4.6 欧拉方程（仅数一）

总目录 · 笔记整理索引 · 本章索引 · 上一节：4.5 三阶（高阶）微分方程 · 下一节：4.7 给出具体变换，求解微分方程

考情定位与大纲要求：
- 欧拉方程是全国硕士研究生招生考试中仅针对数学一的专属考点，数二、数三完全不作要求。
- 考题频率较低（2004 年、2021 年考查），但形式极其固定，属于**“只要熟记换元公式就必定拿满分”**的送分题型。
核心结构特征：“幂阶完全对称”：
- 每一项中自变量 $x$ 的幂次与因变量 $y$ 的求导阶数严格一致，即形如 $x^k y^{(k)}$ 。
破局核心：指数换元化为常系数方程：
- 当 $x > 0$ 时，令 $x = e^t$ （即 $t = \ln x$ ）；
- 当 $x < 0$ 时，令 $x = -e^t$ （即 $t = \ln(-x)$ ）。
- 笔记建议：无需死记复杂的高阶微分算子公式，熟记前两阶微商换元结果即可： $xy' = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}, \qquad x^2 y'' = \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2} - \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$
笔记避坑铁律（初值代入黄金原则）：
- 解出以 $t$ 为自变量的通解 $y(t)$ 后，务必先用 $x = e^t$ 换回原自变量 $x$ ，写出 $y(x)$ 及其导数 $y'(x)$ ，再去代入初始条件确定待定常数 $C_1, C_2$ ！
- 切忌在 $t$ 的状态下直接套用 $x$ 的导数初值，否则当初始点 $x_0 \ne 1$ 时必掉入符号和倍数陷阱（详见后文【笔记避坑提示】与例 4.32）。

一、欧拉方程的标准形式与核心思想

1. 标准形式

形如

x^n y^{(n)} + p_1 x^{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + p_{n-1} x y' + p_n y = f(x)

（其中 $p_1, p_2, \dots, p_n$ 为实常数）的变系数线性微分方程，称为欧拉方程（Euler Equation）。

2. 求解核心思想

欧拉方程虽然是变系数微分方程，但由于每一项的导数阶数与幂次完美平衡，通过自变量指数代换，可将对自变量 $x$ 的导数，整体转化为对新自变量 $t$ 的常系数导数，从而彻底转化为我们极度熟练的常系数线性微分方程进行求解。

二、欧拉变换推导与换元公式速查

1. 变量代换推导（以 $x > 0$ 为例）

由初值条件通常落在 $x > 0$ 区域（如 $x = 1$ ），作自变量代换：

x = e^t \iff t = \ln x \quad (x > 0)

根据复合函数链式求导法则，逐项换算导数：

（1）一阶导数的换算

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \cdot \frac{1}{x} = e^{-t} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}

两端同乘 $x$ （注意 $x = e^t$ ），即得：

\boxed{x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}

（2）二阶导数的换算

对一阶导数 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = e^{-t}\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$ 再次对 $x$ 求导：

\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left( e^{-t} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \right) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( e^{-t} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \right) \cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} \\ &= \left( -e^{-t}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} + e^{-t}\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2} \right) \cdot e^{-t} \\ &= e^{-2t}\left( \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2} - \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \right) \end{aligned}

两端同乘 $x^2$ （注意 $x^2 = e^{2t}$ ），即得：

\boxed{x^2 \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} = \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2} - \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}

2. 算子符号表示法速查

引入微分算子记号 $D = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$ （代表对新变量 $t$ 求导）：

原方程项	换元为 $t$ 后的微商表示	算子表示法
$y$	$y$	$y$
$x y'$	$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$	$Dy$
$x^2 y''$	$\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2} - \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$	$D(D-1)y$
$x^3 y'''$	$\dfrac{\mathrm{d}^3y}{\mathrm{d}t^3} - 3\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2} + 2\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$	$D(D-1)(D-2)y$
$x^k y^{(k)}$	——	$D(D-1)\cdots(D-k+1)y$

三、考研真题精析与避坑指南

题型一：二阶欧拉方程初值问题（真题重现）

第一步：变量代换转化方程
由初始条件给出在 $x = 1 > 0$ 处，故在 $x > 0$ 范围内求解。
令 $x = e^t$ （即 $t = \ln x$ ），则有：

xy' = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}, \qquad x^2y'' = \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2} - \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}

将上述两式代入原方程 $x^2y'' + xy' - 4y = 0$ 中：

\left( \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2} - \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \right) + \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} - 4y = 0

