双数列反例技巧与真题总结

一、双数列反例的构造技巧

1. 乘积问题：优先令某因子为 $0$

若题设涉及 $x_ny_n=0$ 或 $x_ny_n\to 0$，最省事的办法是令其中一个因子为 $0$。

例：取 $x_n=n,\ y_n=0$，则 $x_ny_n=0$，但 $x_n$ 可以无界甚至发散。

2. 双数列皆无界而乘积为 $0$：奇偶错位

最经典、最万能的反例——让两个数列「错开」：

$$x_n=\begin{cases}n,&n\text{ 为偶数},\\0,&n\text{ 为奇数},\end{cases} \qquad y_n=\begin{cases}0,&n\text{ 为偶数},\\n,&n\text{ 为奇数}.\end{cases}$$

于是 $x_ny_n\equiv 0$，但 $\{x_n\},\{y_n\}$ 都无界。

3. 和问题：取相反数

要让 $x_n+y_n$ 变得简单，就令 $y_n=-x_n$。

例：取 $x_n=n,\ y_n=-n$，则 $x_n+y_n=0$。

4. 差问题：取相同数列

要让 $x_n-y_n$ 变简单，就令 $y_n=x_n$。

例：取 $x_n=y_n=n$，则 $x_n-y_n=0$。

5. 乘积趋于 $\infty$，但两因子都不趋于 $\infty$：奇偶交替

$$x_n=\begin{cases}n,&n\text{ 为偶数},\\1,&n\text{ 为奇数},\end{cases} \qquad y_n=\begin{cases}1,&n\text{ 为偶数},\\n,&n\text{ 为奇数}.\end{cases}$$

则对任意 $n$ 都有 $x_ny_n=n\to\infty$；但 $x_n\not\to\infty$（奇数项恒为 $1$），同理 $y_n\not\to\infty$。

6. 数列与其倒数都想无界：$n$ 与 $\dfrac1n$ 交替

$$a_n=\begin{cases}n,&n\text{ 为偶数},\\[1mm]\dfrac1n,&n\text{ 为奇数}.\end{cases}$$

则 $a_n$ 无界，而

$$\frac1{a_n}=\begin{cases}\dfrac1n,&n\text{ 为偶数},\\[1mm]n,&n\text{ 为奇数},\end{cases}$$

故 $\dfrac1{a_n}$ 也无界。

7. 「无界」与「无穷大」切勿混用

$$x_n=\begin{cases}n,&n\text{ 为偶数},\\0,&n\text{ 为奇数}\end{cases}$$

是一个无界数列，但它不是无穷大——因为存在奇数子列 $x_{2k-1}=0$。

8. 部分题目不必举反例，优先用逆否命题

见到形如「若乘积无界，则至少一个因子无界」的断言，可直接考虑逆否：

$$x_n,y_n\text{ 都有界}\ \Rightarrow\ x_ny_n\text{ 有界}.$$

于是

$$x_ny_n\text{ 无界}\ \Rightarrow\ x_n,y_n\text{ 至少一个无界}.$$

二、真题演练与解答

例 1.72（1998 年数二）

解答

• A 错误：取 $x_n=n,\ y_n=0$。此时 $x_ny_n=0\to 0$，$x_n$ 发散而 $y_n$ 收敛，故 A 不成立。
• B 错误：取奇偶错位数列 $$x_n=\begin{cases}n,&n\text{ 为偶数},\\0,&n\text{ 为奇数},\end{cases} \qquad y_n=\begin{cases}0,&n\text{ 为偶数},\\n,&n\text{ 为奇数}.\end{cases}$$ 则 $x_ny_n=0\to 0$，但 $\{x_n\},\{y_n\}$ 均无界，故「$x_n$ 无界 $\Rightarrow$ $y_n$ 必有界」不成立。
• C 错误：取 $x_n=0,\ y_n=n$。此时 $x_ny_n=0\to 0$，$\{x_n\}$ 有界，但 $y_n=n$ 并非无穷小，故 C 不成立。
• D 正确：已知 $x_ny_n\to 0$ 且 $\dfrac1{x_n}\to 0$。注意 $y_n=(x_ny_n)\cdot\dfrac1{x_n}$，故 $$\lim_{n\to\infty}y_n=\lim_{n\to\infty}(x_ny_n)\cdot\lim_{n\to\infty}\frac1{x_n}=0,$$ 即 $y_n\to 0$。

例 1.73（李林 880）

解答

• A 错误：利用相反数抵消。取 $x_n=n,\ y_n=-n$，二者均无界，但 $x_n+y_n=0$，故 $\{x_n+y_n\}$ 有界。
• B 错误：仍用奇偶错位，取 $$x_n=\begin{cases}n,&n\text{ 为偶数},\\0,&n\text{ 为奇数},\end{cases} \qquad y_n=\begin{cases}0,&n\text{ 为偶数},\\n,&n\text{ 为奇数}.\end{cases}$$ 两数列均无界，但 $x_ny_n=0$，故 B 不成立。
• C 错误：取 $x_n=0,\ y_n=n$，则 $\{x_n\}$ 有界、$\{y_n\}$ 无界，但 $x_ny_n=0$ 有界。
• D 正确：若 $x_n,y_n$ 均为无穷大，则 $|x_n|\to\infty,\ |y_n|\to\infty$，于是 $$|x_ny_n|=|x_n||y_n|\to\infty,$$ 故 $\{x_ny_n\}$ 一定为无穷大。

