2.9 不等式证明

上一节：2.8 中值定理 · 总目录 · 笔记整理索引 · 下一节：2.10 二阶导专项——不只是泰勒公式！

这一节的难点不是计算，而是选工具：同一个不等式常常既能用”移项作差 + 单调性”老老实实证出来，也能用某一组已知不等式”放缩”几步搞定，两条路的工作量差别很大。更麻烦的是，选错工具的表现一般不是”算不出来”，而是越算越松——方向明明对，最后却差一个常数、或者等号取不到。所以本页的顺序是：先列工具并说明每个界为什么成立，再给出什么时候只能用某一种的判据，最后给出缩放过头怎么判断的三条自检，然后用真题演示。

核心结论：两条主线与选择判据

主线	做法	结论形态	成本
函数化（移项作差）	把不等式改成 $F(x)\ge0$ ，用 $F'$ 的符号定单调性，再用某点函数值定号	含 $e^x,\ln x,\sin x$ 的具体不等式；含参数的不等式；端点处取等的不等式	需要找一个能定出 $F$ 的符号的”零点”，且求导后符号要能判断
放缩估计	用一组已知的界（基本不等式、凸性、泰勒截断）把待证式夹住	两边结构不同、或一侧含定积分、或只要求”证明存在若干项满足”的估计式	只需要界的方向正确，但每放一步都会丢精度

两条主线的取舍只有一条判据：待证式两侧能否化成同一个函数的不同取值。能，就走函数化（精确、不丢精度）；不能，或者中间夹着定积分、夹着 $\xi$ ，就只能在允许的界里做放缩。

1. 常见的放缩手法

(1) 常用基本不等式

均值不等式： $a^2+b^2\ge 2ab,\qquad a+b\ge 2\sqrt{ab}\quad(a>0,b>0)$
三角不等式： $x\ge\sin x\quad(x>0),\qquad \sin x<x<\tan x\quad\left(0<x<\frac{\pi}{2}\right)$
指数与对数核心不等式（切线放缩）： $e^x\ge x+1\iff e^x-1\ge x\quad(\text{等号仅在 } x=0 \text{ 处成立})$ $\frac{x}{x+1}\le\ln(1+x)\le x\quad(x>-1,\text{等号仅在 } x=0 \text{ 处成立})$

为什么成立：
- $a^2+b^2-2ab=(a-b)^2\ge0$ ； $a+b-2\sqrt{ab}=(\sqrt a-\sqrt b)^2\ge0$ （后者只对 $a,b>0$ 有意义，因为要用到 $\sqrt{ab}$ ）。
- $x-\sin x$ 的导数 $1-\cos x\ge0$ ，故 $x-\sin x$ 单调不减，而 $x=0$ 处为零，于是 $x>0$ 时 $x>\sin x$ ； $\tan x-x$ 的导数 $\sec^2x-1=\tan^2x\ge0$ ，同理得 $x<\tan x$ 。
- $e^x\ge x+1$ ： $F(x)=e^x-x-1$ 满足 $F'(x)=e^x-1$ ， $F$ 在 $x=0$ 处取到唯一的最小值 $F(0)=0$ ；几何上 $y=x+1$ 是 $e^x$ 在 $x=0$ 处的切线， $e^x$ 为凸函数，图像在切线上方。
- $\dfrac{x}{1+x}\le\ln(1+x)\le x$ ：令 $u(x)=\ln(1+x)-x$ ， $u'(x)=\dfrac{-x}{1+x}$ ， $u$ 在 $(-1,0)$ 上增、 $(0,+\infty)$ 上减，故 $u(x)\le u(0)=0$ ；令 $v(x)=\ln(1+x)-\dfrac{x}{1+x}$ ， $v'(x)=\dfrac{x}{(1+x)^2}$ ，同理 $v(x)\ge v(0)=0$ 。另一种看法：对 $x>-1,\ x\ne0$ ，取 $\xi$ 介于 $1$ 与 $1+x$ 之间，由拉格朗日中值定理 $\ln(1+x)=\dfrac{x}{\xi}$ ；而无论 $x>0$ 还是 $-1<x<0$ ，都有 $1+x<\xi<1$ 或 $1<\xi<1+x$ ，两端估计即得 $\dfrac{x}{1+x}<\dfrac{x}{\xi}<x$ 。也就是说这两个界分别是”把中值点 $\xi$ 顶到区间两端”的结果。
使用条件：三角不等式要求 $0<x<\dfrac{\pi}{2}$ （超出该区间 $\tan x$ 会变号失序）；对数族的界要求 $x>-1$ ，否则 $\ln(1+x)$ 无定义；均值不等式要求 $a,b>0$ 。
注意点：这些界都是”单向”的—— $e^x\ge x+1$ 只能用来把 $e^x$ 往小估，若目标是 $e^x\le\square$ 就不能用它。

