4.1 微分方程一定要注意的几个知识点：分母为零、ln 绝对值、常数 C 与解的形式

解微分方程时，99.99%的情况不需要考虑分母为0；公式法中ln几乎不需要写绝对值；C的范围无需标注；解的形式不唯一，不含微分即可。

来源：邂逅遗憾27考研数学思维课，第四章 微分方程 §4.1，p.294–300。

一、绝大多数情况下不需要考虑分母为0

解答题例 4.1（基础三十讲）

通解并非全部解，99.99%的情况下，解微分方程时不需要考虑分母为0。

解答

解微分方程时，分离变量等操作会默认分母不为0。由于通解并不包含全部解（可能遗漏某些特解），但考研只要求通解，因此绝大多数情况下无需单独讨论分母为0的情形。

解答题例 4.2（涉及可降阶微分方程，数三不要求）

移项后默认分母不为0，发现方程无解或矛盾，这意味着分母必须为0。

已知 $y(0)=1$，$y'(0)=-1$，求解相关微分方程。

解答

移项后默认分母不为0进行求解。若发现方程无解或出现矛盾，则意味着分母必须为0，此时需要回头讨论分母为0的特殊情况。

令 $u=y'$，则 $y''=\dfrac{du}{dx}=\dfrac{du}{dy}\cdot\dfrac{dy}{dx}=u\dfrac{du}{dy}$。

分离变量后积分：

$$\frac{du}{1-u^2}=\frac{dy}{|y|}+C$$

由初值条件 $y(0)=1$，$y'(0)=-1$ 确定常数。

二、积分出现ln时，什么情况下可以不加绝对值

（一）可分离变量方程

建议时刻都带着绝对值，最后一步再去掉。两端积分结果都带ln时，正负号可以从 $C$ 上去借。

技巧：若两端积分结果都含有 $\ln$，则 $+C$ 可以写成 $+\ln C$，减少计算量！

解答题例 4.3

求解微分方程（正负号可以从 $C$ 上借）。

解答

两端积分后均出现 $\ln$，此时：

$$\ln|y|=\ln|x|+C$$

由于两端都有 $\ln$，可以将 $C$ 改写为 $\ln C$（$C>0$），从而：

$$\ln|y|=\ln|x|+\ln C=\ln|Cx|$$

因此 $|y|=|Cx|$，即 $y=Cx$（此处 $C$ 为任意非零常数，正负号从 $C$ 上借来）。

解答题例 4.4（超纲，了解即可）

求解微分方程。考研数学从未出现过无理数的情况。若无理数作为指数，则底数必须非负。

解答

此题超纲，考研数学从未出现过无理数指数的情况，了解即可。

若无理数作为指数，则底数必须非负。两端积分：

$$\ln|y|=\ln|x|+C$$

由于涉及无理数指数，底数必须非负，处理方式与例4.3类似，最终 $y=Cx$。

（二）一阶线性微分方程使用公式法时

结论：在一阶线性微分方程中使用公式法时，计算 $\int p(x)dx$ 时，若 $p(x)$ 中没有无理数因子，也没有偶数作为分母的整体因子（即不需要开偶数次根号），则计算得到的 $\ln$ 不需要写绝对值。

考研中，99.99%的公式法题目，都不需要写绝对值。

解答题例 4.5

计算 $\int p(x)dx$ 得到的 $\ln$ 不需要写绝对值。

解答

使用公式法：

$$y=e^{-\int p(x)dx}\left[\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx+C\right]$$

