2.12 导数的物理应用（数三不要求）

上一节：2.11 曲率和曲率圆（数三不要求） · 总目录 · 笔记整理索引

相关变化率（related rates）这类题的特点是：题面给出几个量各自的瞬时变化率，要求另一个量的变化率，但从头到尾不需要求出任何一个量的具体表达式。它的全部难度集中在两件事上——把几何关系写成等式，以及对时间求导时不要漏掉内层导数。本页按”概念 → 方法与判据 → 三类真题”整理。

核心结论

原理与推导：三步流程

flowchart LR A[“第 1 步：把文字翻译成导数符号
（增加记为导数为正；减少记为导数为负）”] —> B[“第 2 步：写出不显含 t 的几何/物理约束等式
F(x, y, z) = 0”] B —> C[“第 3 步：两端对 t 链式求导
再代入该时刻的瞬时值”]

> 1. **第 1 步：符号化翻译**。把题干中每一个"变化率/速率"写成对 $t$ 的导数，并按增减确定符号；同时把所求的量也写成导数形式。**判据**：题干说"某量的速率"就是 $\dfrac{\mathrm d(\text{该量})}{\mathrm dt}$，不要写成对 $x$ 或对 $r$ 的导数。
> 2. **第 2 步：建立静态约束**。根据题意画出示意图，找出各变量之间的几何关系（勾股定理、相似比、面积体积公式、距离公式等），写成**不含 $t$** 的等式 $F(x,y,z)=0$。**判据**：等式必须把带求导的变量都包含进去；若某变量只出现在等式一侧，它对时间的变化就不会影响结论（可据此检查约束是否找对）。
> 3. **第 3 步：两端对 $t$ 求导并代值**。把每个变量都当作 $t$ 的复合函数，用链式法则与乘积法则求导（**不能漏掉内层导数**），再把该时刻的瞬时几何量与已知变化率代入，解出目标。
>
> **成立条件（三条缺一不可）**：
> - 各变量在所讨论的时刻附近可导（题面一般直接给出"以某速率变化"）；
> - 约束关系在**该时刻附近的一个区间上**都成立（不能只在瞬时成立，否则不能求导）；
> - 要求的量确实出现在约束等式的求导结果里。

## 题型识别与判据

> 💡 **【SUMMARY】 常见场景速查表**
>
> | 题目场景 | 几何约束等式（搭桥） | 对时间 $t$ 链式求导的关系式 | 典型例题 |
> | :--- | :--- | :--- | :--- |
> | **矩形对角线** | $s^2 = l^2 + w^2$ | $s\dfrac{\mathrm ds}{\mathrm dt} = l\dfrac{\mathrm dl}{\mathrm dt} + w\dfrac{\mathrm dw}{\mathrm dt}$ | 例 2.99 |
> | **曲线上动点与定点的距离** | $l^2 = x^2 + y^2 = x^2 + [f(x)]^2$ | $l\dfrac{\mathrm dl}{\mathrm dt} = \big[x + f(x)f'(x)\big]\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt}$ | 例 2.100 |
> | **立体图形体积/表面积** | $V = \pi r^2 h,\ S = 2\pi rh + 2\pi r^2$ | $\dfrac{\mathrm dV}{\mathrm dt} = 2\pi rh\dfrac{\mathrm dr}{\mathrm dt} + \pi r^2\dfrac{\mathrm dh}{\mathrm dt}$ | 例 2.101 |
> | **梯子沿墙下滑** | $x^2 + y^2 = L^2$（梯长 $L$ 恒定） | $x\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt} + y\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dt} = 0$ | 经典模型 |

> 💡 **【避坑警示】 判断依据｜三个必须检查的判据**
>
> - **判断依据 1（别漏内层导数）**：约束等式中每个变量都是 $t$ 的函数，凡是出现该变量的地方求导都要乘上它自己对 $t$ 的导数。例如 $V=\pi r^2h$ 求导后有两项，$2\pi rh\dfrac{\mathrm dr}{\mathrm dt}$ 与 $\pi r^2\dfrac{\mathrm dh}{\mathrm dt}$，**少写一项是最常见的丢分点**。
> - **判断依据 2（先求导、后代值）**：静止的数值（如 $l=12,\ w=5,\ r=10$）只能在求导**之后**代入。原因见上文：约束等式一旦变成常数关系式，求导恒为零。
> - **判断依据 3（符号与单位）**：减少的量其导数必须取负号（"以 $3\ \mathrm{cm/s}$ 缩小"⇒ $\dfrac{\mathrm dh}{\mathrm dt}=-3$）；面积、体积的结果单位分别是 $\mathrm{cm^2/s}$、$\mathrm{cm^3/s}$，与题设单位核对可以及时发现量纲错误。

