4.3 可降阶的高阶微分方程（数三不要求）

可降阶微分方程分为三种类型：不显含未知函数的逐次积分法、不显含自变量的 $y'=p$ 换元法、不显含导数的特殊换元法。

来源：邂逅遗憾 27 考研数学思维课，第四章 微分方程 §4.3，p.310–312。

一、基本概念

可降阶微分方程是指可以通过适当的变量代换降低方程阶数的微分方程。这类方程虽然形式上是高阶方程，但可以通过降阶化简为低阶方程求解。

注意：数三考纲不要求掌握可降阶微分方程的内容。

二、基本类型与解法

（一）第一种类型：$y^{(n)}=f(x)$

形如 $y^{(n)}=f(x)$ 的微分方程直接进行 $n$ 次积分即可求得通解。

$$y=\int\cdots\int f(x)\underbrace{dx\cdots dx}_{n\text{个}} + C_1x^{n-1}+\cdots+C_n$$

（二）第二种类型：$y''=f(x,y')$

这类方程不显含 $y$，可以令 $y'=p$，则 $y''=p'$，原方程化为关于 $p$ 的一阶微分方程：

$$p'=f(x,p)$$

解出 $p$ 后，再由 $y'=\int p\,dx$ 得到最终结果。

解答题例 4.18

求微分方程 $y''=e^x$ 的通解。

解答

直接两次积分：

第一次积分：

$$y'=\int e^xdx=e^x+C_1$$

第二次积分：

$$y=\int(e^x+C_1)dx=e^x+C_1x+C_2$$

所以通解为 $y=e^x+C_1x+C_2$。

解答题例 4.2（重复）

移项后默认分母不为 0，发现方程无解或矛盾，这意味着分母必须为 0。

已知 $y(0)=1$，$y'(0)=-1$，求解相关微分方程。

解答

对于某些特殊的可降阶微分方程，需要先尝试常规方法求解，若发现矛盾则需要回头考虑特殊情况。

令 $u=y'$，则有 $y''=u\dfrac{du}{dy}$。代入原方程整理后可分离变量求解。

根据初值条件 $y(0)=1$，$y'(0)=-1$ 确定积分常数。

（三）第三种类型：$y''=f(y,y')$

这类方程不显含 $x$，可以令 $y'=p$，则 $y''=\dfrac{dp}{dx}= \dfrac{dp}{dy}\cdot\dfrac{dy}{dx}=p\dfrac{dp}{dy}$，原方程化为关于 $p$ 和 $y$ 的一阶微分方程：

$$p\dfrac{dp}{dy}=f(y,p)$$

解出 $p$ 后，由 $\dfrac{dy}{dx}=p$ 再次积分得到最终结果。

解答题例 4.19（2007 数二真题）

求解微分方程，将其转化为可降阶形式。

解答

观察到方程中不显含自变量 $x$，因此令 $y'=p$，则 $y''=p\dfrac{dp}{dy}$。原方程化为关于 $p$ 和 $y$ 的一阶微分方程。

解出 $p$ 关于 $y$ 的表达式后，再解 $\dfrac{dy}{dx}=p$ 即可。

解答题例 4.19.1（2026 数二真题）

降阶之后即变为一阶微分方程，此时要把脑子切换到解一阶微分方程的形式，要尽可能令最高阶导数系数为 1！之后即可看出合适的换元方式。

解答

降阶后得到的一阶方程，按照解一阶微分方程的思路处理。关键在于将最高阶导数的系数化为 1，然后选择合适的解法（分离变量、公式法等）。

例如：降阶后得到 $p'+p(p+C)=0$ 的形式，则可以令 $u=p+C$，进一步化简求解。

具体步骤：

1. 观察降阶后的方程结构
2. 将最高阶导数（这里是 $p'$）的系数化为 1
3. 根据方程特点选择合适的方法（分离变量、齐次方程等）
4. 解出一阶方程后，回代得到原方程的解

三、综合例题

解答题例 4.20

综合应用可降阶微分方程的解法。

解答

首先判断方程属于哪种类型：

1. 若不显含某变量，使用相应的降阶方法
2. 若同时含有 $x,y,y'$，需要仔细分析结构

然后选择合适的变量代换，将高阶方程转化为一阶方程求解。

解答题例 4.21

另一个综合例题。

解答

类似地，先分析方程结构，找到合适的降阶方法。注意：在求解过程中要保持运算的准确性，特别是链式法则的应用。

四、解题要点总结

1. 识别类型：首先判断方程属于哪种可降阶类型

   • 只含 $y^{(n)}$ 和 $x$？→ 逐次积分
   • 不显含 $y$？→ 令 $y'=p$
   • 不显含 $x$？→ 令 $y'=p$，$y''=p\dfrac{dp}{dy}$

2. 正确计算导数：使用链式法则时特别注意：

   $$y''=\frac{d}{dx}(y')=\frac{dp}{dx}=\begin{cases} \dfrac{dp}{dx} & (\text{不显含 } y \text{ 时}) \\ p\dfrac{dp}{dy} & (\text{不显含 } x \text{ 时}) \end{cases}$$

3. 初值条件的运用：如果有初值条件，需要在每一步积分后代入以确定积分常数

4. 回到原题：解出中间变量后要记得回代到原变量

五、考场速记

类型	特征	换元方法
$y^{(n)}=f(x)$	只含最高阶导数和自变量	直接 $n$ 次积分
$y''=f(x,y')$	不显含 $y$	$y'=p$，$y''=p'$
$y''=f(y,y')$	不显含 $x$	$y'=p$，$y''=p\dfrac{dp}{dy}$

关键技巧：

• 降阶后尽快将最高阶导数系数化为 1
• 降阶后的方程按一阶方程的思路处理
• 注意回代步骤，不要忘记最后一步积分

注：此部分内容为数学一、数学二要求，数学三同学可略过。