8.5.7 对偶关系与对偶原理

一、核心考点与理论精要

设有连续线性定常系统 $\Sigma_1$ ：

\Sigma_1: \begin{cases} \dot{x}_1(t) = A_1 x_1(t) + B_1 u_1(t) \\ y_1(t) = C_1 x_1(t) \end{cases}

其中 $x_1 \in \mathbb{R}^n, u_1 \in \mathbb{R}^p, y_1 \in \mathbb{R}^q$ 。

另一个连续线性定常系统 $\Sigma_2$ ：

\Sigma_2: \begin{cases} \dot{x}_2(t) = A_2 x_2(t) + B_2 u_2(t) \\ y_2(t) = C_2 x_2(t) \end{cases}

其中 $x_2 \in \mathbb{R}^n, u_2 \in \mathbb{R}^q, y_2 \in \mathbb{R}^p$ 。

定义： 若两系统的参数矩阵满足如下转置对应关系：

A_2 = A_1^T, \quad B_2 = C_1^T, \quad C_2 = B_1^T

则称系统 $\Sigma_1$ 与系统 $\Sigma_2$ 互为对偶系统，简记为 $\Sigma_2 = \Sigma_1^*$ 。

设系统 $\Sigma_1(A_1, B_1, C_1)$ 与 $\Sigma_2(A_1^T, C_1^T, B_1^T)$ 互为对偶系统：

特征多项式与特征值完全相同：
$\det(sI - A_2) = \det(sI - A_1^T) = \det((sI - A_1)^T) = \det(sI - A_1)$
因此两系统具有完全相同的特征方程、特征值和自由运动模态，系统的稳定性完全一致。
传递函数矩阵互为转置：
$G_2(s) = C_2 (sI - A_2)^{-1} B_2 = B_1^T (sI - A_1^T)^{-1} C_1^T = \left[ C_1 (sI - A_1)^{-1} B_1 \right]^T = G_1^T(s)$
对于单输入单输出（SISO）系统，标量的转置等于其自身，因此 互为对偶的 SISO 系统传递函数完全相同（ $G_2(s) = G_1(s)$ ）。
Kalman 对偶原理（Duality Principle）：
- 系统 $\Sigma_1$ 状态完全能控 $\iff$ 其对偶系统 $\Sigma_2$ 状态完全能观；
- 系统 $\Sigma_1$ 状态完全能观 $\iff$ 其对偶系统 $\Sigma_2$ 状态完全能控。

构造系统 $\Sigma_1$ 的状态能控性判别矩阵 $Q_c(\Sigma_1)$ ：

Q_c(\Sigma_1) = \begin{bmatrix} B_1 & A_1 B_1 & A_1^2 B_1 & \cdots & A_1^{n-1} B_1 \end{bmatrix}

构造对偶系统 $\Sigma_2$ 的状态能观性判别矩阵 $Q_o(\Sigma_2)$ ：

Q_o(\Sigma_2) = \begin{bmatrix} C_2 \\ C_2 A_2 \\ C_2 A_2^2 \\ \vdots \\ C_2 A_2^{n-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} B_1^T \\ B_1^T A_1^T \\ B_1^T (A_1^T)^2 \\ \vdots \\ B_1^T (A_1^T)^{n-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} B_1^T \\ (A_1 B_1)^T \\ (A_1^2 B_1)^T \\ \vdots \\ (A_1^{n-1} B_1)^T \end{bmatrix} = Q_c(\Sigma_1)^T

由于矩阵转置不改变矩阵的秩，故：

\text{rank}(Q_o(\Sigma_2)) = \text{rank}(Q_c(\Sigma_1)^T) = \text{rank}(Q_c(\Sigma_1))

因此， $\text{rank}(Q_c(\Sigma_1)) = n \iff \text{rank}(Q_o(\Sigma_2)) = n$ 。同理可证能观性与能控性的对偶等价。

解：

(1) 构建对偶系统 $\Sigma_2$ 依据对偶关系 $A_2 = A_1^T, B_2 = C_1^T, C_2 = B_1^T$ ：

A_2 = \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix}, \quad B_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad C_2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix}

对偶系统表达式为：

\dot{x}_2 = \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} x_2 + \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} u_2, \quad y_2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix} x_2

(2) 传递函数计算与验证

对于系统 $\Sigma_1$ ： $(sI - A_1)^{-1} = \begin{bmatrix} s & -1 \\ 2 & s + 3 \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{s^2 + 3s + 2} \begin{bmatrix} s + 3 & 1 \\ -2 & s \end{bmatrix}$ $G_1(s) = C_1 (sI - A_1)^{-1} B_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \frac{1}{s^2 + 3s + 2} \begin{bmatrix} s + 3 & 1 \\ -2 & s \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ $= \frac{1}{s^2 + 3s + 2} \begin{bmatrix} s + 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \frac{s + 5}{s^2 + 3s + 2}$
对于对偶系统 $\Sigma_2$ ： $(sI - A_2)^{-1} = \begin{bmatrix} s & 2 \\ -1 & s + 3 \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{s^2 + 3s + 2} \begin{bmatrix} s + 3 & -2 \\ 1 & s \end{bmatrix}$ $G_2(s) = C_2 (sI - A_2)^{-1} B_2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix} \frac{1}{s^2 + 3s + 2} \begin{bmatrix} s + 3 & -2 \\ 1 & s \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ $= \frac{1}{s^2 + 3s + 2} \begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s + 3 \\ 1 \end{bmatrix} = \frac{(s + 3) + 2}{s^2 + 3s + 2} = \frac{s + 5}{s^2 + 3s + 2}$ 显然 $G_2(s) = G_1(s)$ ，性质成立！

(3) 能控能观性判别与对偶验证

$\Sigma_1$ 的能控性与能观性：
- $Q_c(\Sigma_1) = \begin{bmatrix} B_1 & A_1 B_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -8 \end{bmatrix}, \det(Q_c) = -8 - 4 = -12 \neq 0 \implies$ 完全能控；
- $Q_o(\Sigma_1) = \begin{bmatrix} C_1 \\ C_1 A_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \det(Q_o) = 1 \neq 0 \implies$ 完全能观。
由对偶原理推导 $\Sigma_2$ ：
- 因为 $\Sigma_1$ 完全能控 $\implies$ 对偶系统 $\Sigma_2$ 状态完全能观；
- 因为 $\Sigma_1$ 完全能观 $\implies$ 对偶系统 $\Sigma_2$ 状态完全能控。

对偶变换转置遗漏：
- 构造对偶系统时，必须将 $A$ 矩阵转置（ $A_2 = A_1^T$ ）， $B$ 与 $C$ 互换并转置（ $B_2 = C_1^T, C_2 = B_1^T$ ）。常有考生只互换 $B, C$ 而忘记加转置符号 $T$ 。
MIMO 系统传递函数转置问题：
- 对于多输入多输出（MIMO）系统，对偶系统的传递函数矩阵是原系统传递函数矩阵的转置 $G_2(s) = G_1^T(s)$ ，维数由 $q \times p$ 变为 $p \times q$ ，并非直接相等。
对偶原理与对消现象的对称性：
- 若原系统 $\Sigma_1$ 存在不可控模态 $\lambda_0$ ，则对偶系统 $\Sigma_2$ 中 $\lambda_0$ 必然转变为不可观模态；
- 若原系统 $\Sigma_1$ 存在不可观模态 $\lambda_1$ ，则对偶系统 $\Sigma_2$ 中 $\lambda_1$ 必然转变为不可控模态。