8.6.2 系统的能观性分解

一、能观性分解的基本原理与定义

考虑连续线性定常系统：

\begin{cases} \dot{x} = Ax + Bu \\ y = Cx \end{cases}

其中 $x \in \mathbb{R}^n$ 为状态向量， $u \in \mathbb{R}^m$ 为输入向量， $y \in \mathbb{R}^p$ 为输出向量。若系统状态不完全能观，即其能观性判别矩阵：

N = Q_o = \begin{bmatrix} C \\ CA \\ CA^2 \\ \vdots \\ CA^{n-1} \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{np \times n}

的秩满足：

\operatorname{rank} N = n_1 < n

这表明状态空间 $\mathbb{R}^n$ 包含了维数为 $n_1$ 的能观测子空间 $\Sigma_o$ 和维数为 $n - n_1$ 的不能观测子空间 $\Sigma_{\bar{o}}$ 。

条件： 设系统 $(A, B, C)$ 不完全能观，且 $\operatorname{rank} N = n_1 < n$ 。
结论： 必存在非奇异坐标变换矩阵 $R_o \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ，令 $x = R_o \hat{x}$ ，将系统变换为具有明显能观与不能观子块的能观性规范型：

\begin{cases} \dot{\hat{x}} = \hat{A}\hat{x} + \hat{B}u \\ y = \hat{C}\hat{x} \end{cases}

其中变换后的系统矩阵具有如下分块下三角特征：

\hat{A} = R_o^{-1} A R_o = \begin{bmatrix} \hat{A}_{11} & 0 \\ \hat{A}_{21} & \hat{A}_{22} \end{bmatrix}, \quad \hat{B} = R_o^{-1} B = \begin{bmatrix} \hat{B}_1 \\ \hat{B}_2 \end{bmatrix}, \quad \hat{C} = C R_o = \begin{bmatrix} \hat{C}_1 & 0 \end{bmatrix}

各子矩阵的物理意义与维度：

$\hat{A}_{11} \in \mathbb{R}^{n_1 \times n_1}$ ， $\hat{C}_1 \in \mathbb{R}^{p \times n_1}$ ，子系统对 $(\hat{A}_{11}, \hat{C}_1)$ 完全能观；
$\hat{A}_{22} \in \mathbb{R}^{(n-n_1) \times (n-n_1)}$ 为不能观子系统的系统矩阵；
$\hat{A}_{21} \in \mathbb{R}^{(n-n_1) \times n_1}$ 为能观状态对不能观状态的耦合矩阵；
右上角零矩阵 $0 \in \mathbb{R}^{n_1 \times (n-n_1)}$ 与 $\hat{C}$ 的右侧零矩阵 $0 \in \mathbb{R}^{p \times (n-n_1)}$ 保证了不能观测状态既不直接进入输出，也不影响能观状态。

将状态向量划分为 $\hat{x} = \begin{bmatrix} \hat{x}_1 \\ \hat{x}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_o \\ x_{\bar{o}} \end{bmatrix}$ （ $\hat{x}_1 \in \mathbb{R}^{n_1}$ 为能观状态， $\hat{x}_2 \in \mathbb{R}^{n - n_1}$ 为不能观状态）：

能观子系统（Observable Subsystem）： $\begin{cases} \dot{\hat{x}}_1 = \hat{A}_{11}\hat{x}_1 + \hat{B}_1 u \\ y = \hat{C}_1 \hat{x}_1 \end{cases}$
不能观子系统（Unobservable Subsystem）： $\dot{\hat{x}}_2 = \hat{A}_{21}\hat{x}_1 + \hat{A}_{22}\hat{x}_2 + \hat{B}_2 u$ （不能观状态对输出 $y(t)$ 无任何直接或间接贡献）

二、变换矩阵 $R_o$ 的构造步骤与核心方法

第一步：计算能观性矩阵并确定秩
计算判别矩阵 $N = \begin{bmatrix} C \\ CA \\ \vdots \\ CA^{n-1} \end{bmatrix}$ ，通过初等变换求得秩 $n_1 = \operatorname{rank} N$ 。
第二步：选取前 $n_1$ 个行向量构成逆变换矩阵 $R_o^{-1}$ 的前部
从判别矩阵 $N$ 中选取 $n_1$ 个线性无关的行向量，按原顺序排列构成逆变换矩阵的前 $n_1$ 行，记为 $P_1, P_2, \dots, P_{n_1}$ 。
第三步：补充后 $n - n_1$ 个行向量
任意选取 $n - n_1$ 个与前 $n_1$ 行线性无关的行向量 $P_{n_1+1}, \dots, P_n$ ，构成非奇异矩阵 $R_o^{-1}$ ： $R_o^{-1} = \begin{bmatrix} P_1 \\ P_2 \\ \vdots \\ P_{n_1} \\ \hline P_{n_1+1} \\ \vdots \\ P_n \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{n \times n}, \quad \det(R_o^{-1}) \neq 0$
第四步：求逆矩阵 $R_o$ 并计算规范型
求出 $R_o = (R_o^{-1})^{-1}$ ，计算规范型各子块矩阵： $\hat{A} = R_o^{-1} A R_o, \quad \hat{B} = R_o^{-1} B, \quad \hat{C} = C R_o$

