2010 年上海交通大学 816 自动控制原理 参考答案

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上海交通大学二〇一〇年攻读硕士学位研究生

入学考试试题参考答案

注意：答案必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上均无效。

一、解：A。前向通路：$T_1=G_1G_2$　　　$T_2=1$　　　$T_3=G_1$　　　$T_4=G_2$

回路：$L_1=G_1H_3$　　　$L_2=H_2$　　　$L_3=H_3$　　　$L_4=H_1$　　　$L_5=G_1G_2H_4$

$L_6=G_2H_4$　　　$L_7=G_1H_4$　　　$L_8=H_4$

$\Delta=1-G_1H_3-H_2-H_3-H_1-G_1G_2H_4-G_2H_4-G_1H_4-H_4+G_1H_1H_3+H_1H_2+H_1H_3$

$\Delta_1=1$　　　$\Delta_2=1$　　　$\Delta_3=1$　　　$\Delta_4=1$

$\therefore\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{G_1G_2+1+G_1+G_2}{1-(H_1+H_2+H_3+H_4)-G_1H_3-G_2H_4-G_1H_4-G_1G_2H_4+G_1H_1H_3+H_1H_2+H_1H_3}$

（2）$L_1=H_2$　　　$L_2=G_2H_1H_2$　　　$L_3=G_1H_3$　　　$L_4=H_3$

$L_5=G_2H_3$　　　$L_6=H_1$　　　$L_7=G_1H_1H_2$

$P_1=1$　　　$P_2=G_2$　　　$P_3=G_1$　　　$\Delta_1=\Delta_2=\Delta_3=1$

$\Delta=1-H_2-G_2H_1H_2-G_1H_3-H_3-G_2H_3-H_1-G_1H_1H_2$

$\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{\sum P_i\Delta_i}{\Delta}=\frac{1+G_2+G_1}{1-H_2-G_2H_1H_2-G_1H_3-H_3-G_2H_3-H_1-G_1H_1H_2}$

二、分析：先求系统传递函数，根据题目要求解出 $k_1$，$k_2$ 坐标.

解：由结构图得系统的闭环传函为

$\varphi(s)=\frac{4k_1}{s^2+(4+4k_2)s+4k_1}$

由标准二阶形式 $\varphi(s)=\dfrac{\omega_n^2}{s^2+2\xi\omega_ns+\omega_n^2}$，得 $\begin{cases}\omega_n=2\sqrt{k_1}\\[4pt]\xi=\dfrac{1+k_2}{\sqrt{k_1}}\end{cases}$

由（1）$\sigma\%\le 20\%$，即 $e^{-\frac{\xi\pi}{\sqrt{1-\xi^2}}}\le 0.2$，$\xi\ge 0.456$

即 $0.456\le\dfrac{1+k_2}{\sqrt{k_1}}<1$　　①

由（2）$\Delta=2\%$，$t_s=\dfrac{4}{\xi\omega_n}\le 1.6$，即 $\dfrac{4}{2+2k_2}\le 1.6$　　②

联立①②得 $\begin{cases}k_1>1+2k_2+k_2^2\\[4pt]k_1\le 4.8\left(1+2k_2+k_2^2\right)\\[4pt]k_2\ge 0.25\end{cases}$

如图，

阴影面积为所求

【评注】①掌握时域分析的基本公式；②记住二阶标准系统.

三、解：$G(s)=\dfrac{k_c\left(s^2-2s+5\right)}{(s+2)(s-0.5)}$

（1）$Z_{1,2}=1\pm j2$，$P_1=-2$，$P_2=0.5$，先画180°根轨迹

①实轴上：$[-2,0.5]$

②渐近线：0°，180°

③分离点：$M(s)=s^2-2s+5$，$N(s)=(s+2)(s-0.5)$

$\therefore M'(s)N(s)-M(s)N'(s)=(2s-2)(s+2)(s-0.5)-\left(s^2-2s+5\right)(2s+1.5)=0$