(2) 绝对值不等式

$\bigl||a|-|b|\bigr|\le |a\pm b|\le |a|+|b|$

为什么成立：右边由 $|a+b|^2=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\le a^2+2|a||b|+b^2=(|a|+|b|)^2$ 得到；左边由 $|a|=|(a-b)+b|\le|a-b|+|b|$ 整理为 $|a|-|b|\le|a-b|$ ，再把 $a,b$ 换位即得。
使用条件：只要出现绝对值或两个中值点之差（如 $f''(\xi_1)-f''(\xi_2)$ ）就必须先拆成两项。它的作用是把”差的绝对值”换成”绝对值的和”，这样每一项都能用同一个统一的界（最值）来估计。
注意点：拆开后精度一定会下降，因此它只能用于”证明某个界成立”，不能用于求精确值；如果题目要求精确等式，就要改用介值定理把两个中值点合并（见 2.10）。

(3) 泰勒放缩

原理（展开后按阶数截断、用余项的符号定方向）见 1.1.4 泰勒公式与泰勒放缩。

为什么成立：带拉格朗日余项的泰勒公式为 $f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1},$ 不等号方向完全由余项的符号决定。当 $n=1$ （截断到一阶）时余项为 $\dfrac{f''(\xi)}{2}(x-x_0)^2$ ，它的符号只与 $f''$ 有关，与 $x$ 在 $x_0$ 的哪一侧无关——这正是”切线放缩”。
使用条件： $f$ 在区间上有 $n+1$ 阶导数，且 $f^{(n+1)}$ 在区间上定号。 $n+1$ 为偶数时余项符号与 $x$ 在哪一侧无关，可直接用； $n+1$ 为奇数时余项符号还取决于 $(x-x_0)^{n+1}$ 的符号，必须在 $x_0$ 两侧分别讨论。
注意点：截断阶数越高，得到的界越紧（精度越高），但形式越复杂。选择阶数的依据是”目标式里出现了几次 $x$ “：目标含一次式就用一阶截断，目标含二次式就保留到二阶。

(4) 几何放缩

用曲线的凹凸性与割线、切线的关系做放缩： $f''(x)\ge0$ （ $y=f(x)$ 为凹曲线）时，曲线夹在切线上方与弦线下方之间。

为什么成立：切线不等式 $f(x)\ge f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ 就是 $n=1$ 的泰勒截断；弦不等式 $f((1-t)a+tb)\le(1-t)f(a)+tf(b)$ 等价于 $f'$ 单调不减（把区间分片、对每片用拉格朗日定理比较割线斜率即得）。
使用条件： $f''$ 在区间上定号。 $f''>0$ 与 $f''<0$ 时弦、切线的位置关系互换，用之前必须先确认凹凸方向（注意不同教材对”凹""凸”命名相反，判据统一用 $f''$ 的符号）。
注意点：等号只在切点或端点处取得，因此用它放缩一定会把区间内部的等号全部丢掉——如果题目要求在某个内点取等，这个工具就不可用。
面积视角：把曲边梯形换成弦线构成的梯形、或切线构成的三角形，即可用来比较大小时的定积分。这一手法在课程讲义中被称为”几何放缩”，其来源与推导见 1.2.6.2 双数列的无穷小比阶。