## 典型例题

## 例 2.99　2010 数二真题

> 💡 **【PROBLEM】 例 2.99　2010 数二真题**
>
> 已知一个长方形的长 $l$ 以 $2\ \mathrm{cm/s}$ 的速率增加，宽 $w$ 以 $3\ \mathrm{cm/s}$ 的速率增加，则当 $l=12\ \mathrm{cm}$，$w=5\ \mathrm{cm}$ 时，它的对角线增加的速率为 $\underline{\hspace{3em}}$。

> 💡 **【结论】 答案**
>
> 应填 **$3\ \mathrm{cm/s}$**。

> 💡 **【ANALYSIS】 分析**
>
> 本题主要考查链式法则的应用。解题关键是建立对角线与长、宽之间的函数关系。

> 💡 **【SOLUTION】 解**
>
> 设对角线长为 $s(t)$，由勾股定理：
> $$
> s^2(t)=l^2(t)+w^2(t).
> $$
> 等式两端同时关于时间 $t$ 链式求导，得：
> $$
> 2s\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}=2l\frac{\mathrm dl}{\mathrm dt}+2w\frac{\mathrm dw}{\mathrm dt} \implies s\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}=l\frac{\mathrm dl}{\mathrm dt}+w\frac{\mathrm dw}{\mathrm dt}.\tag{1}
> $$
> 当 $l=12\ \mathrm{cm}$，$w=5\ \mathrm{cm}$ 时，瞬时对角线长度 $s=\sqrt{12^2+5^2}\ \mathrm{cm}=13\ \mathrm{cm}$。
> 将 $\dfrac{\mathrm dl}{\mathrm dt}=2,\ \dfrac{\mathrm dw}{\mathrm dt}=3$ 代入（1）式得：
> $$
> 13\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}=12\times2+5\times3 = 39.
> $$
> 因此
> $$
> \frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}=3\ \mathrm{cm/s}.
> $$

> 💡 **【重点关注】 判断依据｜三个量一起变的情形**
>
> - **判断依据**：题目给出长、宽**各自**的速率（$l,w$ 都是 $t$ 的函数），因此约束等式 $s^2=l^2+w^2$ 求导时右边有两项，正是乘积/链式法则的体现；只对一项求导会得到 $13\dfrac{\mathrm ds}{\mathrm dt}=24$，答案错误。
> - **瞬时值的取法**：$s=13$ 必须用**该时刻**的 $l,w$ 算出来（$s$ 也在随时间变化，不能取其他时刻的值）。这就是"先求导、后代值"的判据：等式（1）对所有时刻成立，只在最后一步代 $t$ 对应的数值。
> - **结果为正的含义**：$\dfrac{\mathrm ds}{\mathrm dt}=3>0$ 说明对角线在不断变长，与"长、宽都在增加"一致，可作为合理性检查。

## 例 2.100　2016 数二真题

> 💡 **【PROBLEM】 例 2.100　2016 数二真题**
>
> 已知动点 $P$ 在曲线 $y=x^3$ 上运动，记坐标原点与点 $P$ 间的距离为 $l$。若点 $P$ 的横坐标对时间的变化率为常数 $v_0$，则当点 $P$ 运动到点 $(1,1)$ 时，$l$ 对时间的变化率为 $\underline{\hspace{3em}}$。

> 💡 **【结论】 答案**
>
> 应填 **$2\sqrt2v_0$**。

> 💡 **【ANALYSIS】 分析**
>
> 本题主要考查导数与变化率的概念。
>
> 距离 $l$ 是关于坐标 $x$ 的函数，而 $x$ 随时间变化（即 $x$ 是关于时间 $t$ 的函数），从而 $l$ 也是关于 $t$ 的复合函数。因此可用链式法则直接计算。

> 💡 **【SOLUTION】 解**
>
> 设点 $P$ 的坐标为 $(x,x^3)$，由两点间距离公式：
> $$
> l=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+x^6}.
> $$
> 点 $P$ 的横坐标对时间的变化率为
> $$
> \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=v_0.
> $$
> 记 $l$ 对时间的变化率为 $\dfrac{\mathrm dl}{\mathrm dt}$。由链式求导法则得：
> $$
> \frac{\mathrm dl}{\mathrm dt}
> =\frac{\mathrm dl}{\mathrm dx}\cdot\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}
> =\frac{2x+6x^5}{2\sqrt{x^2+x^6}}\cdot v_0
> =\frac{x+3x^5}{\sqrt{x^2+x^6}}\cdot v_0.\tag{1}
> $$
> 当点 $P$ 运动到点 $(1,1)$ 时，对应 $x=1$。代入（1）式得：
> $$
> \left.\frac{\mathrm dl}{\mathrm dt}\right|_{x=1}
> =\frac{1+3}{\sqrt{1+1}}v_0
> =\frac4{\sqrt2}v_0
> =2\sqrt2v_0.
> $$