$\Rightarrow 7s^2-24s-11=0$

得 $s=-0.41$，3.84（舍去）

④入射角：$\theta_{z_1}=\pm 180^\circ+(33.7^\circ+76^\circ)-90^\circ=-160^\circ$

由对称可知：$\theta_{z_2}=160^\circ$

⑤与虚轴交点：$D(s)=1+G(s)=0$

$\Rightarrow D(s)=(1+k_c)s^2+(1.5-2k_c)s+5k_c-1$

$s=j\omega$ 代入：$D(j\omega)=5k_c-1-(1+k_c)\omega^2+j\omega(1.5-2k_c)=0$

$\begin{cases}5k_c-1-\omega^2(1+k_c)=0\\[4pt]\omega(1.5-2k_c)=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}k_c=0.75\\[4pt]\omega=\sqrt{1.57}\approx 1.25\end{cases}$

用劳斯判据判稳：$\begin{cases}1+k_c>0\\1.5-2k_c>0\Rightarrow 0.2\\5k_c-1>0\end{cases}$　$k_c<0.75$

∴综上，当 $0.2<k_c<0.75$ 时系统稳定

（2）$D(s)=s^2+1.5s-1+k_c\left(s^2-2s+5\right)=(1+k_c)s^2+(1.5-2k_c)s+5k_c-1$

$=(1+k_c)\left[s^2+\dfrac{1.5-2k_c}{1+k_c}s+\dfrac{5k_c-1}{1+k_c}\right]$

对照二阶系统的特征方程：$s^2+2\xi\omega_ns+\omega_n^2=0$

$\therefore\begin{cases}2\xi\omega_n=\dfrac{1.5-2k_c}{1+k_c}\\[8pt]\omega_n^2=\dfrac{5k_c-1}{1+k_c}\end{cases}$，将 $\xi=0.5$ 代入，可得 $k_c^2+10k_c-3.25=0$

得 $k_c=0.315$，$-10.315$（舍去）

$\therefore k_c=0.315$

四、分析：第一问考察 Bode 图绘制；第二问考察滞后超前校正；第三问考察校正方法特点适应条件

解答：（1）$\omega_c=22rad/s$，由 $20\lg\dfrac{k}{\omega_c\cdot\dfrac{\omega_c}{2}\cdot\dfrac{\omega_c}{20}}=0$ 可得 $k=266.2$，

故得校正系统传递函数为 $G_0(s)=\dfrac{266.2}{s\left(\dfrac{s}{2}+1\right)\left(\dfrac{s}{20}+1\right)}$，Bode 如下：

$\gamma=180^\circ-90^\circ-\arctan\dfrac{22}{2}-\arctan\dfrac{22}{20}=-42.53^\circ$

（2）先采用滞后校正，设滞后环节为 $G_{c1}(s)=\dfrac{T_1s+1}{T_2s+1}\left(T_1<T_2\right)$

由希望频率先取理想截止频率为 $\omega_{c1}=2rad/s$ 并留有余量

将 $\omega_{c1}=2rad/s$ 代入 $G(s)=G_{c1}(s)G_0(s)$ 中

可得 $T_2=133.1T_1$，按惯例取 $\dfrac{1}{T_1}=(0.1\sim 0.2)\omega_{c1}$

不妨取

$\begin{cases}T_1=3.33\\[4pt]T_2=443\end{cases}$

设超前环节为 $G_{c2}(s)=\dfrac{T_3s+1}{T_4s+1}\left(T_3>T_4\right)$

由希望频率法取得想截止频率 $\omega_{c2}=18rad/s$ 并留有余量，

将 $\omega_{c2}=18rad/s$ 代入 $G(s)=G_{c1}(s)G_{c2}(s)G_0(s)$ 中，可得 $\left|G(j\omega)\right|=1$

知 $T_3=4.49$ 不妨取 $T_4=0.0394$

验证 $\begin{cases}\omega_c=13.2rad/s\\[4pt]\gamma=35.6^\circ\end{cases}$ 满足设计要求

$\therefore G_c(s)=\dfrac{T_1s+1}{T_2s+1}\dfrac{T_3s+1}{T_4s+1}=\dfrac{(3.33s+1)(4.49s+1)}{(443s+1)(0.0394s+1)}$

（3）不能采用其他校正方法. 因为单纯采用串联超前或串联滞后，都不能满足系统各项设计要求. 例如，在采用滞后校正时，由于 $G_0(j\omega)$ 剪切频率不能远大于设计要求的 $\omega_c$，因而串联迟后滞后之后，$\nu$ 与 $\omega$ 这两项指标不能同时满足。

评注：①掌握 Bode 图；②掌握三种校正方式.

