2.11 曲率和曲率圆（数三不要求）

上一节：2.10 二阶导专项——不只是泰勒公式！ · 总目录 · 笔记整理索引 · 下一节：2.12 导数的物理应用（数三不要求）

2.11.1 曲率和曲率半径

曲率是”曲线弯曲程度”的定量刻画：把 $\Delta s$ 取成曲线上的一小段弧长、 $\Delta\alpha$ 取成切线倾角在这段上的改变量，则 $\left|\dfrac{\Delta\alpha}{\Delta s}\right|$ 就是”平均每单位弧长转过的角度”。让 $\Delta s\to0$ 取极限，得到的量只与曲线在该点附近的形状有关，与参数化的快慢无关——这就是曲率的定义。本页内容分三块：曲率与曲率半径的公式（含公式的来源）、曲率圆的作法、以及四类真题考法。

核心结论

原理与推导

1 曲率公式是怎么来的

为什么用”切线倾角对弧长的变化率”：弯曲程度只取决于曲线的几何形状。弧长 $s$ 是内蕴参数，切线倾角 $\alpha$ 的变化在弧长上的密度 $\left|\dfrac{\mathrm d\alpha}{\mathrm ds}\right|$ 是几何量，与曲线用什么参数表示无关。
直线与圆的验证：直线切线倾角不变， $\mathrm d\alpha=0$ ，故 $K=0$ ；半径为 $r$ 的圆，转过的角度与弧长满足 $\Delta\alpha=\dfrac{\Delta s}{r}$ ，故 $K=\dfrac1r$ ——与”越小的圆弯得越厉害”的直观一致。
直角坐标公式：由 $y'=\tan\alpha$ 得 $\alpha=\arctan y'$ ，于是 $\mathrm d\alpha=\frac{y''}{1+y'^2}\,\mathrm dx;\quad$ 又弧微分 $\mathrm ds=\sqrt{1+y'^2}\,\mathrm dx$ ，代入定义即得 $K=\left|\frac{\mathrm d\alpha}{\mathrm ds}\right|=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^{\frac32}}.$
参数方程公式：由 $\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\dfrac{y'}{x'}$ （对 $t$ 求导）得 $\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}=\frac{y''x'-y'x''}{x'^3},\quad \qquad \mathrm ds=\sqrt{x'^2+y'^2}\,\mathrm dt,\quad$ 而 $1+\left(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)^2=\dfrac{x'^2+y'^2}{x'^2}$ 。把它们代入直角坐标公式， $|x'|^3$ 恰好约掉，得到 $K=\frac{|y''x'-y'x''|}{(x'^2+y'^2)^{\frac32}}.$ 注意：约掉 $|x'|^3$ 的前提是 $x'\ne0$ ，即参数化在该点没有竖直切线；若 $x'=0$ （如 $y^2=x$ 在原点），直角坐标公式失效，必须回到参数方程公式。

2 求曲率圆方程的四步流程

求该点的 $y',y''$ （参数方程则先求 $x',y',x'',y''$ ，再算 $\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}$ 与 $\dfrac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}$ ）；
由公式算出 $K$ ，取 $R=\dfrac1K$ ；
定法线方向：切线斜率为 $y'$ 时法线斜率为 $-\dfrac1{y'}$ （ $y'=0$ 时为竖直直线），再按凹侧（ $y''>0$ 时圆心在曲线上方， $y''<0$ 时在下方）选定方向；
在法线上距切点 $R$ 处取曲率中心 $(x_0,y_0)$ ，写出 $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$ 。

题型识别与判据

题面特征	处理方式	判据要点
求曲率（半径）的最大/最小值	把 $R(x)$ 写成 $x$ 的函数，求驻点，比较驻点与区间端点	$R'=0$ 的根可能多个；区间开闭影响端点比较
比较两条曲线的弯曲程度	同一点处曲率大者弯曲更厉害，结合公共切线判断位置关系	必须先确认两曲线在该点的切线相同，才能比较”谁离切线更近”
判断”相切且曲率相等”的条件强弱	用泰勒公式把极限条件翻译成 $f(a)=g(a)$ 、 $f'(a)=g'(a)$ 、 $f''(a)=g''(a)$	曲率相等只给出 $
由曲率圆（或”在点 $P$ 处的曲率圆”）反推函数性质	曲率圆提供该点的 $y'$ 与 $y''$ ，再配合 $f''$ 不变号等条件判断单调性、零点、极值	曲率圆只提供一个点的局部信息，全局结论要靠单调性
求曲率圆方程	按上面四步，注意参数方程与竖直切线	$x'=0$ 时必须用参数方程公式

