09-09 错题记录

例 4.32（2005 数二真题 · 自变量代换 $x=\cos t$ · 复合链式求导 · 初值代入避坑铁律）

复合求导链式法则漏乘尾巴（高频失误点）：
- 由自变量变换 $x = \cos t$ ，微商倒数关系为 $\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = -\dfrac{1}{\sin t}$ ；
- 求一阶导数： $y' = \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \cdot \dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = -\dfrac{1}{\sin t} \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$ ；
- 求二阶导数时： $\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left( y' \right) = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( -\dfrac{1}{\sin t} \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \right) \cdot \mathbf{\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}}$ ；
- 括号外极易漏乘微商因子 $\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}$ ！若漏乘，代入原方程后一阶导数项无法相互抵消，常系数齐次方程无法生成，直接导致运算崩溃。
核心避坑警告：初值绝对不能在 $t$ 的通解下直接代入（致命陷阱）：
- 解出关于 $t$ 的通解 $y(t) = C_1 \cos t + C_2 \sin t$ 后，当 $x = 0$ 时虽然对应 $t = \dfrac{\pi}{2}$ ；
- 但题目给出的导数初值是 $\left.y'\right|_{x=0} = 2$ ，即对自变量 $x$ 的导数 $\left.\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_{x=0} = 2$ ，绝对不等同于对 $t$ 的导数 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$ ！
- 由 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\dfrac{1}{\sin t}\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$ 可知，当 $t = \dfrac{\pi}{2}$ 时， $\left.\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_{x=0} = -\left.\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right|_{t=\frac{\pi}{2}}$ ，二者之间相差一个负号；
- 若直接强套导数初值，会得出 $-C_1 = 2 \implies C_1 = -2$ ，差了一个负号，全题特解直接零分！
考场黄金铁律：
- 解出自变量为 $t$ 的通解后，永远第一步先利用 $x = \cos t$ 和 $\sin t = \sqrt{1-x^2}$ 换回原自变量 $x$ ，写出 $y(x)$ 及其导数 $y'(x)$ ，然后再代入初始条件求待定常数！这样能 100% 免疫任何微商系数和符号陷阱。

第一步：复合函数链式求导表示 $y'$ 与 $y''$
由 $x = \cos t$ （ $0 < t < \pi$ ），得：

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = -\sin t \implies \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = -\frac{1}{\sin t}

依链式法则：

y' = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = -\frac{1}{\sin t} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}

再次对 $x$ 求导：

\begin{aligned} y'' = \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( -\frac{1}{\sin t} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \right) \cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} \\ &= \left[ \frac{\cos t}{\sin^2 t} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} - \frac{1}{\sin t} \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2} \right] \cdot \left( -\frac{1}{\sin t} \right) \\ &= \frac{1}{\sin^2 t} \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2} - \frac{\cos t}{\sin^3 t} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \end{aligned}

第二步：代入原微分方程消去 $x$ 并化简
注意到 $1 - x^2 = 1 - \cos^2 t = \sin^2 t$ （ $t \in (0, \pi) \implies \sin t > 0$ ），代入原方程：

(1-x^2)y'' - xy' + y = 0

得：

\sin^2 t \left[ \frac{1}{\sin^2 t} \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2} - \frac{\cos t}{\sin^3 t} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \right] - \cos t \left[ -\frac{1}{\sin t} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \right] + y = 0

展开后：

\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2} - \frac{\cos t}{\sin t} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} + \frac{\cos t}{\sin t} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} + y = 0

一阶导数项恰好相互抵消，得到二阶常系数齐次线性方程：

\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2} + y = 0

第三步：求解常系数方程通解
特征方程为 $r^2 + 1 = 0 \implies r_{1,2} = \pm i$ 。
故关于自变量 $t$ 的通解为：

y(t) = C_1 \cos t + C_2 \sin t \quad (C_1, C_2 \text{ 为任意常数})

第四步：换回原自变量 $x$ （关键防错步！）
由 $x = \cos t$ ，在 $0 < t < \pi$ 时 $\sin t = \sqrt{1 - x^2}$ ，回代得：

y(x) = C_1 x + C_2 \sqrt{1 - x^2}

第五步：代入初值条件确定特解
对 $y(x)$ 关于 $x$ 求导：

y'(x) = C_1 - \frac{C_2 x}{\sqrt{1 - x^2}}

代入初值 $\left.y\right|_{x=0} = 1, \; \left.y'\right|_{x=0} = 2$ ：

\begin{cases} y(0) = C_2 = 1 \\ y'(0) = C_1 = 2 \end{cases} \implies C_1 = 2, \quad C_2 = 1

