8.6.1 系统的能控性分解

一、能控性分解的基本原理与定义

考虑连续线性定常系统：

\begin{cases} \dot{x} = Ax + Bu \\ y = Cx \end{cases}

其中 $x \in \mathbb{R}^n$ 为状态向量， $u \in \mathbb{R}^m$ 为控制输入， $y \in \mathbb{R}^p$ 为输出向量。若系统状态不完全能控，即能控性判别矩阵：

M = Q_c = \begin{bmatrix} B & AB & A^2B & \cdots & A^{n-1}B \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{n \times nm}

的秩满足：

\operatorname{rank} M = n_1 < n

这表明状态空间 $\mathbb{R}^n$ 包含了维数为 $n_1$ 的能控子空间 $\Sigma_c$ 和维数为 $n - n_1$ 的不能控子空间 $\Sigma_{\bar{c}}$ 。

条件： 设线性定常系统 $(A, B, C)$ 不完全能控，且 $\operatorname{rank} M = n_1 < n$ 。
结论： 必存在非奇异坐标变换矩阵 $R_c \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ，令 $x = R_c \hat{x}$ ，将原系统变换为具有明显能控与不能控子块的能控性规范型：

\begin{cases} \dot{\hat{x}} = \hat{A}\hat{x} + \hat{B}u \\ y = \hat{C}\hat{x} \end{cases}

其中变换后的系统矩阵具有如下分块上三角特征：

\hat{A} = R_c^{-1} A R_c = \begin{bmatrix} \hat{A}_{11} & \hat{A}_{12} \\ 0 & \hat{A}_{22} \end{bmatrix}, \quad \hat{B} = R_c^{-1} B = \begin{bmatrix} \hat{B}_1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \hat{C} = C R_c = \begin{bmatrix} \hat{C}_1 & \hat{C}_2 \end{bmatrix}

各子矩阵的物理意义与维度：

$\hat{A}_{11} \in \mathbb{R}^{n_1 \times n_1}$ ， $\hat{B}_1 \in \mathbb{R}^{n_1 \times m}$ ，子系统对 $(\hat{A}_{11}, \hat{B}_1)$ 完全能控；
$\hat{A}_{22} \in \mathbb{R}^{(n-n_1) \times (n-n_1)}$ 为不能控子系统的系统矩阵；
$\hat{A}_{12} \in \mathbb{R}^{n_1 \times (n-n_1)}$ 为不能控子系统对能控子系统的耦合矩阵；
左下角零矩阵 $0 \in \mathbb{R}^{(n-n_1) \times n_1}$ 与 $\hat{B}$ 的下部零矩阵 $0 \in \mathbb{R}^{(n-n_1) \times m}$ 保证了控制输入 $u$ 无法影响不能控状态。

将变换后的状态向量按能控与不能控划分为 $\hat{x} = \begin{bmatrix} \hat{x}_1 \\ \hat{x}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_c \\ x_{\bar{c}} \end{bmatrix}$ （其中 $\hat{x}_1 \in \mathbb{R}^{n_1}$ 为能控状态， $\hat{x}_2 \in \mathbb{R}^{n - n_1}$ 为不能控状态）：

能控子系统（Controllable Subsystem）： $\begin{cases} \dot{\hat{x}}_1 = \hat{A}_{11}\hat{x}_1 + \hat{B}_1 u + \hat{A}_{12}\hat{x}_2 \\ \hat{y}_1 = \hat{C}_1 \hat{x}_1 \end{cases}$
不能控子系统（Uncontrollable Subsystem）： $\begin{cases} \dot{\hat{x}}_2 = \hat{A}_{22}\hat{x}_2 \\ \hat{y}_2 = \hat{C}_2 \hat{x}_2 \end{cases}$
系统总输出： $y = \hat{y}_1 + \hat{y}_2 = \hat{C}_1 \hat{x}_1 + \hat{C}_2 \hat{x}_2$

二、变换矩阵 $R_c$ 的构造步骤与核心方法

第一步：计算能控性矩阵并确定秩
计算能控性判别矩阵 $M = \begin{bmatrix} B & AB & \cdots & A^{n-1}B \end{bmatrix}$ ，通过初等行变换求出矩阵的秩 $n_1 = \operatorname{rank} M$ 。
第二步：选取前 $n_1$ 个列向量
从判别矩阵 $M$ 的列向量中，选取 $n_1$ 个线性无关的列向量，按原顺序排列作为变换矩阵 $R_c$ 的前 $n_1$ 列，记为： $R_1, R_2, \dots, R_{n_1}$
第三步：补充后 $n - n_1$ 个列向量
任意选取 $n - n_1$ 个与前 $n_1$ 列线性无关的列向量 $R_{n_1+1}, \dots, R_n$ ，构成非奇异方阵 $R_c$ ： $R_c = \begin{bmatrix} R_1 & R_2 & \cdots & R_{n_1} & \Big| & R_{n_1+1} & \cdots & R_n \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{n \times n}, \quad \det(R_c) \neq 0$
第四步：求逆并完成相似变换
计算逆矩阵 $R_c^{-1}$ ，按坐标变换公式求得规范型矩阵： $\hat{A} = R_c^{-1} A R_c, \quad \hat{B} = R_c^{-1} B, \quad \hat{C} = C R_c$