典型例题

例 2.93

例 2.94 2016 数二真题，曲率越大，弯曲程度越大！

第一步：公共切线把三条曲线放在同一个参照系里。两条曲线在 $(x_0,y_0)$ 处有公共切线，说明 $f_1(x_0)=f_2(x_0)=g(x_0)$ 且 $f_1'(x_0)=f_2'(x_0)=g'(x_0)$ 。比较 $f_i$ 与 $g$ 的大小，只需看各自与切线偏离的速度。
第二步：偏离速度由二阶导决定。在切点处做泰勒展开： $f_i(x)=g(x)+\dfrac{f_i''(x_0)}{2}(x-x_0)^2+o\bigl((x-x_0)^2\bigr)$ 。 $f_i''(x_0)<0$ 说明两条曲线都在切线下方（ $f_i\le g$ ）。
第三步：曲率大小对应偏离的快慢。在切点处 $y'$ 相同，由 $K=\dfrac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}$ 可知 $K$ 大等价于 $|y''|$ 大；而偏离量约等于 $\dfrac{|y''(x_0)|}{2}(x-x_0)^2$ ，故 $|f_1''|>|f_2''|$ 时 $f_1$ 偏离切线更多，即 $f_1\le f_2$ 。
注意点：必须先在切点处统一切线才能比较偏离；若两条曲线在该点的切线不同，曲率大小不能直接给出位置关系。

例 2.95 2019 数二真题

由 $f(x)$ 、 $g(x)$ 在 $x=a$ 处的二阶泰勒公式可得

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}2(x-a)^2+o((x-a)^2),\quad

g(x)=g(a)+g'(a)(x-a)+\frac{g''(a)}2(x-a)^2+o((x-a)^2).

代入

\lim_{x\to a}\frac{f(x)-g(x)}{(x-a)^2}

可得

\begin{aligned} \lim_{x\to a}\frac{f(x)-g(x)}{(x-a)^2} =\lim_{x\to a} \frac{[f(a)-g(a)]+[f'(a)-g'(a)](x-a) +\frac{f''(a)-g''(a)}2(x-a)^2+o((x-a)^2)} {(x-a)^2}. \end{aligned}

由上式可知，极限为0当且仅当

f(a)=g(a),\quad \qquad f'(a)=g'(a),\quad \qquad f''(a)=g''(a).

曲线 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 在 $x=a$ 对应的点处相切当且仅当

f(a)=g(a),\quad \qquad f'(a)=g'(a).

又由曲率计算公式以及 $f''(a)=g''(a)$ 可得两条曲线在 $x=a$ 对应的点处曲率相等。因此，极限为0是曲线相切且曲率相等的充分条件。

注意到两曲线在 $x=a$ 对应的点处曲率相等只能说明

|f''(a)|=|g''(a)|,\quad

但并不能推出 $f''(a)=g''(a)$ ，故极限为0不是必要条件。

例如：取

f(x)=1-\sqrt{1-x^2},\qquad g(x)=-1+\sqrt{1-x^2},\quad

$y=f(x)$ 、 $y=g(x)$ 这两条曲线均为半径为1的半圆弧（圆弧上各点的曲率半径均为1）。于是，各点处曲率相等，均等于1。如图所示，这两条曲线在原点处相切，但 $y=f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上是凹曲线， $y=g(x)$ 在 $[-1,1]$ 上是凸曲线， $f''(0)\ne g''(0)$ 。

