8.2.6 随堂练习：状态空间描述的模拟结构图

练习题 1：由传递函数绘制对角型模拟结构图（无重极点）

1. 部分分式展开（求极点与留数）

分母因式分解为 $s^2 + 6s + 5 = (s + 1)(s + 5)$ 。设部分分式展开形式为：

G(s) = \frac{c_1}{s + 1} + \frac{c_2}{s + 5}

应用留数定理计算：

$c_1 = \left.(s + 1)G(s)\right|_{s = -1} = \left.\frac{2s + 1}{s + 5}\right|_{s = -1} = \frac{-1}{4} = -0.25$
$c_2 = \left.(s + 5)G(s)\right|_{s = -5} = \left.\frac{2s + 1}{s + 1}\right|_{s = -5} = \frac{-9}{-4} = 2.25$

故传递函数分解为：

G(s) = \frac{-0.25}{s + 1} + \frac{2.25}{s + 5}

系统特征值（极点）为 $\lambda_1 = -1,\ \lambda_2 = -5$ 。

2. 形式一（增益后置 / 观测权值分配）

拓扑绘制步骤：
1. 设置两条完全平行独立的一阶积分通道，积分器输入端分别为 $\dot{x}_1, \dot{x}_2$ ，输出端分别为状态变量 $x_1, x_2$ ；
2. 极点反馈：各通道构建局部负反馈回路，增益分别为 $1$ 与 $5$ ；
3. 控制输入：输入信号 $u(t)$ 均等分配注入两个通道的输入端加法器（ $b_1 = 1, b_2 = 1$ ）；
4. 观测输出：各状态变量经留数增益 $c_1 = -0.25$ （进入加法器负号端）与 $c_2 = 2.25$ 加权汇入输出加法器得到 $y$ 。
状态空间表达式： $\begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} u,\qquad y = \begin{bmatrix} -0.25 & 2.25 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$
绘制完成的模拟结构图：

8.2.6_例1对角型模拟结构图_形式一.png

3. 形式二（增益前置 / 控制权值分配）

拓扑绘制步骤：
1. 将留数系数 $-0.25$ 和 $2.25$ 前置分配给输入信号 $u(t)$ ，分别注入各通道积分器前端加法器；
2. 各积分器输出状态变量 $x_1, x_2$ 直接无权（增益为 $1$ ）汇入输出加法器： $y = x_1 + x_2$ 。
状态空间表达式： $\begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -0.25 \\ 2.25 \end{bmatrix} u,\qquad y = \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$
绘制完成的模拟结构图：

8.2.6_例1对角型模拟结构图_形式二.png

练习题 2：由传递函数绘制约旦型模拟结构图（含重极点）

1. 部分分式降幂展开

系统包含二重极点 $\lambda = -1$ 与单极点 $\lambda = -3$ 。设展开式为降幂排列形式：

G(s) = \frac{c_1}{(s + 1)^2} + \frac{c_2}{s + 1} + \frac{c_3}{s + 3}

展开系数计算：

二重极点最高次幂系数： $c_1 = \left.(s + 1)^2 G(s)\right|_{s = -1} = \left.\frac{s^2 + 6s + 8}{s + 3}\right|_{s = -1} = \frac{1 - 6 + 8}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$
二重极点一次幂系数： $c_2 = \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\left[(s + 1)^2 G(s)\right]\right|_{s = -1} = \left.\frac{(2s + 6)(s + 3) - (s^2 + 6s + 8)}{(s + 3)^2}\right|_{s = -1} = \frac{4 \times 2 - 3}{4} = \frac{5}{4} = 1.25$
单极点系数： $c_3 = \left.(s + 3)G(s)\right|_{s = -3} = \left.\frac{s^2 + 6s + 8}{(s + 1)^2}\right|_{s = -3} = \frac{9 - 18 + 8}{(-2)^2} = -\frac{1}{4} = -0.25$

故降幂展开式为：

G(s) = \frac{1.5}{(s + 1)^2} + \frac{1.25}{s + 1} - \frac{0.25}{s + 3}

2. 构建约旦串联链与状态空间表达式

状态变量标定原则：
1. 二重极点对应一个 $2 \times 2$ 约旦块，采用双积分器串联链：右侧积分器输出设为 $x_1$ ，左侧积分器输出设为 $x_2$ ；
2. 串联耦合关系： $\dot{x}_1 = -x_1 + x_2$ ， $\dot{x}_2 = -x_2 + u$ ；
3. 单极点独立通道：积分器输出设为 $x_3$ ，状态方程为 $\dot{x}_3 = -3x_3 + u$ ；
4. 输出方程：按降幂系数综合 $y = 1.5 x_1 + 1.25 x_2 - 0.25 x_3$ 。
矩阵表达式： $\begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \dot{x}_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} u,\qquad y = \begin{bmatrix} 1.5 & 1.25 & -0.25 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$