(5) 积分估值与夹逼放缩

方法：利用被积函数在积分区间上的最值进行放缩，或结合积分中值定理、夹逼准则。

为什么成立：定积分具有保序性——若在 $[a,b]$ 上逐点有 $g(x)\le h(x)$ ，则 $\displaystyle\int_a^b g(x)\,\mathrm dx\le\int_a^b h(x)\,\mathrm dx$ 。最值放缩就是把它用到常数函数上： $m(b-a)\le\int_a^b f(x)\,\mathrm dx\le M(b-a),\quad m=\min_{[a,b]}f,\ M=\max_{[a,b]}f.$
使用条件：放缩必须在积分号内对每个 $x$ 成立；两侧的界要么都是常数，要么含 $n$ 的表达式（夹逼的情形）。
注意点：不能对积分两端做方向相反的放缩，也不能把”最值”换成”端点值”（端点值不是最值，会给出错误的界）。

解法（夹逼定理）：当 $x\in[1,\sqrt{3}]$ 时， $1 \le \sqrt[n]{x} \le \sqrt[n]{\sqrt{3}}$ ，故 $\int_1^{\sqrt{3}}\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x \le \int_1^{\sqrt{3}}\frac{\sqrt[n]{x}}{1+x^2}\,\mathrm{d}x \le \sqrt[n]{\sqrt{3}}\int_1^{\sqrt{3}}\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x$ 又 $\displaystyle\int_1^{\sqrt{3}}\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x = \left.\arctan x\right|_1^{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{12}$ ，且 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sqrt{3}}=1$ 。由夹逼准则，原极限为 $\dfrac{\pi}{12}$ 。
依据说明：这里用的不是”最值放缩”而是”因式放缩”—— $\sqrt[n]x$ 作为因子被夹在 $1$ 与 $\sqrt[n]{\sqrt3}$ 之间，且这两个界对 $x$ 是一致的（与 $x$ 无关的常数），所以可以整体提到积分号外；若界中仍含 $x$ ，就必须老老实实在积分号内逐点放缩。

(6) 利用微分中值定理中的 $\xi$ 放缩

设 $0<a_n<b_n<\dfrac{\pi}{2}$ ，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi_n\in(a_n,b_n)\subset\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ ，使得： $\frac{a_n}{b_n} = \frac{\cos a_n-\cos b_n}{b_n} = -\sin\xi_n\cdot\frac{a_n-b_n}{b_n} = \frac{\sin\xi_n}{b_n}(b_n-a_n) < \frac{\sin\xi_n}{b_n}\cdot b_n = \sin\xi_n < \xi_n < b_n$ 若已知 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ 收敛，由比较审敛法可知 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{b_n}$ 亦收敛。这里的放缩链条是：先把差分 $b_n-a_n$ 用区间长度 $b_n$ 放大，再把 $\sin\xi_n$ 用 $\xi_n$ 放大，最后用 $\xi_n<b_n$ 把中值点替换成可以求和比较的量。

(7) 利用数列递推与单调性放缩

设 $a_1=a_2=1$ 且 $a_{n+1}=a_n+a_{n-1}$ 。易知 $\{a_n\}$ 单调递增（即 $a_n>a_{n-1}$ ），则： $a_{n+1}=a_n+a_{n-1} < a_n+a_n = 2a_n$ 递推可得 $a_n < 2^{n-2}\ (n\ge 4)$ ，于是： $|a_nx^{n-1}| < 2^{n-2}|x|^{n-1} = \frac{1}{2}|(2x)^{n-1}|$ 因几何级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(2x)^{n-1}$ 在 $|2x|<1$ （即 $|x|<\frac{1}{2}$ ）时收敛，故原级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^{n-1}$ 在 $|x|<\frac{1}{2}$ 处绝对收敛。

