 为多项式，可设特解形式
• 若 $f(x)$ 为指数或对数函数，需特殊处理

三、进阶技巧

（一）算子符号简化

引入微分算子 $D_t=\dfrac{d}{dt}$，则：

$$x^n\dfrac{d^ny}{dx^n}=(D_t)(D_t-1)\cdots(D_t-n+1)y$$

这样可以大大简化计算过程。

（二）直接设 $y=x^r$

对于齐次欧拉方程，可直接设 $y=x^r$ 求解，无需进行完整的变量代换。

（三）降阶法

若已知一个特解，可用降阶法求另一个线性无关的特解。

四、常见类型与例题

解答题例 4.33

求 $(x+1)^2y''+(x+1)y'-y=0$ 的通解。

解答

这是平移型的欧拉方程。令 $u=x+1$，则原方程变为标准欧拉方程：

$$u^2\frac{d^2y}{du^2}+u\frac{dy}{du}-y=0$$

按照标准欧拉方程求解即可。

解答题例 4.34

求解 $x^2y'''-2xy'+4y=0$。

解答

令 $x=e^t$，利用导数转换公式：

$$\begin{aligned} xy' &= Dy \\ x^2y'' &= D(D-1)y = y''-y' \\ x^3y''' &= D(D-1)(D-2)y = y'''-3y''+2y' \end{aligned}$$

代入原方程：

$$(y'''-3y''+2y')-2y'+4y=0 \Rightarrow y'''-3y''+4y=0$$

特征方程：$r^3-3r+4=0$

因式分解：$(r+2)^2(r-1)=0$

特征根：$r_1=1$（单根），$r_2=r_3=-2$（二重根）

通解：$y=C_1e^t+C_2e^{-2t}+C_3te^{-2t}$

回代 $t=\ln x$：

$$y=C_1x+\frac{C_2}{x^2}+\frac{C_3\ln x}{x^2}$$

五、易错点分析

错误 1：忘记绝对值

当 $x<0$ 时，$t=\ln|x|$ 而不是 $\ln x$。

错误 2：导数转换错误

在计算高阶导数时容易出错，建议记住公式或使用算子法。

错误 3：特征方程求解困难

应熟练掌握多项式的因式分解方法。

六、考场速记

步骤	操作要点
1	识别是否为欧拉方程（看 $x^n$ 与导数阶数是否匹配）
2	令 $x=e^t$ 或 $t=\ln x$
3	转换各阶导数：$xy'\to Dy$，$x^2y''\to D(D-1)y$，etc.
4	求解常系数方程
5	回代 $t=\ln x$

快速解题：

• 齐次时可设 $y=x^r$
• 特征多项式有有理根必整除常数项
• 二重根对应形式为 $(C_1+C_2\ln x)x^r$

注意：此部分为数学一特有内容，二、三的同学不要浪费时间。