补充向量的优选规则： 补充列向量 $R_{n_1+1}, \dots, R_n$ 建议优先在标准自然坐标基（例如 $\begin{bmatrix}1&0&0\end{bmatrix}^T$ 、 $\begin{bmatrix}0&1&0\end{bmatrix}^T$ 、 $\begin{bmatrix}0&0&1\end{bmatrix}^T$ ）中寻找与前 $n_1$ 列线性无关的向量，可最大程度简化求逆矩阵 $R_c^{-1}$ 的手工计算量。
结构特征验算： 完成相似变换后，必须检验：
1. $\hat{B}$ 的后 $n - n_1$ 行是否全部为零；
2. $\hat{A}$ 的左下角 $(n - n_1) \times n_1$ 子块是否全部为零。若不满足，必存在计算错误或列向量排列顺序颠倒。

三、能控性分解系统结构框图

通过能控性分解后，系统内部信号流向与子系统间的相互耦合机理如下图所示：

能控性分解结构框图.png

结构框图机理解析

控制输入流向： 外部控制信号 $u(t)$ 经输入通道 $\tilde{B}_1$ 直接且仅能作用于能控子系统的积分通道，不能控部分不存在任何直接输入激励通道。
状态单向影响： 不能控状态 $\tilde{x}_2(t)$ 经交叉耦合矩阵 $\tilde{A}_{12}$ 单向流入能控状态求和点，即不能控状态会作为外生扰动影响能控状态的演化；反之，能控状态 $\tilde{x}_1(t)$ 对不能控状态没有任何反作用通路（因为左下角为零子块）。
输出合成机制： 系统的最终输出 $y(t)$ 是由能控子系统输出 $\tilde{C}_1\tilde{x}_1(t)$ 与不能控子系统输出 $\tilde{C}_2\tilde{x}_2(t)$ 在输出端线性叠加合成。

四、典型例题全解

Step 1：计算能控性判别矩阵并求秩 系统维数 $n = 3$ 。输入向量为 $b = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ 。计算各列：

Ab = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}

A^2b = A(Ab) = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ -3 \\ -2 \end{bmatrix}

构成能控性矩阵：

M = \begin{bmatrix} b & Ab & A^2b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & -3 \\ 0 & 1 & -2 \end{bmatrix}

对 $M$ 进行初等行变换：

\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & -3 \\ 0 & 1 & -2 \end{bmatrix} \xrightarrow{r_2 - r_1} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -2 \end{bmatrix} \xrightarrow{r_3 - r_2} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

可见 $\operatorname{rank} M = 2 = n_1 < 3$ 。系统不完全能控，能控子系统维数为 $2$ ，不能控子系统维数为 $1$ 。

Step 2：构造坐标变换矩阵 $R_c$ 及其逆矩阵 取 $M$ 的前两列作为 $R_c$ 的前两列，并补充与前两列线性无关的第三列基向量 $R_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ ：

R_c = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}

验证行列式： $\det(R_c) = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \neq 0$ 。求逆矩阵 $R_c^{-1}$ ：

R_c^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}

Step 3：计算规范型系统矩阵

\hat{A} = R_c^{-1} A R_c = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & -1 \\ 1 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}

\hat{B} = R_c^{-1} b = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}

\hat{C} = C R_c = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -2 \end{bmatrix}

Step 4：写出子系统解耦表达式

变换后的全维状态空间方程： $\dot{\hat{x}} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & -1 \\ 1 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \hat{x} + \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} u, \quad y = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -2 \end{bmatrix} \hat{x}$
能控子系统： $\begin{cases} \dot{\hat{x}}_1 = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} \hat{x}_1 + \begin{bmatrix} -1 \\ -2 \end{bmatrix} \hat{x}_2 + \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} u \\ y_c = \begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix} \hat{x}_1 \end{cases}$
不能控子系统： $\begin{cases} \dot{\hat{x}}_2 = -\hat{x}_2 \\ y_{\bar{c}} = -2\hat{x}_2 \end{cases}$

五、重要代数性质与考研考点归纳

特征值与极点分布：
系统矩阵 $A$ 的特征值谱满足： $\det(sI - A) = \det(sI - \hat{A}_{11}) \cdot \det(sI - \hat{A}_{22})$ 原系统的极点由能控子系统极点（ $\hat{A}_{11}$ 的特征值）与不能控子系统极点（ $\hat{A}_{22}$ 的特征值）组成。
传递函数与零极点对消：
传递函数矩阵仅由能控子系统决定： $G(s) = C(sI - A)^{-1}B = \hat{C}_1 (sI - \hat{A}_{11})^{-1} \hat{B}_1$ 不能控子系统的特征值在传递函数 $G(s)$ 中必然被分子零点完全相消，对外表现为不可控模态。

ギターと孤独と蒼い惑星

8.6.1 系统的能控性分解

8.6.1 系统的能控性分解

一、能控性分解的基本原理与定义

二、变换矩阵 $R_c$ 的构造步骤与核心方法

三、能控性分解系统结构框图

结构框图机理解析

四、典型例题全解

五、重要代数性质与考研考点归纳

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8.6.1 系统的能控性分解

一、能控性分解的基本原理与定义

二、变换矩阵 RcR_cRc​ 的构造步骤与核心方法

三、能控性分解系统结构框图

结构框图机理解析

四、典型例题全解

五、重要代数性质与考研考点归纳

二、变换矩阵 $R_c$ 的构造步骤与核心方法