数列与函数值数列的敛散性关系

一、问题背景

在考研数学范围内，函数 $y=f(x)$ 的约定是：一个自变量 $x$ 只能对应唯一的 $y$，即不会出现”一个 $x$ 对应两个 $y$“的情形。但反过来，一个 $y$ 可以对应多个 $x$ 是常见现象，例如

$$f(x)=x^2,\qquad f(1)=f(-1)=1.$$

我们要问：已知 $\{f(x_n)\}$ 或 $\{x_n\}$ 之一收敛，能否推出另一个也收敛？答案取决于 $f$ 的连续性、区间是否有界，以及 $f$ 是否为一一对应（即一个 $y$ 只对应一个 $x$）。

二、四条核心结论

结论①：$x_n$ 收敛 $\Rightarrow$ $f(x_n)$ 收敛

这是连续函数保极限性的直接推论，属于基本结论，无需证明。

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结论②：有限区间 + 连续 + 一一对应 $\Rightarrow$ $f(x_n)$ 收敛 $\Leftrightarrow$ $x_n$ 收敛

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结论③：无限区间 + 连续 + 一一对应 + $x\to\infty$ 时 $f(x)\to\infty$ $\Rightarrow$ $f(x_n)$ 收敛 $\Rightarrow$ $x_n$ 收敛

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结论④：一个 $y$ 对应多个 $x$ 时，$f(x_n)$ 收敛推不出 $x_n$ 收敛

三、真题演练

例 1.77（2022 年数二真题）

解答

令 $t_n=\sin x_n$，则 $t_n\in[-1,1]$。外层函数 $\cos t$ 在 $[-1,1]$ 上不是一一对应（例如 $\cos t_1=\cos t_2$ 当 $t_1=-t_2$ 时），因此

$$\cos(\sin x_n)\text{ 收敛}\quad\xcancel{\Longrightarrow}\quad\sin x_n\text{ 收敛},$$

更推不出 $x_n$ 收敛。故（A）、（C）错误。

令 $u_n=\cos x_n$，则 $u_n\in[0,1]$。外层函数 $\sin u$ 在 $[0,1]$ 上严格单调递增，且 $u_n$ 落在有限区间 $[0,1]$ 内，$\sin u$ 连续。由结论②，

$$\sin(\cos x_n)\text{ 收敛}\quad\Longrightarrow\quad\cos x_n\text{ 收敛}.$$

但 $\cos x$ 本身不是一一对应（例如 $\cos x_1=\cos x_2$ 当 $x_1=-x_2$ 时），因此

$$\cos x_n\text{ 收敛}\quad\xcancel{\Longrightarrow}\quad x_n\text{ 收敛}.$$

例如可取 $x_n=(-1)^n\arccos a$（$a\in(0,1)$），则 $\cos x_n\equiv a$ 收敛，但 $x_n$ 在 $\pm\arccos a$ 之间震荡。

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例 1.78（2017 年数二真题）

解答

• （A）错误：$\sin x=0$ 对应无穷多个 $x$（$x=k\pi$）。取

  $$x_n=\begin{cases}0,&n\text{ 为奇数},\\ \pi,&n\text{ 为偶数},\end{cases}$$

  则 $\sin x_n\equiv 0$，但 $x_n$ 不收敛。

• （B）错误：取 $x_n=-1$，则 $x_n+\sqrt{|x_n|}=-1+1=0$，显然 $x_n\not\to 0$。

• （C）错误：取 $x_n=-1$，则 $x_n+x_n^2=-1+1=0$，同样 $x_n\not\to 0$。

• （D）正确：设 $f(x)=x+\sin x$，则

  $$f'(x)=1+\cos x\ge 0,$$

  且 $f'(x)=0$ 仅在孤立点 $x=(2k+1)\pi$ 处成立，因此 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格单调递增，即一个 $y$ 只对应一个 $x$。又 $f(x)$ 连续，且题设 $\{x_n\}$ 收敛（故必有界），由结论②可得

  $$f(x_n)\to 0\quad\Longrightarrow\quad x_n\to 0.$$

四、一句话总结