充分性的依据：分母是 $(x-a)^2$ （比一阶更高阶），因此极限为 $0$ 必须要求比 $(x-a)^2$ 更低阶的项全部为零，即 $f(a)=g(a)$ 、 $f'(a)=g'(a)$ 、 $f''(a)=g''(a)$ 同时成立。前两条给出相切，第三条给出同样的 $y'$ 与同样的 $y''$ ，代入曲率公式得曲率相等。
必要性的依据：曲率只依赖 $y'$ 与 $\boldsymbol{|y''|}$ ，而绝对值抹掉了符号信息。所以”曲率相等”只能给出 $|f''(a)|=|g''(a)|$ ；两个二阶导反号时曲率仍相等，但”极限 $=0$ “不成立，故不是必要条件。
反例为什么有效：两条半径相同的半圆弧处处曲率都等于 $1$ ，在原点既相切又曲率相等，但一条凹、一条凸， $f''(0)=1\ne g''(0)=-1$ 。这个反例说明不能把”曲率相等”加强为”二阶导相等”。
条件里的”二阶导在 $x=a$ 处连续”：它的作用是保证两个函数的二阶泰勒展开可以用 $f''(a)$ 、 $g''(a)$ 写成带 $o$ 余项的形式（否则余项只能写成 $f''(\xi)$ 的形式，无法把二阶导的系数直接提出来比较）。这是本题能在 $x=a$ 处展开的前提。

2.11.2 曲率圆

曲线 $y=f(x)$ 在某点的曲率圆与曲线在该点具有相同的切线和曲率，并且在该点附近具有相同的凹凸性。在实际问题中，常用曲率圆在点 $M$ 附近的一段圆弧来近似代替曲线弧，使问题简化。由此出发，我们可以讨论函数 $f(x)$ 的性质。

例 2.96 2009 数二真题

曲线 $x^2+y^2=2$ 在点 $(1,1)$ 附近可作为曲线 $y=f(x)$ 的近似曲线。由

x^2+y^2=2

两边对 $x$ 求导，得

2x+2yy'=0.

代入 $x=1$ ， $y=1$ ，得

y'(1)=-1,\quad

即 $f'(1)=-1$ 。再求导：

2+2(y')^2+2yy''=0.

代入 $x=1$ ， $y=1$ ， $y'=-1$ ，得

y''(1)=-2,\quad

即 $f''(1)=-2$ 。

因 $f''(x)$ 不变号，故 $f''(x)<0$ ，从而 $f'(x)$ 单调减少。对 $x\in(1,2)$ ，有 $f'(x)<f'(1)=-1<0$ ，所以 $f(x)$ 无极值点。

又 $f(1)=1$ ，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi\in(1,2)$ ，使

f(2)-f(1)=f'(\xi)(2-1)<-1,\quad

即 $f(2)<0$ 。由于 $f(1)>0$ ，且 $f(x)$ 连续，所以 $f(x)$ 在 $(1,2)$ 内有零点。应选B。

第一步（取局部信息）：曲率圆只是”近似曲线”，因此只能从它身上取 $y'(1)$ 与 $y''(1)$ 这两个局部量，不能把整个圆当作函数。这里用的是隐函数求导（把圆方程当隐函数，两次求导）。
第二步（推全局结论）：由 $f''(1)=-2<0$ 加上” $f''$ 不变号”，得到 $f''<0$ 在整个区间成立，于是 $f'$ 严格单减（路线②：二阶导定一阶导的单调性）。注意这一步的判据是”不变号”这个题设，若没有它， $f''(1)<0$ 只能保证 $1$ 附近的情况。
无极值点的依据： $f'(x)<f'(1)=-1<0$ 说明 $f'$ 在 $(1,2)$ 上不变号，而极值点必须是驻点或不可导点，故无极值点。
有零点的依据：用拉格朗日定理把 $f(2)-f(1)$ 估成 $<-1$ ，得到 $f(2)<0$ ；再由 $f(1)=1>0$ 与连续性用零点定理。注意：这里只用到 $f'< -1$ （更弱的界就够），因此 $f(2)<0$ 是必然的。

例 2.97 李永乐复习全书

确定曲率圆方程需要圆心坐标和半径。

\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt} =\frac{2+\ln(1+t^2)}{1/(1+t)} =(1+t)\bigl[2+\ln(1+t^2)\bigr],\quad

所以 $t=0$ 时

y'=2.

