4.7 给出具体变换，求解微分方程

总目录 · 笔记整理索引 · 本章索引 · 上一节：4.6 欧拉方程（仅数一） · 下一节：4.8 微分方程 + 变上限积分

考情定位与大纲要求：
- 本节题型在数学二中属于高频常考题型，数学一、数学三亦常有涉及。
- 题目本身思维门槛并不高，题目会直接指定具体的代换形式，核心考查的是复合函数求导的链式法则熟练度与代数化简基本功，属于“按部就班演算、细心即可拿满分”的题型。
两大核心变换类型：
- 自变量代换 $x = \phi(t)$ （“消去 $x$ ”）：利用链式法则将 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}, \dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}$ 转化为关于 $t$ 的微商 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}, \dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2}$ ，将原方程转化为以 $t$ 为自变量的常系数或易解方程。
- 因变量代换 $y = \psi(x, u)$ （“消去 $y$ ”）：将原未知函数 $y$ 替换为新未知函数 $u(x)$ ，将 $y, y', y''$ 用 $u, u', u''$ 表示后代入方程。
笔记运算降负心法：
- 化分式为整式：因变量变换若给成商的形式（如 $y = \dfrac{u}{\cos x}$ ），务必先变形为积的形式（ $y = u \sec x$ ），利用乘积求导法则避开复杂的商导数计算。
- 反向凑微分：亦可变形为 $u = y \cos x$ ，直接求出 $u', u''$ ，再与原方程左边比对配凑，往往能实现“秒杀”化简。
笔记避坑铁律（初值代入黄金原则）：
- 解出自变量为 $t$ （或因变量为 $u$ ）的通解后，务必先换回原自变量 $x$ （和原因变量 $y$ ），写出 $y(x)$ 及其导数 $y'(x)$ ，再去代入初始条件确定常数 $C_1, C_2$ ！
- 严禁直接在 $t$ 的状态下代入初值！导数记号“ $'$ ”是对 $x$ 求导， $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \ne \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$ ，直接等同必导致全盘皆错（详见后文【笔记避坑警示】与例 4.32）。

一、两类具体变换的核心思想与求解法则

1. 自变量代换： $x = \phi(t)$ （消去自变量 $x$ ）

当变系数微分方程中自变量 $x$ 的结构可以通过特定代换消除时（如欧拉方程令 $x = e^t$ ，或本节例 4.32 令 $x = \cos t$ ），解题的核心是通过链式求导法则将对 $x$ 的导数彻底转化为对新变量 $t$ 的导数。

导数换元推导公式

设变换关系为 $x = \phi(t)$ ，已知反导数关系 $\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = \dfrac{1}{\phi'(t)}$ ：

一阶导数的换算：
$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{\phi'(t)} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$
二阶导数的换算：
$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right) \cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} \\ &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \frac{1}{\phi'(t)} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \right) \cdot \frac{1}{\phi'(t)} \\ &= \left( -\frac{\phi''(t)}{[\phi'(t)]^2} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} + \frac{1}{\phi'(t)} \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2} \right) \cdot \frac{1}{\phi'(t)} \\ &= \frac{1}{[\phi'(t)]^2} \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2} - \frac{\phi''(t)}{[\phi'(t)]^3} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \end{aligned}$

2. 因变量代换： $y = \psi(x, u)$ （消去因变量 $y$ ）

当方程中包含复杂的因变量因子时，题目通常给出 $y$ 与新因变量 $u$ 的函数关系，自变量仍为 $x$ 。此时导数记号中的“ $'$ ”始终代表对 $x$ 求导。

运算降负核心技巧

优先化分式为乘积整式：若已知 $y = \dfrac{u}{g(x)}$ ，直接求导需要反复使用商的求导法则，极易错漏；应改写为整式形式： $y = u \cdot [g(x)]^{-1}$ 采用乘积导数法则 $(uv)' = u'v + uv'$ 展开，计算更为明晰。
反向求导凑微配凑法（笔记高阶技巧）：若正向代换项数较多，可将代换反写为 $u = y \cdot g(x)$ ，直接计算 $u', u''$ ，再与原微分方程左端项进行比对配凑，往往能直接省去大量合并项的烦琐步骤。

