4.5 三阶（高阶）常系数线性微分方程

高阶微分方程主要通过特征方程法求解，考研范围内只出现过三阶，其解的形式和二阶微分方程类似。

来源：邂逅遗憾 27 考研数学思维课，第四章 微分方程 §4.5，p.320–322。

一、基本概念

高阶线性微分方程是指未知函数的导数阶数大于等于 2 的线性微分方程。在考研范围内，所考过的高阶微分方程（阶数大于等于 3），目前只出现过三阶。

基本形式：

$$y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}y'+a_ny=f(x)$$

当 $f(x)\equiv 0$ 时称为齐次方程，否则为非齐次方程。

二、常系数齐次线性微分方程

（一）特征方程法

对于常系数齐次线性微分方程：

$$y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}y'+a_ny=0$$

其特征方程为：

$$r^n+a_1r^{n-1}+\cdots+a_{n-1}r+a_n=0$$

（二）特征根的分布与通解形式

情况 1：$n$ 个互异实根

若特征方程有 $n$ 个互不相同的实根 $r_1,r_2,\dots,r_n$，则通解为：

$$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}+\cdots+C_ne^{r_nx}$$

情况 2：重根

若有 $k$ 重根 $r$，则对应部分的通解为：

$$(C_1+C_2x+C_3x^2+\cdots+C_kx^{k-1})e^{rx}$$

情况 3：复根

若有共轭复根 $\alpha\pm i\beta$（$m$ 重），则对应部分通解为：

$$e^{\alpha x}\left[(C_1+C_2x+\cdots+C_mx^{m-1})\cos\beta x+(D_1+D_2x+\cdots+D_mx^{m-1})\sin\beta x\right]$$

解答题例 4.28（2010 数二真题）

求方程 $y'''-y''+y'-y=0$ 的通解。

解答

特征方程为：

$$r^3-r^2+r-1=0$$

因式分解：

$$(r-1)(r^2+1)=0 \Rightarrow r=1,\;r=\pm i$$

特征根为：$r_1=1$（单实根），$r_{2,3}=\pm i$（共轭虚根）。

所以通解为：

$$y=C_1e^x+C_2\cos x+C_3\sin x$$

解答题例 4.29（2021 数二真题）

有的同学直接默认 $r=1$ 是三重根了，别忘了立方差公式！

求方程 $(r-1)^3=0$ 的通解。

解答

特征根 $r=1$ 为三重根，因此通解为：

$$y=(C_1+C_2x+C_3x^2)e^x$$

注意不要误判根的重数，要使用正确的因式分解方法。

解答题例 4.30（2008 数一数二真题）

求微分方程 $y^{(4)}-2y'''+y''=0$ 的通解。

解答

特征方程：

$$r^4-2r^3+r^2=0 \Rightarrow r^2(r^2-2r+1)=0 \Rightarrow r^2(r-1)^2=0$$

特征根：$r=0$（二重根），$r=1$（二重根）。

通解：

$$y=C_1+C_2x+C_3e^x+C_4xe^x$$

三、特征方程的常用技巧

（一）有理根判别

对于整系数多项式，可能的有理根是常数项因数除以最高次项系数的因数。

（二）因式分解技巧

1. 分组分解：

   $$r^3-r^2+r-1=r^2(r-1)+(r-1)=(r-1)(r^2+1)$$

2. 立方差公式：

   $$r^3-a^3=(r-a)(r^2+ar+a^2)$$

3. 完全平方/立方公式：

   $$(r-a)^2=r^2-2ar+a^2 \\ (r-a)^3=r^3-3ar^2+3a^2r-a^3$$

（三）特殊类型

类型 1：缺失中间项

若方程缺某些中间项，可尝试设特解形式或进行降阶处理。

类型 2：系数对称

若系数呈对称分布（如 $a_i=a_{n-i}$），可能有特殊根的性质。

四、综合例题解析

解答题例 4.28.1

综合应用特征方程法求解高阶方程。

解答

关键步骤：

1. 写出特征方程
2. 正确求解特征根（注意重根）
3. 根据根的类型写出通解形式
4. 如有初值条件，代入求解常数

常见错误点：

• 忘记考虑重根
• 虚根计算错误
• 通解形式写错
• 初值条件代入错误

五、考场速记

特征根类型	通解对应部分
单实根 $r$	$Ce^{rx}$
$k$ 重实根 $r$	$(C_1+C_2x+\cdots+C_kx^{k-1})e^{rx}$
共轭虚根 $\pm i\beta$	$C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x$
$m$ 重共轭复根 $\alpha\pm i\beta$	$e^{\alpha x}\sum_{j=0}^{m-1}(C_j\cos\beta x+D_j\sin\beta x)x^j$

快速判断技巧：

1. 看最高次项系数：必为 1（若非 1 需先化简）
2. 试小整数根：$\pm1,\pm2$ 等简单值
3. 用韦达定理：验证根的正确性
4. 注意重根：可能漏判导致通解错误

重要提示：考研中只出现过三阶方程，但其原理适用于任意高阶常系数线性微分方程。