又

y''=\frac{d(y')/dt}{dx/dt} =\frac{2+\ln(1+t^2)+(1+t)\dfrac{2t}{1+t^2}}{1/(1+t)},\quad

所以 $t=0$ 时

y''=2.

因此

K=\frac2{(1+2^2)^{\frac32}}=\frac2{5\sqrt5},\quad \qquad R=\frac1K=\frac{5\sqrt5}{2}.

切线斜率为2，法线斜率为 $-\dfrac12$ 。设曲率中心为 $(x_0,y_0)$ ，则

y_0=-\frac12x_0,\quad

且曲率中心到 $(0,0)$ 的距离为 $R$ 。在曲线的凹侧取曲率中心

C=\left(-5,\frac52\right).

所以曲率圆为

\boxed{(x+5)^2+\left(y-\frac52\right)^2=\frac{125}{4}}.

求导顺序：参数方程给出的是 $t$ 的函数，必须用 $\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\dfrac{\mathrm dy/\mathrm dt}{\mathrm dx/\mathrm dt}$ 与 $\dfrac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}=\dfrac{\mathrm d(y')/\mathrm dt}{\mathrm dx/\mathrm dt}$ 。注意第二个式子分子是对 $t$ 求导，不能对 $x$ 求导（本题 $y$ 中含变限积分，先对 $t$ 求导正好把积分号去掉，这是它被设计成参数方程的原因）。
圆心的确定：切线斜率 $2$ ⇒ 法线斜率 $-\dfrac12$ ⇒ 圆心在直线 $y=-\dfrac12x$ 上，且到切点距离为 $R=\dfrac{5\sqrt5}{2}$ 。设 $(x_0,y_0)$ ，由 $x_0^2+y_0^2=R^2$ 与 $y_0=-\dfrac12x_0$ 解得两组解，取凹侧的那一组： $y''=2>0$ 说明曲线在切线上方，圆心也应在切线上方，故取 $x_0<0$ （此时 $y_0>0$ ）。
等价的检验方法：圆心坐标也可以按”切点沿法线方向移动 $R$ “计算。判据： $y''>0$ （曲线凹向上）时，圆心在切点的上方； $y''<0$ 时在下方。

例 2.98 2024 数二真题

此处曲线在原点有竖直切线（ $y^2=x$ 在原点附近是两支，且 $\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\to\infty$ ），直角坐标形式的曲率公式不适用，改用参数方程。

先写成

x=y^2,\quad

令 $x=t^2$ ， $y=t$ ，则 $(0,0)$ 对应 $t=0$ ，有

x'=2t,\qquad y'=1,\qquad x''=2,\qquad y''=0.

于是

K=\frac{|y''x'-y'x''|}{(x'^2+y'^2)^{\frac32}} =\frac2{(4t^2+1)^{\frac32}}.

代入 $t=0$ ，得 $K=2$ ，所以

R=\frac1K=\frac12.

曲率中心在 $x$ 轴上，且

\left(x-\frac12\right)^2+y^2=\frac14.

因而曲率圆方程为

\boxed{\left(x-\frac12\right)^2+y^2=\frac14}.

换参数方程的判据：直角坐标公式 $K=\dfrac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}$ 要求曲线能写成 $y=y(x)$ 且 $y'$ 有限。 $y^2=x$ 在原点处 $y'$ 不存在（切线竖直），所以必须用参数方程公式。一般判据：曲线上出现竖直切线的点，用参数方程；其余情形直角坐标或参数方程都可以。
参数化怎么取： $y^2=x$ 的自然参数化是 $x=t^2,\ y=t$ （即把 $x$ 与 $y$ 的角色互换，使 $x$ 成为 $t$ 的二次函数、 $y=t$ ，此时 $x'=2t$ 在 $t=0$ 处为零，恰好对应竖直切线，公式仍然可用）。也可以用 $x=\sin^2u,\ y=\sin u$ 等，只要覆盖原点邻域即可。
曲率中心为什么在 $x$ 轴上：在 $t=0$ 处切线竖直（因为 $\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=y'/x'\to\infty$ ），法线水平，故圆心在切点所在的水线上，即 $y=0$ ；又 $R=\dfrac12$ ，圆心在曲线凹侧（抛物线 $x=y^2$ 开口向右，凹侧在 $x>0$ 一侧），所以取 $\left(\dfrac12,0\right)$ 。
与例 2.97 的对照：两题的差别只在参数化对象不同（例 2.97 给的是自然的参数方程，本题需要自己造一个），流程完全一致——求 $y',y''$ → 算 $K,R$ → 定法线与凹侧 → 写圆方程。