> 💡 **【重点关注】 判断依据｜本题与例 2.99 的差别**
>
> - **判断依据**：这里只有一个自变量在变（$x$ 随时间变，$y$ 由约束 $y=x^3$ 确定），因此约束等式只需写成 $l=l(x)$，再套一次链式法则 $\dfrac{\mathrm dl}{\mathrm dt}=\dfrac{\mathrm dl}{\mathrm dx}\cdot\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt}$ 即可；不需要先写出 $l^2=x^2+x^6$ 再对 $t$ 求导（两种做法等价，直接对 $x$ 求导更省事）。
> - **用 $l^2$ 也可以**：$2l\dfrac{\mathrm dl}{\mathrm dt}=2x\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt}+6x^5\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt}$，代入 $x=1,\ l=\sqrt2$ 得 $2\sqrt2\dfrac{\mathrm dl}{\mathrm dt}=8v_0$，同样得到 $\dfrac{\mathrm dl}{\mathrm dt}=2\sqrt2v_0$。**判据**：约束中是否出现根号不影响做法，先求导再代值总成立。
> - **常数的处理**：$v_0$ 是常数（不随 $t$ 变），所以它作为固定因子保留在结果中，不需要再求导。

## 例 2.101　2021 数二真题

> 💡 **【PROBLEM】 例 2.101　2021 数二真题**
>
> 有一圆柱体，底面半径与高随时间变化的速度分别为 $2\ \mathrm{cm/s}$、$-3\ \mathrm{cm/s}$，当底面半径为 $10\ \mathrm{cm}$、高 $5\ \mathrm{cm}$ 时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速度分别为（　　）
>
> （A）$125\pi\ \mathrm{cm^3/s}$，$40\pi\ \mathrm{cm^2/s}$
>
> （B）$125\pi\ \mathrm{cm^3/s}$，$-40\pi\ \mathrm{cm^2/s}$
>
> （C）$-100\pi\ \mathrm{cm^3/s}$，$40\pi\ \mathrm{cm^2/s}$
>
> （D）$-100\pi\ \mathrm{cm^3/s}$，$-40\pi\ \mathrm{cm^2/s}$

> 💡 **【结论】 答案**
>
> 应选 **C**。

> 💡 **【SOLUTION】 解**
>
> 设圆柱体的底面半径为 $r(t)$，高为 $h(t)$，则：
> - 圆柱体的体积为：
>   $$
>   V(t)=\pi r^2(t)h(t),\quad 
>   $$
> - 圆柱体的全表面积为：
>   $$
>   S(t)=2\pi r(t)h(t)+2\pi r^2(t).
>   $$
> 
> 两边同时对时间 $t$ 链式求导（乘积求导法则）：
> $$
> \frac{\mathrm dV}{\mathrm dt}
> =2\pi r\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}\cdot h + \pi r^2\cdot\frac{\mathrm dh}{\mathrm dt}
> =2\pi rh\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}+\pi r^2\frac{\mathrm dh}{\mathrm dt},\quad 
> $$
> $$
> \frac{\mathrm dS}{\mathrm dt}
> =2\pi\left(\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}\cdot h + r\cdot\frac{\mathrm dh}{\mathrm dt}\right) + 4\pi r\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}
> =(2\pi h+4\pi r)\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}+2\pi r\frac{\mathrm dh}{\mathrm dt}.
> $$
> 
> 代入已知瞬时数据：$r=10\ \mathrm{cm}$，$h=5\ \mathrm{cm}$，$\dfrac{\mathrm dr}{\mathrm dt}=2\ \mathrm{cm/s}$，$\dfrac{\mathrm dh}{\mathrm dt}=-3\ \mathrm{cm/s}$：
> $$
> \begin{aligned}
> \frac{\mathrm dV}{\mathrm dt}
> &=2\pi\times10\times5\times2+\pi\times10^2\times(-3)\\
> &=200\pi-300\pi=-100\pi\ \mathrm{cm^3/s},\quad 
> \end{aligned}
> $$
> $$
> \begin{aligned}
> \frac{\mathrm dS}{\mathrm dt}
> &=(2\pi\times5+4\pi\times10)\times2+2\pi\times10\times(-3)\\
> &=50\pi\times2-60\pi\\
> &=100\pi-60\pi=40\pi\ \mathrm{cm^2/s}.
> \end{aligned}
> $$
> 
> 综上所述，应选 **C**。