3. 两类变换特征全景对比

比较维度	自变量代换型（消去 $x$ ）	因变量代换型（消去 $y$ ）
题目形式	给出 $x = \phi(t)$ （如 $x = \cos t$ ）	给出 $y = \psi(x, u)$ （如 $y = \dfrac{u}{\cos x}$ ）
新旧变量对应	原自变量 $x \longrightarrow$ 新自变量 $t$ ；因变量 $y$ 不变	自变量 $x$ 保持不变；原因变量 $y \longrightarrow$ 新因变量 $u$
导数换算核心	链式法则：逐次乘上 $\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}$	乘积求导法则：直接对 $x$ 逐阶求导
化简目标	变系数方程 $\longrightarrow$ 常系数微分方程	消除特定非线性或变系数项 $\longrightarrow$ 常系数方程
考场核心防错点	初值条件绝对不能在 $t$ 的通解上直接代入！	避免分式求导，求出 $u(x)$ 后切记换回 $y(x)$

二、核心真题精析与避坑指南

题型一：自变量代换型（真题精析）

第一步：建立链式求导微商表达式
由变换关系 $x = \cos t$ （ $0 < t < \pi$ ），得：

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = -\sin t \implies \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = -\frac{1}{\sin t}

根据复合函数链式求导法则：

y' = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = -\frac{1}{\sin t} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}

对一阶导数再次关于 $x$ 求导：

\begin{aligned} y'' = \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( -\frac{1}{\sin t} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \right) \cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} \\ &= \left[ \frac{\cos t}{\sin^2 t} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} - \frac{1}{\sin t} \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2} \right] \cdot \left( -\frac{1}{\sin t} \right) \\ &= \frac{1}{\sin^2 t} \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2} - \frac{\cos t}{\sin^3 t} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \end{aligned}

第二步：代入原方程消去 $x$ 并化简
将 $x = \cos t$ 及 $1 - x^2 = 1 - \cos^2 t = \sin^2 t$ （当 $0 < t < \pi$ 时 $\sin t > 0$ ）代入原方程：

(1-x^2)y'' - xy' + y = 0

可得：

\sin^2 t \left[ \frac{1}{\sin^2 t} \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2} - \frac{\cos t}{\sin^3 t} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \right] - \cos t \left[ -\frac{1}{\sin t} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \right] + y = 0

展开整理：

\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2} - \frac{\cos t}{\sin t} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} + \frac{\cos t}{\sin t} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} + y = 0

一阶导数项正负相互抵消，成功化简为关于 $y(t)$ 的二阶常系数齐次线性微分方程：

\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2} + y = 0

第三步：求解常系数线性方程通解
对应特征方程为：

r^2 + 1 = 0 \implies r_{1,2} = \pm i

故关于新自变量 $t$ 的通解为：

y(t) = C_1 \cos t + C_2 \sin t \quad (C_1, C_2 \text{ 为任意常数})

第四步：换回原自变量 $x$ （关键防错步！）
由 $x = \cos t$ ，且在 $t \in (0, \pi)$ 内 $\sin t = \sqrt{1 - \cos^2 t} = \sqrt{1 - x^2}$ ，回代得：

y(x) = C_1 x + C_2 \sqrt{1 - x^2}

第五步：代入初始条件确定特解常数
对 $y(x)$ 关于自变量 $x$ 求导：

y'(x) = C_1 + C_2 \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^2}} = C_1 - \frac{C_2 x}{\sqrt{1 - x^2}}

