第一步：特解两两作差，提取齐次特征根（确定方程左端）
设所求二阶常系数非齐次线性微分方程为：
y′′+py′+qy=f(x)
由线性微分方程解的结构定理，非齐次方程的任意两个特解之差必为对应齐次方程 y′′+py′+qy=0 的解。
分别做差：
Y1Y2=y3−y1=(xex+e2x+e−x)−(xex+e2x)=e−x=y3−y2=(xex+e2x+e−x)−(xex−e−x)=e2x+2e−x
因为齐次方程解的线性组合仍为齐次解，由 Y1=e−x 与 Y2=e2x+2e−x 可得：
Y2−2Y1=e2x
亦为齐次方程的解。
从而齐次方程拥有两个线性无关的特解：
y=e−x和y=e2x
对应特征方程的两个特征根为：
r1=−1,r2=2
从而对应齐次方程的特征方程为：
(r−r1)(r−r2)=(r+1)(r−2)=0⟹r2−r−2=0
由此完全确定原方程左端项为：
y′′−y′−2y
（即系数 p=−1,q=−2）。
第二步：提取非齐次特解 y∗
观察原方程特解 y1=xex+e2x：
由于 e2x 是齐次方程的解（代入方程左端结果为 0），根据解的叠加原理，从非齐次解中减去齐次解，所得仍为非齐次解：
y∗=y1−e2x=xex
故 y∗=xex 是原非齐次方程的一个特解。
第三步：将特解代入方程左端，反求右端自由项 f(x)
对特解 y∗=xex 连续求导：
(y∗)′=(xex)′=ex+xex
(y∗)′′=(ex+xex)′=2ex+xex
将 y∗,(y∗)′,(y∗)′′ 代入方程左端 y′′−y′−2y：
f(x)=(y∗)′′−(y∗)′−2(y∗)=(2ex+xex)−(ex+xex)−2(xex)=(2−1)ex+(1−1−2)xex=ex−2xex=ex(1−2x)
综上所述，所求二阶常系数非齐次微分方程为：
y′′−y′−2y=ex(1−2x)
循风入卷
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