中间一阶导数项恰好正负抵消，化简为二阶常系数齐次线性微分方程：

\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2} - 4y = 0

第二步：求解常系数微分方程通解
对应特征方程为：

r^2 - 4 = 0 \implies r_{1,2} = \pm 2

两个互异实特征根，故关于自变量 $t$ 的通解为：

y(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{-2t}

第三步：将自变量回代为 $x$ （关键步骤！）
利用 $x = e^t$ ，即 $e^{2t} = x^2, \; e^{-2t} = x^{-2} = \dfrac{1}{x^2}$ ，回代得：

y(x) = C_1 x^2 + C_2 x^{-2}

第四步：代入初值条件确定常数
对 $y(x)$ 求自变量 $x$ 的导数：

y'(x) = 2C_1 x - 2C_2 x^{-3}

代入初始条件 $y(1) = 1, \; y'(1) = 2$ ：

\begin{cases} y(1) = C_1 + C_2 = 1 \\ y'(1) = 2C_1 - 2C_2 = 2 \implies C_1 - C_2 = 1 \end{cases}

两式相加解得：

C_1 = 1, \qquad C_2 = 0

故满足初始条件的特解为：

\boxed{y = x^2}

笔记在原题旁用醒目红框特别批注：
“※ 将 $y(t)$ 变换成 $y(x)$ 后，再解 $C_1, C_2$ ！具体原因见例 4.32”

【深度剖析：为什么不能在 $t$ 的状态下直接代入？】

题目给出的初值条件是 $\left.y\right|_{x=1} = 1, \; \left.\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_{x=1} = 2$ 。这里给的是对 $x$ 的导数，而不是对 $t$ 的导数！
虽然根据 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = x\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ ，当 $x=1$ 时 $x$ 恰好为 1，使得 $\left.\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right|_{t=0} = 1 \times 2 = 2$ 碰巧在数值上与 $y'(1)$ 相等；
但一旦遇到初值点不是 1（例如 $x=2$ 或一般变量替换如例 4.32 中的 $x=\cos t$ 时），对 $x$ 的导数与对 $t$ 的导数会产生巨大的倍数或符号偏差！大量考生在考场上直接把 $y'(x_0)$ 当作 $y'(t_0)$ 代入，导致全盘皆错。
最稳妥、不易错的铁律：求出通解后，永远先换回自变量 $x$ ，然后再老老实实代入初值求解！

题型二：二阶欧拉方程通解问题（经典回溯）

变量代换：
令 $x = e^t$ ，将各阶导数公式代入原方程：
$x^2\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} = \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2} - \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}, \qquad x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$
代入得：
$\left( \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2} - \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \right) + 4\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} + 2y = 0$
合并同类项整理：
$\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2} + 3\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} + 2y = 0$
求特征方程与通解：
特征方程为：
$r^2 + 3r + 2 = 0 \implies (r+1)(r+2) = 0$
解得特征根为：
$r_1 = -1, \qquad r_2 = -2$
从而关于 $t$ 的通解为：
$y(t) = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t}$
自变量回代为 $x$ ：
因为 $x = e^t$ ，所以 $e^{-t} = x^{-1} = \dfrac{1}{x}, \; e^{-2t} = x^{-2} = \dfrac{1}{x^2}$ 。
代入即得原方程关于 $x$ 的通解：
$\boxed{y = \frac{C_1}{x} + \frac{C_2}{x^2}}$
（其中 $C_1, C_2$ 为任意常数）。

本章链接

我的总结

本节内容是考研数学第四章常微分方程的关键组成部分。在复习与解题时应掌握以下主线：

识别方程类型：观察自变量、未知函数及各阶导数的组合形式，快速锁定标准型或代换方向；
掌握通用解法：公式法、降阶法、特征方程法熟练掌握，计算务必准确；
注重综合联动：微分方程常与变限积分、级数、中值定理及几何物理应用综合命题，强化前后知识贯通。

参考资料

考研数学历年真题（全国统考真题）
同济大学数学系《高等数学》（常微分方程章节）
常见考研辅导资料（张宇《高数十八讲》、李林《880题》等）
本人考研数学课程学习笔记与题型方法梳理

ギターと孤独と蒼い惑星

4.6 欧拉方程（仅数一）

4.6 欧拉方程（仅数一）

一、欧拉方程的标准形式与核心思想

1. 标准形式

2. 求解核心思想

二、欧拉变换推导与换元公式速查

1. 变量代换推导（以 $x > 0$ 为例）

（1）一阶导数的换算

（2）二阶导数的换算

2. 算子符号表示法速查

三、考研真题精析与避坑指南

题型一：二阶欧拉方程初值问题（真题重现）

题型二：二阶欧拉方程通解问题（经典回溯）

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我的总结

参考资料

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4.6 欧拉方程（仅数一）

一、 欧拉方程的标准形式与核心思想

1. 标准形式

2. 求解核心思想

二、 欧拉变换推导与换元公式速查

1. 变量代换推导（以 x>0x > 0x>0 为例）

（1）一阶导数的换算

（2）二阶导数的换算

2. 算子符号表示法速查

三、 考研真题精析与避坑指南

题型一：二阶欧拉方程初值问题（真题重现）

题型二：二阶欧拉方程通解问题（经典回溯）

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参考资料

一、欧拉方程的标准形式与核心思想

二、欧拉变换推导与换元公式速查

1. 变量代换推导（以 $x > 0$ 为例）

三、考研真题精析与避坑指南