将初值条件 $\left.y\right|_{x=0} = 1, \; \left.y'\right|_{x=0} = 2$ 代入：

\begin{cases} y(0) = C_1 \cdot 0 + C_2 \cdot 1 = 1 \implies C_2 = 1 \\ y'(0) = C_1 - 0 = 2 \implies C_1 = 2 \end{cases}

故所求满足初始条件的特解为：

\boxed{y = 2x + \sqrt{1 - x^2}}

笔记在原题解析旁用醒目批注特别告诫：
“在代入初值条件对 $C$ 进行求解时，必须先换回 $y$ 和 $x$ 的函数！否则极易出错！”

【典型错误示范（考场高频暴雷点）】：
有同学认为：当 $x = 0$ 时， $t = \dfrac{\pi}{2}$ 。
于是直接在 $t$ 的通解 $y(t) = C_1 \cos t + C_2 \sin t$ 上代入：

$y\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = C_1 \cos\dfrac{\pi}{2} + C_2 \sin\dfrac{\pi}{2} = C_2 = 1$ （此步碰巧正确）；
接着求对 $t$ 的导数： $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = -C_1 \sin t + C_2 \cos t$ ；
此时错误地把题目给的 $\left.y'\right|_{x=0} = 2$ 直接等同于 $\left.\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right|_{t=\pi/2} = 2$ ，算得： $-C_1 \sin\frac{\pi}{2} + C_2 \cos\frac{\pi}{2} = -C_1 = 2 \implies C_1 = -2 \quad (\text{致命错误！})$

【深度错误剖析】：
题目条件中的导数符号撇号“ $\left.y'\right|_{x=0}$ ”代表的是对自变量 $x$ 的导数 $\left.\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_{x=0}$ ，而不是对 $t$ 的导数 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$ ！
根据链式法则：

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = -\frac{1}{\sin t} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}

当 $x = 0$ （即 $t = \dfrac{\pi}{2}$ ）时， $\left.\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_{x=0} = -\left.\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right|_{t=\pi/2}$ ，两者之间相差一个负号！

正确的 $t$ 导数应为： $\left.\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right|_{t=\pi/2} = -\left.\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_{x=0} = -2$ ，从而 $-C_1 = -2 \implies C_1 = 2$ 。

【避坑黄金铁律】：
解出通解后，永远先换回 $y(x)$ ，然后再代入初始条件！这样永远不会被微商因子的倍数或符号带入陷阱！

题型二：因变量代换型（真题精析）

第一步：化分式为整式并逐阶求导
将变换改写为整式形式：

y = u \sec x

注意正割函数导数公式 $(\sec x)' = \sec x \tan x$ 。对 $x$ 求一阶导数：

y' = u' \sec x + u \sec x \tan x

对 $y'$ 再次对 $x$ 求导求 $y''$ ：

\begin{aligned} y'' &= (u' \sec x)' + (u \sec x \tan x)' \\ &= \left( u'' \sec x + u' \sec x \tan x \right) + \left[ u' \sec x \tan x + u (\sec x \tan^2 x + \sec^3 x) \right] \\ &= u'' \sec x + 2u' \sec x \tan x + u (\sec^3 x + \sec x \tan^2 x) \end{aligned}

第二步：代入原微分方程化简
将 $y, y', y''$ 代入原微分方程左端：

\begin{aligned} \text{原方程左端} &= y'' \cos x - 2y' \sin x + 3y \cos x \\ &= \left[ u'' \sec x + 2u' \sec x \tan x + u (\sec^3 x + \sec x \tan^2 x) \right] \cos x \\ &\quad - 2\left[ u' \sec x + u \sec x \tan x \right] \sin x + 3(u \sec x)\cos x \end{aligned}

利用恒等关系 $\sec x \cos x = 1$ 、 $\sec x \sin x = \tan x$ 逐项展开：

\begin{aligned} \text{左端} &= \left[ u'' + 2u' \tan x + u (\sec^2 x + \tan^2 x) \right] - 2\left[ u' \tan x + u \tan^2 x \right] + 3u \\ &= u'' + (2u' \tan x - 2u' \tan x) + u (\sec^2 x + \tan^2 x - 2\tan^2 x + 3) \\ &= u'' + u (\sec^2 x - \tan^2 x + 3) \end{aligned}