三、能观性分解系统结构框图

通过能观性分解后，系统内部信号流向与子系统间的相互关系如下图所示：

能观性分解结构框图.png

结构框图机理解析

输出通道流向： 系统的测量输出 $y(t)$ 完全且仅由能观测部分状态 $\tilde{x}_1(t)$ 经输出增益 $\tilde{C}_1$ 产生；不能观测状态 $\tilde{x}_2(t)$ 在输出矩阵中对应的权值为零。
状态单向影响： 能观状态 $\tilde{x}_1(t)$ 经内部反馈通道 $\tilde{A}_{21}$ 单向输入到不能观测部分求和点；但不能观测状态 $\tilde{x}_2(t)$ 对能观状态无任何通路（右上角为零子块）。
输入激励机制： 外部输入 $u(t)$ 可同时驱动能观测部分（ $\tilde{B}_1$ ）和不能观测部分（ $\tilde{B}_2$ ）。

四、典型例题全解

Step 1：计算能观性判别矩阵并求秩 输出矩阵为 $C = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -2 \end{bmatrix}$ 。计算各行：

CA = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}

CA^2 = (CA)A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 3 & -4 \end{bmatrix}

构成能观性矩阵：

N = \begin{bmatrix} C \\ CA \\ CA^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 3 \\ -2 & 3 & -4 \end{bmatrix}

进行初等变换求秩：

\begin{bmatrix} 0 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 3 \\ -2 & 3 & -4 \end{bmatrix} \xrightarrow{r_3 + 2r_2} \begin{bmatrix} 0 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \end{bmatrix} \xrightarrow{r_3 + r_1} \begin{bmatrix} 0 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

可知 $\operatorname{rank} N = 2 = n_1 < 3$ 。系统不完全能观，能观子空间维数为 $2$ ，不能观子空间维数为 $1$ 。

Step 2：构造变换矩阵 取 $N$ 的前两行作为逆变换矩阵 $R_o^{-1}$ 的前两行，补充第三行 $P_3 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ ：

R_o^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

验证其行列式： $\det(R_o^{-1}) = 1 \cdot (0 - 1) = -1 \neq 0$ 。计算逆矩阵 $R_o = (R_o^{-1})^{-1}$ ：

R_o = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Step 3：计算规范型系统矩阵

\hat{A} = R_o^{-1} A R_o = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & -2 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}

\hat{B} = R_o^{-1} b = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}

\hat{C} = C R_o = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Step 4：写出子系统表达式

变换后全维状态空间表达式： $\dot{\hat{x}} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & -2 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix} \hat{x} + \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} u, \quad y = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \hat{x}$
能观子系统： $\begin{cases} \dot{\hat{x}}_1 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -2 \end{bmatrix} \hat{x}_1 + \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} u \\ y = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \hat{x}_1 \end{cases}$
不能观子系统： $\dot{\hat{x}}_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \hat{x}_1 - \hat{x}_2 + 0 \cdot u$

五、能控性与能观性分解对比总结

比较维度	能控性分解	能观性分解
判别矩阵	$M = [B, AB, \dots, A^{n-1}B]$	$N = [C^T, A^T C^T, \dots, (A^T)^{n-1} C^T]^T$
变换矩阵构造	选 $M$ 的线性无关列直接构成 $R_c$ 的前 $n_1$ 列	选 $N$ 的线性无关行构成 $R_o^{-1}$ 的前 $n_1$ 行
系统矩阵 $\hat{A}$ 结构	分块上三角 $\begin{bmatrix} \hat{A}_{11} & \hat{A}_{12} \\ 0 & \hat{A}_{22} \end{bmatrix}$	分块下三角 $\begin{bmatrix} \hat{A}_{11} & 0 \\ \hat{A}_{21} & \hat{A}_{22} \end{bmatrix}$
输入矩阵 $\hat{B}$ 结构	下半部全为零 $\begin{bmatrix} \hat{B}_1 \\ 0 \end{bmatrix}$	均可能有非零项 $\begin{bmatrix} \hat{B}_1 \\ \hat{B}_2 \end{bmatrix}$
输出矩阵 $\hat{C}$ 结构	均可能有非零项 $\begin{bmatrix} \hat{C}_1 & \hat{C}_2 \end{bmatrix}$	右半部全为零 $\begin{bmatrix} \hat{C}_1 & 0 \end{bmatrix}$
传递函数决定子块	$G(s) = \hat{C}_1(sI - \hat{A}_{11})^{-1}\hat{B}_1$	$G(s) = \hat{C}_1(sI - \hat{A}_{11})^{-1}\hat{B}_1$

ギターと孤独と蒼い惑星

8.6.2 系统的能观性分解

8.6.2 系统的能观性分解

一、能观性分解的基本原理与定义

二、变换矩阵 $R_o$ 的构造步骤与核心方法

三、能观性分解系统结构框图

结构框图机理解析

四、典型例题全解

五、能控性与能观性分解对比总结

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8.6.2 系统的能观性分解

一、能观性分解的基本原理与定义

二、变换矩阵 RoR_oRo​ 的构造步骤与核心方法

三、能观性分解系统结构框图

结构框图机理解析

四、典型例题全解

五、能控性与能观性分解对比总结

二、变换矩阵 $R_o$ 的构造步骤与核心方法