例 1.74（严选题；D 选项可巧用逆否命题，反证法的本质亦是逆否命题）

解答

• A 错误：取奇偶错位数列 $$x_n=\begin{cases}n,&n\text{ 为偶数},\\0,&n\text{ 为奇数},\end{cases} \qquad y_n=\begin{cases}0,&n\text{ 为偶数},\\n,&n\text{ 为奇数}.\end{cases}$$ 则 $x_ny_n\equiv 0$，从而 $x_ny_n\to 0$，但 $x_n,y_n$ 均不趋于 $0$。
• B 错误：取 $$x_n=\begin{cases}n,&n\text{ 为偶数},\\1,&n\text{ 为奇数},\end{cases} \qquad y_n=\begin{cases}1,&n\text{ 为偶数},\\n,&n\text{ 为奇数}.\end{cases}$$ 则对任意 $n$ 都有 $x_ny_n=n\to\infty$；但 $x_{2k-1}=1$，故 $x_n\not\to\infty$，同理 $y_n\not\to\infty$。
• C 错误：取 $x_n=n,\ y_n=0$，则 $x_ny_n=0$ 有界，但 $x_n$ 无界。
• D 正确：用逆否命题。D 的逆否命题为「若 $x_n$ 与 $y_n$ 都有界，则 $x_ny_n$ 有界」。若存在 $M_1,M_2>0$ 使 $|x_n|\le M_1,\ |y_n|\le M_2$，则 $$|x_ny_n|\le M_1M_2,$$ 故 $\{x_ny_n\}$ 有界。逆否命题成立，原命题亦成立。

例 1.75（李林 880）

解答

• A 错误：取 $a_n=b_n=n$，则 $\lim a_n,\lim b_n$ 均不存在；而 $a_n+b_n=2n$ 极限不存在，$a_n-b_n=0$ 极限存在。
• B 错误：取 $a_n=n,\ b_n=2n$，二者极限均不存在，且 $a_n+b_n=3n$ 与 $a_n-b_n=-n$ 极限都不存在。
• C 正确：设 $\lim(a_n+b_n)$ 存在。若 $\lim(a_n-b_n)$ 也存在，则由 $$a_n=\frac{(a_n+b_n)+(a_n-b_n)}2,\qquad b_n=\frac{(a_n+b_n)-(a_n-b_n)}2$$ 可知 $\lim a_n,\lim b_n$ 都存在，与题设矛盾。故 $\lim(a_n+b_n)$ 存在时，$\lim(a_n-b_n)$ 必不存在。
• D 错误：取 $a_n=n,\ b_n=-n$，二者极限均不存在；但 $a_n+b_n=0$ 极限存在，而 $a_n-b_n=2n$ 极限不存在。

例 1.76（李艳芳 900；A 选项反例极重要，可用于 24 考研数二；B 选项的严格证明写法亦需积累）

解答

• A 不一定有界：取 $b_n=1$，并令 $$a_n=\begin{cases}n,&n\text{ 为偶数},\\[1mm]\dfrac1n,&n\text{ 为奇数}.\end{cases}$$ 则 $\{a_n\}$ 为正项无界数列、$\{b_n\}$ 有界，但 $$\frac{b_n}{a_n}=\frac1{a_n}=\begin{cases}\dfrac1n,&n\text{ 为偶数},\\[1mm]n,&n\text{ 为奇数},\end{cases}$$ 故 $\left\{\dfrac{b_n}{a_n}\right\}$ 无界。
• B 一定有界：因 $a_n,b_n$ 均为正项，故 $1+a_nb_n>1$，于是 $$0<\frac{b_n}{1+a_nb_n}<b_n.$$ 又 $\{b_n\}$ 有界，存在 $M>0$ 使 $0<b_n\le M$，从而 $$0<\frac{b_n}{1+a_nb_n}<M,$$ 故 $\left\{\dfrac{b_n}{1+a_nb_n}\right\}$ 一定有界。
• C 不一定有界：取 $a_n=n,\ b_n=1$，则 $\sqrt{a_nb_n}=\sqrt n\to\infty$，故 C 不成立。
• D 不一定有界：取 $a_n=n^2,\ b_n=1$，则 $$a_nb_n-a_{n-1}b_{n-1}=n^2-(n-1)^2=2n-1,$$ 显然无界。

三、反例库：五类模板一张图

最值得直接记忆的是下面五个模板：

编号	反例	用途
1	$x_n=n,\ y_n=0$	乘积恒为 $0$，其中一个数列可无界 / 发散
2	$x_n=n,\ y_n=-n$	两数列皆「坏」，但 $x_n+y_n=0$
3	$x_n=\begin{cases}n&n\text{ 偶}\\0&n\text{ 奇}\end{cases},\ y_n=\begin{cases}0&n\text{ 偶}\\n&n\text{ 奇}\end{cases}$	两数列皆无界，但 $x_ny_n=0$
4	$x_n=\begin{cases}n&n\text{ 偶}\\1&n\text{ 奇}\end{cases},\ y_n=\begin{cases}1&n\text{ 偶}\\n&n\text{ 奇}\end{cases}$	$x_ny_n=n\to\infty$，但二者均不趋于 $\infty$
5	$a_n=\begin{cases}n&n\text{ 偶}\\1/n&n\text{ 奇}\end{cases}$	$a_n$ 无界，同时 $\dfrac1{a_n}$ 也无界

这五个反例模板比单独背诵每一道题更重要。