放缩的成立依据：三类来源

所有能用的界，追根究底只有三类来源。判断一个”看起来很眼熟”的界能不能用，就是判断它属于哪一类、条件是否满足：

来源	代表工具	成立理由	需要的条件
单调性（一阶）	$e^x\ge x+1$ 、 $x\ge\sin x$ 、 $\dfrac{x}{1+x}\le\ln(1+x)\le x$	作差 $F=$ 左 $-$ 右，用 $F'$ 的符号定单调性，再由 $F$ 在某点的值定号	$F$ 可导、 $F'$ 定号，且能找到 $F$ 取零的点（通常是区间端点或极值点）
凸性（二阶）	弦线放缩 $f((1-t)a+tb)\le(1-t)f(a)+tf(b)$ 、切线放缩	弦不等式来自 $f'$ 单调（割线斜率比较）；切线不等式是 $n=1$ 的泰勒截断	$f''$ 在区间上定号，且等号位置（端点/切点）与题目要求一致
余项定号（高阶）	泰勒截断，如 $e^x=1+x+\dfrac{e^{\xi}}{2}x^2\ge1+x$	拉格朗日余项的符号由 $f^{(n+1)}$ 的符号决定	$f$ 有 $n+1$ 阶导数， $f^{(n+1)}$ 定号； $n+1$ 为奇数时须分侧讨论

三类来源的精度递增：单调性来源的界通常是最松的（一次界），凸性来源相当于多利用了一阶导的单调性，泰勒来源通过提高阶数可以把界调到任意紧。这解释了为什么”放缩过头”时正确的补救方向是提阶（保留更多泰勒项），而不是在同一阶上换一个更花哨的工具。

什么时候只能用某一种：工具的适用边界

结论两端是同一条曲线的两个位置（如 $f(x)\ge f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ 、 $f(\frac{a+b}{2})\le\frac1{b-a}\int_a^bf$ ） $\Rightarrow$ 用函数化 + 单调性（精确，不丢精度）。
结论含超越函数与一次式的比较（如 $e^x\ge1+x$ 、 $\ln(1+x)\le x$ ） $\Rightarrow$ 只能用切线放缩。理由：一次界正是这些函数在 $x=0$ 处的切线，阶数天然匹配；用二阶截断会多出一个 $\ge0$ 的项，虽然方向不反，但会引入不必要的 $f''$ 信息与更复杂的余项。
结论含定积分 $\Rightarrow$ 只能在积分号内逐点放缩后积分（保序性），工具限于凹凸性、最值、绝对值不等式、积分中值定理。对积分两端分别做不同方向的放缩是错误操作。
结论要求”存在 $\xi$ 使等式成立” $\Rightarrow$ 只能用中值定理的等式形式（罗尔/拉格朗日/柯西/泰勒等式）。放缩是严格方向的操作，会把等号破坏掉，做不出”存在点使某关系成立”。
结论是数列或级数的收敛性 $\Rightarrow$ 只能走递推放缩 + 比较审敛法（或单调有界准则）。这类题没有函数结构，中值定理无从下手。

缩放过头的判断：三条自检

放缩是单向操作，每做一步都会把不等式”变松”。题目要求的界一旦被放过头，余量就被吃掉，后面再怎么算也补不回来。下面三条可以直接当检查清单用：

用到的每一个界都要能说出它在哪里取等。把这条链条上所有等号点摆出来看：

若等号点全都落在题目允许取等的位置（通常是区间端点、切点，或题目明确”等号成立”的那一点），说明方向与位置都对；
若放缩链在区间内部就把等号用掉了（例如用 $f''>0$ 推出 $f(x)\ge\square$ ，而题目要求 $f(x)>\square$ 在内点成立；由于 $x=x_0$ 时泰勒余项为零，等号只在 $x_0$ 处取得，内点仍是严格不等号，这类情况没问题），或等号点与被证式的等号点不是同一个点，就说明这一步已经把余量耗尽，后续放缩不可能再得到所需结论。

2. 不等式证明通法：移项作差找零点

判断依据：要判断 $F(x)$ 的符号，只能靠” $F$ 单调 + $F$ 在某点已知取值”。所以必须做两件事——先造出 $F$ ，再找到 $F$ 的零点（区间端点或使超越函数取特殊值的点）。