故所求特解为：

\boxed{y = 2x + \sqrt{1 - x^2}}

例 4.33（1998 数二真题 · 因变量代换 $y=\frac{u}{\cos x}$ · 整式化降负求导 / 反向凑微分秒杀）

分式商求导陷阱（算力黑洞）：
- 题目给出 $y = \dfrac{u}{\cos x}$ ，若机械套用商导数公式 $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ ，求一阶导数分母产生 $\cos^2 x$ ，二阶导数分母产生 $\cos^3 x$ 与 $\cos^4 x$ ；
- 代入原方程后需极其繁琐地通分、展开、合并，极易发生符号错误与遗漏项；
- 降负核心心法：必须化分式为整式！改写为乘积形式 $y = u \sec x$ ，利用 $(\sec x)' = \sec x \tan x$ ，求导运算干净利落！
高阶巧解：反向设未知函数凑微分（快速破局）：
- 代换关系 $y = \dfrac{u}{\cos x}$ 可直接反写为 $u = y \cos x$ ；
- 对 $u$ 连续对 $x$ 求导两次： $u' = y'\cos x - y\sin x$ ， $u'' = y''\cos x - 2y'\sin x - y\cos x$ ；
- 惊奇发现： $u'' + 4u = y''\cos x - 2y'\sin x - y\cos x + 4y\cos x = y''\cos x - 2y'\sin x + 3y\cos x$ ，恰好就是原方程左端！原方程瞬间化为 $u'' + 4u = e^x$ ；
- 此法不仅免除了正割函数导数，更无需任何多项式代入抵消，堪称考场“降维打击”。
非齐次常系数线性微分方程特解与变量回代：
- $u'' + 4u = e^x$ 中， $\lambda = 1$ 不是特征根 $r = \pm 2i$ ，故设特解 $u^* = Ae^x$ ，易求得 $A = \dfrac{1}{5}$ ；
- 通解为 $u(x) = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x + \dfrac{1}{5}e^x$ ；
- 切勿遗漏最终回代：原方程未知量是 $y$ ，必须用 $y = \dfrac{u}{\cos x}$ 换回！

方法一：整式化正向求导代入法（经典标准解法）

第一步：化分式为整式并求导
将代换变形为：

y = u \sec x

对 $x$ 求一阶导数（注意 $(\sec x)' = \sec x \tan x$ ）：

y' = u' \sec x + u \sec x \tan x

再次对 $x$ 求导得二阶导数：

\begin{aligned} y'' &= (u' \sec x)' + (u \sec x \tan x)' \\ &= (u'' \sec x + u' \sec x \tan x) + [u' \sec x \tan x + u(\sec x \tan^2 x + \sec^3 x)] \\ &= u'' \sec x + 2u' \sec x \tan x + u(\sec^3 x + \sec x \tan^2 x) \end{aligned}

第二步：代入原微分方程化简
代入原方程左端：

\begin{aligned} \text{原方程左端} &= y'' \cos x - 2y' \sin x + 3y \cos x \\ &= [u'' \sec x + 2u' \sec x \tan x + u(\sec^3 x + \sec x \tan^2 x)]\cos x \\ &\quad - 2(u' \sec x + u \sec x \tan x)\sin x + 3(u \sec x)\cos x \\ &= [u'' + 2u' \tan x + u(\sec^2 x + \tan^2 x)] - 2[u' \tan x + u \tan^2 x] + 3u \\ &= u'' + u(\sec^2 x - \tan^2 x + 3) \end{aligned}

由基本恒等式 $\sec^2 x - \tan^2 x = 1$ ，得：

\text{原方程左端} = u'' + 4u

从而原方程化为关于 $u(x)$ 的二阶常系数非齐次线性微分方程：

u'' + 4u = e^x

第三步：求解常系数非齐次线性方程

齐次方程通解： $r^2 + 4 = 0 \implies r = \pm 2i$ ，故 $\overline{u} = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x$ ；
非齐次特解：自由项 $f(x) = e^x$ ， $\lambda = 1$ 不是特征根，设 $u^* = Ae^x$ 。代入得 $5Ae^x = e^x \implies A = \dfrac{1}{5}$ ；
得到 $u(x)$ 通解： $u(x) = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x + \frac{1}{5}e^x$

第四步：换回原未知函数 $y(x)$
由 $y = \dfrac{u}{\cos x}$ ，得原方程通解为：

\boxed{y = \frac{C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x + \frac{1}{5}e^x}{\cos x}}

（亦可展开写为 $y = \dfrac{C_1 \cos 2x}{\cos x} + 2C_2 \sin x + \dfrac{e^x}{5\cos x}$ ，其中 $C_1, C_2$ 为任意常数）。

方法二：反向求导配凑法（🌟 高效速解技巧）

第一步：反向设定函数
将变换改写为：

u = y \cos x

第二步：连续求导配凑原方程左端
对 $x$ 求一阶导数：

u' = y' \cos x - y \sin x

对 $x$ 求二阶导数：

u'' = y'' \cos x - 2y' \sin x - y \cos x

观察原方程左端项 $y'' \cos x - 2y' \sin x + 3y \cos x$ ：
将 $u''$ 加上 $4u$ ：

\begin{aligned} u'' + 4u &= (y'' \cos x - 2y' \sin x - y \cos x) + 4(y \cos x) \\ &= y'' \cos x - 2y' \sin x + 3y \cos x \end{aligned}

恰好完全重合！故方程瞬时化简为：

u'' + 4u = e^x

随后求解通解步骤与方法一完全相同。

ギターと孤独と蒼い惑星

09-09 错题记录

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例 4.32（2005 数二真题 · 自变量代换 $x=\cos t$ · 复合链式求导 · 初值代入避坑铁律）

例 4.33（1998 数二真题 · 因变量代换 $y=\frac{u}{\cos x}$ · 整式化降负求导 / 反向凑微分秒杀）

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例 4.32（2005 数二真题 · 自变量代换 x=cos⁡tx=\cos tx=cost · 复合链式求导 · 初值代入避坑铁律）

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