> 💡 **【重点关注】 判断依据｜两个量同时变，且其中一个在减少**
>
> - **判断依据（两个变量都随 $t$ 变）**：$V$ 与 $S$ 都是 $r,h$ 的二元函数，而 $r,h$ 都随 $t$ 变，所以求导后每项都要各自带一个内层导数，一共得到两项。用微分形式记更不容易漏：$\mathrm dV=2\pi rh\,\mathrm dr+\pi r^2\,\mathrm dh$。
> - **负号的来源**："高以 $-3\ \mathrm{cm/s}$ 变化"说明高在**减小**，导数取 $-3$。本题中 $\dfrac{\mathrm dV}{\mathrm dt}=200\pi-300\pi<0$，原因是高度下降带来的体积损失（$300\pi$）超过了半径增大带来的体积增加（$200\pi$），符合量级判断。
> - **表面积为什么为正**：$\dfrac{\mathrm dS}{\mathrm dt}=100\pi-60\pi>0$，半径增大对侧面积与上下底面积的贡献（$100\pi$）大于高度下降的贡献（$60\pi$）。**判据**：结果符号应当能用"哪个变化更强"来解释，解释不通就说明某一项的系数或符号写错了。
> - **检查量纲**：$2\pi rh\dfrac{\mathrm dr}{\mathrm dt}$ 的量纲为 $\mathrm{cm}\cdot\mathrm{cm}\cdot\mathrm{cm/s}=\mathrm{cm^3/s}$，与 $\dfrac{\mathrm dV}{\mathrm dt}$ 一致，这种核对可以快速发现公式记错（例如把 $4\pi r$ 与 $2\pi rh$ 用反）。

## 易错点

- **先代值后求导**：把静止数值代入约束等式再求导，结果恒为 $0$。必须"先求导、后代值"。
- **漏乘内层导数**：$V=\pi r^2h$、$S=2\pi rh+2\pi r^2$ 求导都是两项，漏项是最常见的错误。
- **符号搞错**：减少的量必须取负号；把"速率"当正数代入会得到相反的结论。
- **混淆"对 $t$ 的导数"与"对 $x$ 的导数"**：题目的目标永远是 $\dfrac{\mathrm d(\cdot)}{\mathrm dt}$，中间环节才用 $\dfrac{\mathrm d(\cdot)}{\mathrm dx}$。
- **约束等式找错**：约束必须把所求量与已知变化率的量都包含进去；若某个已知量不在等式里，说明几何关系写漏了。
- **用错了时刻的几何量**：如例 2.99 中的 $s=13$ 必须由该时刻的 $l,w$ 算出；用其他时刻的值会得到错误的答案。
- **表面积的公式**：圆柱"全表面积"为 $2\pi rh+2\pi r^2$（侧面积 + 两个底面），题目若说"表面积"通常指全表面积，先确认是否包含底面。
- **数三不考**：相关变化率属数一、数二范围，数三不在考纲内。

## 我的总结

- 这类题我不需要求出任何量的函数表达式，只需三样东西：**约束等式、链式求导、该时刻的瞬时值**。所以验算时我不去重算函数，而是检查"约束里有没有漏掉变量"和"每一项有没有内层导数"。
- 恒等式 $\mathrm dV=2\pi rh\,\mathrm dr+\pi r^2\,\mathrm dh$ 这种写法比直接写导数更不容易漏项，我在草稿上习惯先写微分形式再除以 $\mathrm dt$。
- "先求导、后代值"是这类题唯一容易整题失分的地方，我把它当作硬性规则执行：约束等式写完之前不许代入任何数字。
- 结果的符号必须能用物理直觉解释（哪一项变强、哪一项变弱），解释不通就回去查系数。
- 单位核对是低成本的检查：体积变化率的量纲是长度 $^3$/时间，表面积是长度 $^2$/时间。

## 参考资料

- 考研数学历年真题（2010 数二、2016 数二、2021 数二，随题标注）
- 常见考研数学教材与辅导资料
- 本人课程学习笔记；其中"符号化翻译 → 几何搭桥 → 链式求导代值"的三步整理方式参考自某考研数学课程讲义。