五、分析：先做图，再计算

完整步骤：（a）

$Z=P-2N=P-2\left(N_+-N_-\right)=1-2\left(\dfrac{1}{2}-0\right)=0$

（b）

$Z=P-2N=1-2\times\left(0-\dfrac{1}{2}\right)=2$

（c）

$Z=0-2\times(1-1)=0$

注 在 C 图里面，隐藏一个考点，即，奈氏图的起点在实轴上，所以增补如图所示（即特定此时 $\omega=0^+$ 时候，图像是从负实轴的无穷远处出发，然后加上增补线，就变成从正实轴无穷远处出发了）

题后总结：①增补线画法：从 $\omega\to 0^+$ 开始，逆时针画半径无穷大，圆心角 $90^\circ$ 圆弧，顺时针标方向；

②$Z=P-R=P-2N=P-2\left(N_+-N_-\right)$

六、[分析]此题主要考察由系统结构图画相平面、并分析系统稳态误差。

[解]由系统的结构图知，$u=\begin{cases}0.5e&\left|e\right|<0.6\\5e&\left|e\right|>0.6\end{cases}$，$5u=0.49\ddot y+\dot y$，$e=r-y=0.5t-y$

化简整理得

$0.49\ddot e+\dot e-0.5=\begin{cases}-2.5e&\left|e\right|<0.6\\-25e&\left|e\right|>0.6\end{cases}$，开关线 $e=0.6/-0.6$

当 $\left|e\right|<0.6$ 时：

相轨迹方程 $\dfrac{d\dot e}{de}=\dfrac{0.5-2.5e-\dot e}{0.49\dot e}$

令 $\dfrac{d\dot e}{de}=0$，得奇点为 $(0.2,0)$

且 $0.49\ddot e+\dot e+2.5e=0.5$，特征方程为

$0.49r^2+r+2.5=0$，$r_{1,2}=-1\pm 2.3j$

故相轨迹为奇点为 $(0.2,0)$ 的向心螺旋线。$(0.2,0)$ 为稳定焦点

当 $\left|e\right|>0.6$ 时：

相轨迹方程 $\dfrac{d\dot e}{de}=\dfrac{0.5-25e-\dot e}{0.49\dot e}$

令 $\dfrac{d\dot e}{de}=0$，得奇点为 $(0.02,0)$

同理为奇点为 $(0.02,0)$ 的向心螺旋线。

$\because$系统开始初始状态为静止，故 $y(0)=0$，$\dot y(0)=0$． $e(0)=0$，$\dot e(0)=0.5$。

在 $\left|e\right|<0.6$ 区域内，相轨迹从 $(0,0.5)$ 向右运动（$\because\dot e>0$，故 $e\uparrow$ 方向）

系统的稳态误差 $e_{ss}=0.2$

[注]1. 通过系统特征方程求特征根判断相轨迹发散还是收敛。

2. 通过 $\dfrac{d\dot e}{de}=0$，求得奇点。

3. 当 $\dot e>0$ 时，相轨迹朝 $e\uparrow$ 方向运动。

4. 初始位置为 $\left(e(0),\dot e(0)\right)$。

七、思路解析：先写成能控标准型，基本功. 进行极点配置，无零极点对消说明完全可控.

完整步骤：

（1）由此传递函数可直接写出能控标准型状态空间表达式

$\dot x=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&-2&-3\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}u,\quad y=[10\ \ 0\ \ 0]x\qquad(1)$

由于该形式是能控标准型，即完全能控，可通过状态反馈任意配置极点

原特征方程是为 $D(s)=s^3+3s^2+2s$.

期望特征方程为

$D^*(s)=(s+2)(s+1+j2)(s+1-j2)=s^3+4s^2+9s+10$

由于是能控标准型的实现，因此状态反馈阵为

$k=\hat a-a=\left[\hat a_0-a_0\quad \hat a_1-a_1\quad \hat a_2-a_2\right]=[10\quad 7\quad 1]$

反馈控制律是 $u=v$

闭环动态方程为 $\dot x=[A-bk]x+bv$，$y=cx$，即

$\dot x=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\-10&-9&-4\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}u,\quad v=[10\ \ 0\ \ 0]x\qquad(2)$

传递函数为 $G(s)=\dfrac{10}{s^3+4s^2+9s+10}$

题后点评：

要做出本题除了要掌握由传递函数写状态空间表达式的方法，还要掌握极点任意配置的条件，状态反馈控制器设计方法等.