由基本三角恒等式 $\sec^2 x - \tan^2 x = 1$ ，得：

\text{左端} = u'' + u(1 + 3) = u'' + 4u

从而原方程化简为关于未知函数 $u(x)$ 的二阶常系数非齐次线性微分方程：

u'' + 4u = e^x

第三步：求解二阶非齐次常系数线性微分方程

求对应齐次方程通解 $\overline{u}$ ：
齐次方程为 $u'' + 4u = 0$ ，特征方程为：
$r^2 + 4 = 0 \implies r_{1,2} = \pm 2i$
故对应齐次通解为：
$\overline{u} = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x$
求非齐次特解 $u^*$ ：
右端非齐次自由项为 $f(x) = e^x = e^{\lambda x}$ （其中 $\lambda = 1$ ）。
因为 $\lambda = 1$ 不是特征方程的根，故设特解形式为：
$u^* = A e^x$
代入方程 $u'' + 4u = e^x$ ：
$A e^x + 4A e^x = e^x \implies 5A = 1 \implies A = \frac{1}{5}$
故特解为 $u^* = \dfrac{1}{5} e^x$ 。
得到 $u(x)$ 的通解：
$u(x) = \overline{u} + u^* = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x + \frac{1}{5}e^x$

第四步：换回原未知函数 $y(x)$
由 $y = \dfrac{u}{\cos x}$ ，将 $u(x)$ 回代即得原微分方程的通解：

\boxed{y = \frac{C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x + \frac{1}{5}e^x}{\cos x}}

亦可利用倍角公式 $\dfrac{\sin 2x}{\cos x} = \dfrac{2\sin x \cos x}{\cos x} = 2\sin x$ 展开写作：

\boxed{y = \frac{C_1 \cos 2x}{\cos x} + 2C_2 \sin x + \frac{e^x}{5\cos x}}

（其中 $C_1, C_2$ 为任意常数）。

第一步：反写变换关系
由代换 $y = \dfrac{u}{\cos x}$ ，可直接反向表示为：

u = y \cos x

第二步：对 $u$ 连续求导并观察配凑
对 $x$ 求一阶导数：

u' = y' \cos x - y \sin x

再次对 $x$ 求二阶导数：

\begin{aligned} u'' &= (y'' \cos x - y' \sin x) - (y' \sin x + y \cos x) \\ &= y'' \cos x - 2y' \sin x - y \cos x \end{aligned}

第三步：比对原方程左端项
注意到原方程左端为：

y'' \cos x - 2y' \sin x + 3y \cos x

观察发现，将 $u''$ 与 $4u$ 线性组合：

\begin{aligned} u'' + 4u &= (y'' \cos x - 2y' \sin x - y \cos x) + 4(y \cos x) \\ &= y'' \cos x - 2y' \sin x + 3y \cos x \end{aligned}

此式恰好严格等于原微分方程的左端！
因此，原方程瞬时化简为：

u'' + 4u = e^x

后续求解齐次通解与非齐次特解步骤与解法一完全一致。
此法完全避开了正割三角函数求导与繁杂的多项式抵消，极显解题巧思。

三、变量代换题型解题思维模型与考场清单

1. 求解路径决策导图

flowchart TD
    Start["审题：识别已知具体代换"] --> Decision{"代换类型判断"}
    
    Decision -->|"自变量代换: x = φ(t)"| CaseA["消去自变量 x"]
    CaseA --> A1["求导算子: dt/dx = 1 / φ'(t)"]
    A1 --> A2["链式法则求出 y' 和 y'' 关于 t 的微商"]
    A2 --> A3["代入原方程化简为常系数方程"]
    A3 --> A4["求出通解 y(t)"]
    A4 --> A5["【关键防错】用 x = φ(t) 换回原变量 y(x)"]
    A5 --> A6["对 x 求导得到 y'(x)，代入初值求出常数 C"]