易错点

公式记错：曲率公式分母是 $(1+y'^2)^{3/2}$ ，不是 $1+y'^2$ ；分子要加绝对值。
参数方程公式用错求导对象：分子 $|y''x'-y'x''|$ 中的导数都是对参数 $t$ 求的，不能对 $x$ 求。
曲率中心取错侧：法线上有两个候选点，必须按凹侧（ $y''$ 的符号）选择；取错侧得到的圆在切点附近与曲线反向弯曲。
把”曲率相等”当成”二阶导相等”：曲率相等只给出 $|f''|$ 相等（见例 2.95 的反例）。
忘记竖直切线的情形： $y'$ 不存在或无穷时不能用直角坐标公式（例 2.98）。
$K=0$ 时求曲率半径：直线 $K=0$ ， $R=+\infty$ ，不存在曲率圆，不能套公式。
把曲率圆的信息用到远处：曲率圆只在切点附近近似曲线，给不出区间上的全局信息。
曲率半径的最小值漏比较端点： $R(x)$ 的定义域是开区间且两端趋于无穷时（如例 2.93），才能只靠内点驻点定最小值；一般情形必须比较驻点与端点。
数三不考：本节内容数三不要求（曲率圆）、曲率公式数三也不在考纲内，复习时按目标卷种取舍。

我的总结

曲率的本质是”切线倾角对弧长的变化率”，所以它是几何量，与曲线用什么参数表示无关； $K=1/r$ 是唯一的”标准件”，其余公式都是把它翻译成坐标形式。
直角坐标公式我是按 $y'=\tan\alpha\Rightarrow\mathrm d\alpha=\dfrac{y''}{1+y'^2}\mathrm dx$ 、 $\mathrm ds=\sqrt{1+y'^2}\mathrm dx$ 推出来的，参数方程公式则是代入直角坐标公式后约掉 $|x'|^3$ ——这样推一遍，两个公式就不容易记混了。
求曲率圆的固定四步：求导取 $y',y''$ → 算 $K,R$ → 定法线方向并按凹侧选圆心 → 写圆方程。第二步之后的所有计算都只是几何。
曲率圆的用途是”取出一个点的 $y'$ 与 $y''$ “（例 2.96），它的价值在提供符号信息，不在形状本身。
做选择填空时，如果题面只比较”弯曲程度”，我应当立刻想到” $y'$ 相同时看 $|y''|$ “，而不是去算曲率的具体数值。

参考资料

考研数学历年真题（2009 数二、2016 数二、2019 数二、2024 数二，随题标注）
李永乐复习全书（例 2.97）
常见考研数学教材与辅导资料
本人课程学习笔记；其中”曲率圆按凹侧定位""参数方程公式由直角坐标公式约掉 $|x'|^3$ 得到”的整理方式参考自某考研数学课程讲义。

ギターと孤独と蒼い惑星

2.11 曲率和曲率圆（数三不要求）

2.11 曲率和曲率圆（数三不要求）

2.11.1 曲率和曲率半径

核心结论

原理与推导

1 曲率公式是怎么来的

2 求曲率圆方程的四步流程

题型识别与判据

典型例题

例 2.93

例 2.94 2016 数二真题，曲率越大，弯曲程度越大！

例 2.95 2019 数二真题

2.11.2 曲率圆

例 2.96 2009 数二真题

例 2.97 李永乐复习全书

例 2.98 2024 数二真题

易错点

我的总结

参考资料

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