3. 绘制约旦型模拟结构图

绘制要领：
1. 上方重极点链：输入信号 $u(t)$ 仅注入最左端积分器（ $x_2$ 级）前端加法器； $x_2$ 的输出直连注入下一级（ $x_1$ 级）前端加法器形成链式级联；两级积分器分别带有 $-1$ 局部负反馈；
2. 下方独立支路：输入信号 $u(t)$ 注入 $x_3$ 级加法器，带 $-3$ 局部负反馈；
3. 输出端汇聚：从 $x_1, x_2, x_3$ 分别引出增益 $1.5, 1.25, -0.25$ （经 $0.25$ 比例放大器由负号端汇入）加法器合成总输出 $y$ 。
绘制完成的模拟结构图：

8.2.6_例2约旦型模拟结构图.png

练习题 3：由传递函数绘制能控型与能观型模拟结构图（含直通项）

1. 长除法分离直接前传项

G(s) = \frac{5(s^3 + 2s^2 + 3s + 5) + 10s^2 - 15s - 18}{s^3 + 2s^2 + 3s + 5} = 5 + \frac{10s^2 - 15s - 18}{s^3 + 2s^2 + 3s + 5}

提取系统特征参数：

直接前传项： $d = b_3 = 5 \implies \boldsymbol{D} = [5]$ ；
分母特征多项式系数： $a_2 = 2,\ a_1 = 3,\ a_0 = 5$ ；
严格真分式分子系数： $\beta_2 = 10,\ \beta_1 = -15,\ \beta_0 = -18$ 。

2. 能控标准型模拟结构图绘制与表达式

拓扑特征与绘制步骤：
1. 直通串联积分器链：从右向左依次设积分器输出为 $x_1, x_2, x_3$ （ $\dot{x}_1 = x_2,\ \dot{x}_2 = x_3$ ）；
2. 输入端总加法器反馈汇聚：各状态经分母系数 $a_0=5, a_1=3, a_2=2$ 汇聚为负反馈接回首端加法器： $\dot{x}_3 = -5x_1 - 3x_2 - 2x_3 + u$ ；
3. 输出端加权综合：由各状态引出分子系数支路（ $x_1 \to -18,\ x_2 \to -15,\ x_3 \to 10$ ）与输入直通项 $u \to 5$ 汇聚至输出加法器得到 $y$ 。
状态空间矩阵： $\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -5 & -3 & -2 \end{bmatrix},\quad \boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix},\quad \boldsymbol{C} = \begin{bmatrix} -18 & -15 & 10 \end{bmatrix},\quad \boldsymbol{D} = [5]$
绘制完成的模拟结构图：

8.2.6_例3能控型模拟结构图.png

3. 能观标准型模拟结构图绘制与表达式

拓扑特征与绘制步骤：
1. 分布式输入分配：输入 $u(t)$ 经分子系数 $\beta_0=-18, \beta_1=-15, \beta_2=10$ 分别注入各级加法器；
2. 输出端状态多路负反馈：由末级状态 $x_3$ 经分母系数 $a_0=5, a_1=3, a_2=2$ 分布式负反馈回各级加法器；
3. 状态级联：各级积分器之间嵌入加法器完成级联（中间耦合系数为 $-1$ ）；
4. 输出合成：末级状态 $x_3$ 直接引出，叠加直通项 $5u$ 得到 $y = x_3 + 5u$ 。
状态空间矩阵： $\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -5 \\ -1 & 0 & -3 \\ 0 & -1 & -2 \end{bmatrix},\quad \boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} 18 \\ 15 \\ 10 \end{bmatrix},\quad \boldsymbol{C} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},\quad \boldsymbol{D} = [5]$
绘制完成的模拟结构图：

8.2.6_例3能观型模拟结构图.png

4. 核心拓扑特征总结表

特征维度	能控标准型拓扑	能观标准型拓扑
积分器链结构	积分器直接无缝串联	积分器之间嵌入各级加法器
反馈汇聚点	各状态负反馈总汇聚于输入端主加法器	由末级输出状态 $x_3$ 分布式反馈至各级加法器
输入信号 $u$ 分配	仅注入第一个积分器前端加法器（及直通项）	经分子系数加权分布式注入每个积分器前端加法器
输出综合方式	各状态变量经分子系数加权汇聚至输出加法器	直接由末级积分器引出（叠加直通项 $d\cdot u$ ）
直通项 $d\cdot u$	自输入 $u$ 经增益 $d$ 前传直连输出加法器	自输入 $u$ 经增益 $d$ 前传直连输出加法器

ギターと孤独と蒼い惑星

8.2.6 随堂练习：状态空间描述的模拟结构图

8.2.6 随堂练习：状态空间描述的模拟结构图

练习题 1：由传递函数绘制对角型模拟结构图（无重极点）

练习题 2：由传递函数绘制约旦型模拟结构图（含重极点）

练习题 3：由传递函数绘制能控型与能观型模拟结构图（含直通项）

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