n 项和数列极限：夹逼与定积分定义

一、核心思想

设有 $n$ 项和极限

$$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}a_i(n),$$

其中每一项的分母都可以写成

$$\text{主体部分}+\text{变化部分}.$$

变化部分相对主体部分的量级	推荐方法
次量级	夹逼原理
同量级	定积分定义
部分次量级、部分同量级	拆分后分别使用夹逼与定积分

二、例 1：次量级用夹逼

分析

分母为 $n^2+i$，其中 $i=1,2,\dots,n$。

• 主体部分：$n^2$，不随项数 $i$ 变化；
• 变化部分：$i$，从 $1$ 变到 $n$，最大值为 $n$。

比较量级：

$$\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n^2}=0,$$

因此变化部分是主体部分的次量级，适合用夹逼原理。

三、例 2：同量级用定积分定义

分析

分母为 $n^2+i^2$，其中 $i=1,2,\dots,n$。

• 主体部分：$n^2$；
• 变化部分：$i^2$，从 $1^2$ 变到 $n^2$，最大值为 $n^2$。

比较量级：

$$\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^2}=1\ne 0,$$

因此变化部分与主体部分为同量级，适合用定积分定义。

四、定积分定义的标准形式

五、两类方法的本质区别

因此：

• 次量级：变化部分对分母的影响不足以改变整体的阶，放缩后上下界趋于同一极限，用夹逼；
• 同量级：变化部分与主体部分同阶，会改变被积函数的形态，需用定积分定义精确刻画。

六、一句话总结