    Decision -->|"因变量代换: y = ψ(x, u)"| CaseB["消去因变量 y"]
    CaseB --> B1{"运算策略选择"}
    B1 -->|"正向整式化"| B2["改写为乘积 y = u · g(x)，求导 y', y''"]
    B1 -->|"反向配凑法"| B3["反解 u = y / g(x)，求导 u', u'' 凑左端"]
    B2 --> B4["代入原方程化简为关于 u(x) 的常系数方程"]
    B3 --> B4
    B4 --> B5["求出关于 u(x) 的通解"]
    B5 --> B6["换回原因变量 y = u / g(x) 得到原方程通解"]

2. 考场避坑 Checklist

链式求导是否漏乘尾巴：二阶导数 $\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)\cdot \dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}$ ，括号外务必再乘一次 $\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}$ ！
分式是否已转化为乘积：切忌直接对复杂分式求二阶导，能化为整式（如乘 $\sec x$ ）优先整式化。
三角恒等变形是否熟练： $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ 、 $\sec^2 x - \tan^2 x = 1$ 、 $\dfrac{\sin 2x}{\cos x} = 2\sin x$ 等简化关系需随手运用。
初值代入黄金原则：求出包含待定常数 $C_1, C_2$ 的解后，绝对不要在中间自变量 $t$ 上套用初值！必须换回 $x$ 之后再代入！

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我的总结

本节内容是考研数学第四章常微分方程的关键组成部分。在复习与解题时应掌握以下主线：

识别方程类型：观察自变量、未知函数及各阶导数的组合形式，快速锁定标准型或代换方向；
掌握通用解法：公式法、降阶法、特征方程法熟练掌握，计算务必准确；
注重综合联动：微分方程常与变限积分、级数、中值定理及几何物理应用综合命题，强化前后知识贯通。

参考资料

考研数学历年真题（全国统考真题）
同济大学数学系《高等数学》（常微分方程章节）
常见考研辅导资料（张宇《高数十八讲》、李林《880题》等）
本人考研数学课程学习笔记与题型方法梳理

ギターと孤独と蒼い惑星

4.7 给出具体变换，求解微分方程

4.7 给出具体变换，求解微分方程

一、两类具体变换的核心思想与求解法则

1. 自变量代换： $x = \phi(t)$ （消去自变量 $x$ ）

导数换元推导公式

2. 因变量代换： $y = \psi(x, u)$ （消去因变量 $y$ ）

运算降负核心技巧

3. 两类变换特征全景对比

二、核心真题精析与避坑指南

题型一：自变量代换型（真题精析）

题型二：因变量代换型（真题精析）

三、变量代换题型解题思维模型与考场清单

1. 求解路径决策导图

2. 考场避坑 Checklist

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我的总结

参考资料

Comments

4.7 给出具体变换，求解微分方程

一、 两类具体变换的核心思想与求解法则

1. 自变量代换：x=ϕ(t)x = \phi(t)x=ϕ(t)（消去自变量 xxx）

导数换元推导公式

2. 因变量代换：y=ψ(x,u)y = \psi(x, u)y=ψ(x,u)（消去因变量 yyy）

运算降负核心技巧

3. 两类变换特征全景对比

二、 核心真题精析与避坑指南

题型一：自变量代换型（真题精析）

题型二：因变量代换型（真题精析）

三、 变量代换题型解题思维模型与考场清单

1. 求解路径决策导图

2. 考场避坑 Checklist

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我的总结

参考资料

一、两类具体变换的核心思想与求解法则

1. 自变量代换： $x = \phi(t)$ （消去自变量 $x$ ）

2. 因变量代换： $y = \psi(x, u)$ （消去因变量 $y$ ）

二、核心真题精析与避坑指南

三、变量代换题型解题思维模型与考场清单