移项作差，构造辅助函数：证明 $f(x) \ge g(x) \iff F(x) = f(x) - g(x) \ge 0$ 。
寻找特殊零点：目的是让 $F$ $F$ 在该点的值能算出来（通常为零）。
- 若含 $\ln(\square)$ ：令 $\square = 1$ ，因为 $\ln1=0$ ；
- 若含 $e^\square$ ：令 $\square = 0$ ，因为 $e^0=1$ ；
- 若含 $\sin\square$ 或 $\cos\square$ ：令 $\square=0$ ，因为 $\sin0=0$ 、 $\cos0=1$ 。
简化分析：
- 定义域与奇偶性：先看定义域；若 $F(x)$ 为偶函数，只需证 $x \ge 0$ 的区间，另一半由偶性对称得到。注意：用偶性时必须显式写出 $f(-x)=f(x)$ 的验证，否则这一步是无依据的。
- 分离非负因子：导数 $F'(x)$ 的符号若由部分因子决定（如分母恒正），可单独拎出分子研究。条件：分母在所讨论区间上恒正或恒负（恒负时整体反号）。

注意事项：

零点在区间内部时， $F$ 在该点两侧的单调性相反，必须分段讨论（如例 2.83 中 $f(1)=0$ 把 $(0,+\infty)$ 分成两段）。
若造出的 $F$ 求导后符号仍不明，先别急着放弃：可能是 $F$ 造错了（试试乘一个恒正的因子，如 $e^x$ 、 $x+1$ ），也可能是需要继续求 $F''$ 判断 $F'$ 的单调性（例 2.82 法二）。

典型例题

分组说明：例 2.82、例 2.83 是”移项作差 + 单调性”的标准流程（例 2.83 还用到”只处理分子”的判据）；例 2.84 是”变上限积分”处理含定积分不等式的代表题型。

例 2.82 2012 数一二三真题，别忘了利用奇偶性！

考虑辅助函数

f(x)=x\ln\frac{1+x}{1-x}+\cos x-1-\frac{x^2}{2}.

由于

f(-x)=(-x)\ln\frac{1-x}{1+x}+\cos x-1-\frac{x^2}{2}=f(x),\quad

故 $f(x)$ 为偶函数。如果能证明当 $x\in[0,1)$ 时， $f(x)\ge0$ ，那么当 $x\in(-1,1)$ 时，也有 $f(x)\ge0$ ，从而题给不等式成立。

计算 $f'(x)$ ：

f'(x)=\left(x\ln\frac{1+x}{1-x}+\cos x-1-\frac{x^2}{2}\right)' =\frac{2x}{1-x^2}+\ln\frac{1+x}{1-x}-\sin x-x.

由于当 $x\in[0,1)$ 时，

\frac{x}{1-x^2}\ge x\ge\sin x,\quad

故

\frac{2x}{1-x^2}\ge2x\ge\sin x+x.

又因为 $\dfrac{1+x}{1-x}\ge1$ ，所以 $\ln\dfrac{1+x}{1-x}\ge0$ ，等号在 $x=0$ 时取得。因此，当 $x\in(0,1)$ 时，

f'(x)=\frac{2x}{1-x^2}+\ln\frac{1+x}{1-x}-\sin x-x>0.

综上所述， $f(x)$ 在 $[0,1)$ 上单调增加， $f(0)$ 为 $f(x)$ 在 $[0,1)$ 上的最小值。又由于 $f(x)$ 为偶函数可知，在 $(-1,1)$ 上， $f(x)\ge f(0)=0$ ，即

x\ln\frac{1+x}{1-x}+\cos x\ge1+\frac{x^2}{2}\quad(-1<x<1).

在法一中求得

f'(x)=\frac{2x}{1-x^2}+\ln\frac{1+x}{1-x}-\sin x-x

后，继续求 $f''(x)$ 以判断 $f'(x)$ 的性质。

\begin{aligned} f''(x) &=\frac{2(1+x^2)}{(1-x^2)^2}+\frac1{1+x}-\frac{-1}{1-x}-\cos x-1\\ &=\frac4{(1-x^2)^2}-\cos x-1. \end{aligned}

由于当 $x\in[0,1)$ 时，

\frac4{(1-x^2)^2}\ge4,\qquad1+\cos x\le2,\quad

故 $f''(x)>0$ 。 $f'(x)$ 在 $[0,1)$ 上单调增加， $f'(x)\ge f'(0)=0$ ， $f(x)$ 在 $[0,1)$ 上单调增加。其余同法一。