计算 $\int p(x)dx$ 时，由于 $p(x)$ 中不含无理数因子，也没有偶数分母的整体因子，因此得到的 $\ln$ 不需要写绝对值，直接计算即可。

解答题例 4.6

求解微分方程。

解答

使用公式法，设方程为 $y'+p(x)y=q(x)$ 的形式：

$$y=e^{-\int p(x)dx}\left[\int q(x)\cdot e^{\int p(x)dx}dx+C\right]$$

计算过程中 $\int p(x)dx$ 得到的 $\ln$ 不需要写绝对值。代入后：

$$y=e^{\int p(x)dx}\left[\int q(x)\cdot e^{-\int p(x)dx}dx+C\right]$$

逐步计算积分，最终得到：

$$y=e^x+C$$

特殊情况：ln内部为负数时必须带绝对值！

2020年数一的级数大题中（虽然是级数大题，但数二同学也要看此内容，此页并不涉及级数，只涉及微分方程，详见思维课7.12.2小节例7.66），曾经出现过：

在 $x<0$ 时，求解微分方程。此题使用公式法后会出现 $\ln$ 内部为负数的情况。对于右端来说，属于双重buff叠加：既出现了偶数分母，又出现了 $\ln$ 内部为负数的形式。

由于已知 $x<0$，所以 $|x|=-x$。此时若直接写 $\ln x$，则 $\ln$ 内部为负数。同时分母前的2意味着要开根号，所以此时 $\ln$ 内部必须带绝对值。

即便是去掉分母的2，$\ln$ 内部也不能为负数。即如果题中已经明确给出 $x$ 的取值范围，此时 $\ln$ 内部如果是负数的话，则必须加绝对值（此时等价于加个负号）。

解答题例 4.6.1

在 $x<0$ 时，求解微分方程（2020年数一真题修改版）。

解答

由于 $x<0$，所以 $|x-1|=1-x$。使用公式法：

$$y=e^{\int p(x)dx}\left[\int q(x)\cdot e^{-\int p(x)dx}dx+C\right]$$

其中 $e^{\int p(x)dx}=e^{\ln|x-1|}=|x-1|=1-x$（因为 $x<0$）。

代入计算：

$$y=(1-x)\left[\int \frac{1}{(1-x)^2}dx+C\right]$$ $$=(1-x)\left[\frac{1}{1-x}+C\right]=1+C(1-x)$$

最终结果为 $y=x+C$（整理后）。

三、微分方程中需要标明C为任意常数吗？

$C$ 代表着 Constant，即常数。在解微分方程的时候，绝大多数情况下，最终的 $C$ 的范围是”$C$ 为任意常数”。

• 张宇、李艳芳的书籍中，均在最终结果后面标注了”其中 $C$ 为任意常数”
• 武忠祥的书籍没有对此进行说明
• 教育部考试院官方公布的答案和解析中也没有对此进行说明

官方答案都没写这句话，所以考研当中你不写这句话，肯定不会扣分。

特殊情况：20年数二微分方程大题中，出现了特殊情况。此题最终的结果中，结合题干信息可知函数过原点且单增，所以显然有约束条件，故此题 $C$ 的范围不是”任意常数”。李艳芳答案解析和教育部官方解析均标注了这一点。

个人建议：无论什么情况下，都不用去标注 $C$ 的范围。写"$C>0$"是满分，什么也不写也是满分，但如果写了”$C$ 为任意常数”（而实际 $C$ 有约束），则一定会被扣分。

四、微分方程的解的形式

微分方程的解的形式不唯一，只需要满足一个原则：结果不含有微分！

所谓微分方程，即方程中含有 $y'$、$y''$ 甚至 $y'''$ 以及更高阶，出现了微分，所以才叫微分方程。解微分方程，最终的解的结果，只需要不含有微分即可。即最终的结果不一定非要写成 $y=f(x)$ 或 $x=g(y)$ 的显式表达式的形式，隐式表达式也可作为最终结果。

• 2024数一数二真题：最终的解为隐函数形式
• 2025考研数二真题：最终的解为隐函数形式

五、考场速记

注意点	结论
分母为0	99.99%不需要考虑，除非出现矛盾
可分离变量中的ln	时刻带绝对值，最后再去；两端都有ln时 $+C$ 写成 $+\ln C$
公式法中的ln	99.99%不需要写绝对值；ln内部为负数时必须带
常数C的范围	不需要标注
解的形式	不唯一，不含微分即可，隐式也可以