线性微分方程解的性质与结构

一、方程形式

这里只限于讨论一阶与二阶线性微分方程，其结论可推广到更高阶的线性微分方程。

一阶线性微分方程的一般形式为：

y'+p(x)y=f(x) \tag{6.1}

二阶线性微分方程的一般形式为：

y''+p(x)y'+q(x)y=f(x) \tag{6.2}

其中 $p(x),q(x),f(x)$ 均为连续函数。当右端项 $f(x)\equiv 0$ 时，分别称为齐次微分方程，否则称为非齐次微分方程。

设 $y_1(x)$ 与 $y_2(x)$ 分别是方程

y'+p(x)y=f_1(x) \quad \text{与} \quad y'+p(x)y=f_2(x)

或

y''+p(x)y'+q(x)y=f_1(x) \quad \text{与} \quad y''+p(x)y'+q(x)y=f_2(x)

的解，则 $A_1y_1(x)+A_2y_2(x)$ 是方程

y'+p(x)y=A_1f_1(x)+A_2f_2(x)

或

y''+p(x)y'+q(x)y=A_1f_1(x)+A_2f_2(x)

的解，其中 $A_1,A_2$ 为任意常数。特别有：

(1) 若 $y_1(x),y_2(x)$ 为齐次方程

y'+p(x)y=0 \tag{6.3}

或

y''+p(x)y'+q(x)y=0 \tag{6.4}

的两个特解，则其线性组合 $C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$ 仍为 (6.3) 或 (6.4) 的解。

(2) 设 $y_1(x)$ 与 $y_2(x)$ 为非齐次微分方程 (6.2)（或 (6.1)）的两个特解，则其差 $y_1(x)-y_2(x)$ 为相应齐次微分方程 (6.4)（或 (6.3)）的特解。

(3) 设 $y^*(x)$ 为非齐次微分方程 (6.2)（或 (6.1)）的一个特解， $y(x)$ 为齐次微分方程 (6.4)（或 (6.3)）的任意特解，则其和 $y^*(x)+y(x)$ 为 (6.2)（或 (6.1)）的解。

(1) 设 $y_0(x)$ 是 (6.3) 的非零特解，则 (6.3) 的通解是 $y=Cy_0(x)$ ；又 $y^*(x)$ 是 (6.1) 的一个特解，则 $y=Cy_0(x)+y^*(x)$ 是 (6.1) 的通解，其中 $C$ 为任意常数。

(2) 若 $y_1(x),y_2(x)$ 为 (6.4) 的两个线性无关的特解，则 (6.4) 的通解为：

y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)

又 $y^*(x)$ 是 (6.2) 的一个特解，则 (6.2) 的通解为：

y(x)=y^*(x)+C_1y_1(x)+C_2y_2(x)

其中 $C_1,C_2$ 为任意常数。

(3) 线性微分方程 (6.1) 或 (6.2) 的通解即为其所有解。

容易看出：这几个性质与代数中线性方程组解的性质非常相似。

若在区间 $I$ 上 $y_1(x)$ 与 $y_2(x)$ 成比例，即 $\dfrac{y_1(x)}{y_2(x)}$ 或 $\dfrac{y_2(x)}{y_1(x)}$ 为常数，则称函数 $y_1(x),y_2(x)$ 在区间 $I$ 上线性相关。

等价于：存在不全为零的常数 $\alpha_1$ 与 $\alpha_2$ ，使得 $\alpha_1y_1(x)+\alpha_2y_2(x)=0$ （ $\forall x\in I$ ）。

更一般地，若存在不全为零的常数 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m$ ，使：

\alpha_1y_1(x)+\alpha_2y_2(x)+\cdots+\alpha_my_m(x)=0 \quad (\forall x\in I)

则称函数组 $y_1(x),y_2(x),\dots,y_m(x)$ 在区间 $I$ 上线性相关，否则称该函数组线性无关。

选择题例题 1

设函数 $y_1(x),y_2(x),y_3(x)$ 线性无关，而且都是非齐次线性方程 (6.2) 的解， $C_1,C_2$ 为任意常数，则该非齐次方程的通解是（\quad）。

解答

答案选 D。

对于选项 (D)，其表达式可改写为：

y_3+C_1(y_1-y_3)+C_2(y_2-y_3)

其中 $y_3$ 是非齐次方程 (6.2) 的一个特解， $y_1-y_3$ 与 $y_2-y_3$ 是齐次方程 (6.4) 的两个线性无关的解，可知它就是 (6.2) 的通解。