法一的关键放缩有两步，都要单独交代依据： $\dfrac{x}{1-x^2}\ge x$ 用的是 $x\ge0$ 时 $1-x^2\le1$ （分母变小则分式变大，方向与目标一致）； $x\ge\sin x$ 用的是 §1(1) 中 $x-\sin x$ 单调不减。两项相加得 $\dfrac{2x}{1-x^2}\ge\sin x+x$ ，正好把 $f'(x)$ 中的" $-\sin x-x$ "抵消掉，剩余 $\ln\dfrac{1+x}{1-x}\ge0$ （因为 $\dfrac{1+x}{1-x}\ge1$ ）。放缩链条的终点是”剩下一个定号的项”，这符合自检二。
法一为什么必须用奇偶性： $f'$ 的符号只在 $[0,1)$ 上验证过，若不用偶性， $(-1,0)$ 上 $f'$ 的符号仍需重新讨论；偶性把工作量减半，代价是要先验证 $f(-x)=f(x)$ 。
法二为什么可行：它不去放大 $f'$ ，而是直接比较 $f''$ 与常数（ $\dfrac{4}{(1-x^2)^2}\ge4$ 与 $1+\cos x\le2$ ），这一步用到两次”函数化”而不是一次”放缩”，精度更高，代价是多求一次导。
等号位置： $f'(x)>0$ 只在 $x\in(0,1)$ 上成立（ $x=0$ 处 $f'=0$ ），所以 $f$ 在 $[0,1)$ 上单调增加、 $f(0)$ 是最小值，等号仅在 $x=0$ 处取得，与题目要求的 $\ge$ 一致。

例 2.83 2018 数二真题，只处理式子的某一部分即可

此题在研究 $f'(x)$ 的正负性时，由于分母恒正，因此 $f'(x)$ 的正负性仅取决于分子，此时可单独研究分子。

记

f(x)=x-\ln^2x+2k\ln x-1,\quad

则 $f(1)=0$ 。

f'(x)=1-\frac{2\ln x}{x}+\frac{2k}{x} =\frac{x-2\ln x+2k}{x}.

由于在 $(0,+\infty)$ 内， $x>0$ ，故若能证明 $x-2\ln x+2k$ 在 $(0,+\infty)$ 内非负，则 $f'(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内非负，从而 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内单调增加。

考虑函数 $g(x)=x-2\ln x$ ，

g'(x)=1-\frac2x.

当 $x=2$ 时， $g'(x)=0$ ；当 $0<x<2$ 时， $g'(x)<0$ ， $g(x)$ 单调减少；当 $x>2$ 时， $g'(x)>0$ ， $g(x)$ 单调增加。于是， $g(x)$ 在 $x=2$ 处取得 $(0,+\infty)$ 内的最小值，最小值为

g(2)=2-2\ln2.

当 $k\ge\ln2-1$ 时，

2-2\ln2+2k\ge0,\quad

从而 $x-2\ln x+2k$ 在 $(0,+\infty)$ 内非负且仅当 $x=2,\ k=\ln2-1$ 时等于零。因此，在 $(0,+\infty)\setminus\{2\}$ 内， $f'(x)>0$ ， $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内单调增加。又因为 $f(1)=0$ ，所以当 $0<x<1$ 时， $f(x)<0$ ；当 $x>1$ 时， $f(x)>0$ ，从而 $f(x)$ 与 $x-1$ 在 $(0,+\infty)$ 内同号，故

(x-1)(x-\ln^2x+2k\ln x-1)\ge0.

为什么可以”只处理分子”： $f'(x)=\dfrac{x-2\ln x+2k}{x}$ 中分母 $x$ 在 $(0,+\infty)$ 上恒正，因此 $f'$ 与分子同号。判据是分母在所讨论区间上不变号；若区间跨越 $x=0$ ，这个操作就失效。
为什么把 $k$ 单独提出来：含参不等式的通法是”把参数分离到一侧，让另一侧成为一个与 $k$ 无关的函数的最值”，本题中 $\ln2-1$ 正是 $\dfrac{2\ln2-2}{2}$ ，即 $-\dfrac{g(2)}{2}$ ——题设给出的 $k\ge\ln2-1$ 与 $g$ 的最小值是一回事。看到”参数的下界恰好是某个 $-\frac12$ 倍的最值”，就说明命题人是从 $g$ 的最小值反推条件。
零点在区间内部，必须分段： $f(1)=0$ 把 $(0,+\infty)$ 分成两段，故要分别说明 $f$ 在两段上的符号。因为 $(x-1)$ 也在这两段上变号，两段同号即得乘积非负。

例 2.84 高数十分讲，小图可以画图看面积直接秒，大题如何处理呢？

处理含定积分的不等式，通用做法是把定积分的上限换成变量 $x$ ，构造变上限积分：待证式中的常数端点不再固定， $F'$ 中就不会再出现未知的积分号，只剩下 $f$ 与 $f'$ ，可以用单调性判断。

令

F(x)=\frac12[f(a)+f(x)](x-a)-\int_a^x f(t)\,dt,\quad

则

F'(x)=\frac12f'(x)(x-a)+\frac12[f(a)+f(x)]-f(x)

=\frac12f'(x)(x-a)+\frac12f(a)-\frac12f(x).

由拉格朗日中值定理，存在 $\eta\in(a,x)$ ，使得

f(x)-f(a)=f'(\eta)(x-a),\quad

所以

F'(x)=\frac12f'(x)(x-a)-\frac12f'(\eta)(x-a) =\frac12[f'(x)-f'(\eta)](x-a)>0\quad(x>a).

其中 $\eta\in(a,x)$ （见图11-2）。所以 $F(x)$ 严格单调增加，故 $F(b)>F(a)=0$ ，即

\frac12[f(a)+f(b)](b-a)>\int_a^b f(x)\,dx.

判断依据（为什么把上限换成 $x$ ）： $f(x)>g(x)$ 在 $[a,b]$ 上恒成立，等价于 $h(x)=\int_a^xf(t)\,\mathrm dt-\int_a^xg(t)\,\mathrm dt>0$ ；求导后积分号消失，问题降为比较 $f$ 与 $g$ 。这里 $g$ 就是待证式右端所对应的函数（本题中右端要自己写成关于 $x$ 的表达式）。
使用条件：① $f$ 在 $[a,b]$ 上连续（保证 $F$ 可导）；② 待证不等式在 $x=a$ 处取等号（否则 $F(a)\ne0$ ，单调性给不出结论）——这决定了把哪一端（上限还是下限）换成变量；③ 换成变量后 $F'$ 的符号可判断。
注意点：本题的真正动力是 $f''(x)>0$ ——它使 $f'$ 严格单增，从而 $x>\eta$ 时 $f'(x)>f'(\eta)$ 。题设中的 $f'(x)>0$ 并未参与推理，它只是保证曲线单调上升、便于画图判断面积大小（小图的面积比较与上面的大题做法是同一件事的两种呈现）。
画图结论与代数结论的对应： $f''>0$ 时曲线在弦下方，于是”端点均值 $\times$ 区间长”（弦下方的梯形面积）严格大于曲边梯形面积，这与代数证明的结论一致；图形直观只能用于选择填空题，解答题必须落回上面这四步。
乘积前的系数配平： $\frac12[f(a)+f(x)]$ 是梯形面积公式（上底 $f(a)$ 、下底 $f(x)$ 、高 $x-a$ 再乘 $\frac12$ ），先写出几何形式再求导，比直接猜辅助函数更稳。

易错点

放缩方向与目标相反：对分母、对被减项的放缩最容易反向（见”方向配平”三条）。
把端点值当最值： $f(a)\le f(x)\le f(b)$ 只在 $f$ 单调时成立；一般情形必须用最值。
等号位置不检查：命题说" $\ge$ "还是" $>$ "，取决于等号点是否落在允许的范围里；用错一个界就会把" $>$ "证成" $\ge$ "。
用偶性只证一半，却不写验证：偶性必须先用 $f(-x)=f(x)$ 确认，不能凭”看起来对称”直接使用。
含参不等式忘记分离参数：参数的下界/上界通常恰好对应某个辅助函数的最值，先算出最值再看题设给的条件，比直接带着参数求导快得多。
混淆 $f'$ 与 $f''$ 的作用： $f'$ 的符号管单调（比较函数值）， $f''$ 的符号管凹凸（比较函数值与切线的位置）。用错阶数会导致”结论方向对但拿不到严格不等号”。
$\ln$ 的定义域：所有含 $\ln(\square)$ 的放缩都要求 $\square>0$ （对 $\ln(1+x)$ 就是 $x>-1$ ），在边界 $x=-1$ 附近不能直接把 $\ln(1+x)$ 与一次式比较。
零点在区间内部时忘记分段：如例 2.83， $f(1)=0$ 必须配合区间划分才能定符号。

我的总结

不等式证明先分清两条主线：能化成同一个函数的两次取值就走移项作差（精确），不能才考虑放缩。
放缩的界全部来自三类来源（单调性 / 凸性 / 余项定号），每用一个界都要能说出它的成立理由与等号位置；说不出来就说明这个界不该用。
判断”缩放过头”的三条自检：等号位置是否一致、残余项能否整体定号、是否被迫引入题设没有的条件。三条里有任意一条不通过，先想提阶，再想分段，最后才考虑换路线。
移项作差的关键是找零点：含 $\ln$ 取 $\square=1$ 、含 $e$ 取 $\square=0$ ，目的是让 $F$ 在某点有可算的值；零点在区间内部时要分段。
见到定积分的不等式就构造变上限积分，把上限换成 $x$ ；前提是 $F(a)=0$ 能成立（不等式在 $x=a$ 处取等），并保证 $F'$ 的符号可判断。
偶函数、分母恒正、只处理分子这类简化，都是”减少讨论范围”的操作，用之前必须验证前提（ $f(-x)=f(x)$ 、分母不变号、区间不跨越零点）。

参考资料

考研数学历年真题（2012 数一二三、2018 数二随题标注）
常见考研数学教材与辅导资料
本人课程学习笔记；其中”移项作差找零点”的三步顺序、“见 $\ln$ 令 $\square=1$ 、见 $e^\square$ 令 $\square=0$ “的取点规则、“构造变上限积分把 $b$ 写成 $x$ “的提法参考自某考研数学课程讲义；例 2.84 出自该讲义的高数部分（小图用面积比较、大题用变上限积分）。

ギターと孤独と蒼い惑星

2.9 不等式证明

2.9 不等式证明

核心结论：两条主线与选择判据

1. 常见的放缩手法

(1) 常用基本不等式

(2) 绝对值不等式

(3) 泰勒放缩

(4) 几何放缩

(5) 积分估值与夹逼放缩

(6) 利用微分中值定理中的 $\xi$ 放缩

(7) 利用数列递推与单调性放缩

放缩的成立依据：三类来源

什么时候只能用某一种：工具的适用边界

缩放过头的判断：三条自检

2. 不等式证明通法：移项作差找零点

典型例题

例 2.82 2012 数一二三真题，别忘了利用奇偶性！

例 2.83 2018 数二真题，只处理式子的某一部分即可

例 2.84 高数十分讲，小图可以画图看面积直接秒，大题如何处理呢？

易错点

我的总结

参考资料

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2.9 不等式证明

核心结论：两条主线与选择判据

1. 常见的放缩手法

(1) 常用基本不等式

(2) 绝对值不等式

(3) 泰勒放缩

(4) 几何放缩

(5) 积分估值与夹逼放缩

(6) 利用微分中值定理中的 ξ\xiξ 放缩

(7) 利用数列递推与单调性放缩

放缩的成立依据：三类来源

什么时候只能用某一种：工具的适用边界

缩放过头的判断：三条自检

2. 不等式证明通法：移项作差找零点

典型例题

例 2.82 2012 数一二三真题，别忘了利用奇偶性！

例 2.83 2018 数二真题，只处理式子的某一部分即可

例 2.84 高数十分讲，小图可以画图看面积直接秒，大题如何处理呢？

易错点

我的总结

参考资料

(6) 利用微分中值定理中的 $\xi$ 放缩