8.2.3 状态空间表达式的四大标准型（1）

一、导言与实现问题概述

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二、能控标准型（Controllable Canonical Form）

1. 传递函数的一般形式

设单输入单输出（SISO）系统的传递函数为：

$$G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{b_n s^n + b_{n-1}s^{n-1} + b_{n-2}s^{n-2} + \dots + b_1 s + b_0}{s^n + a_{n-1}s^{n-1} + a_{n-2}s^{n-2} + \dots + a_1 s + a_0}$$

若分子分母同阶（$m = n$），经长除法分离直接前传项 $b_n$：

$$G(s) = b_n + \frac{\beta_{n-1}s^{n-1} + \beta_{n-2}s^{n-2} + \dots + \beta_1 s + \beta_0}{s^n + a_{n-1}s^{n-1} + a_{n-2}s^{n-2} + \dots + a_1 s + a_0}$$

其中分子修正系数计算公式为：

$$\beta_i = b_i - b_n a_i \quad (i = 0, 1, \dots, n-1)$$

若原传递函数为严格真分式（$m < n$），则 $b_n = 0$，此时 $\beta_i = b_i$。

2. 能控标准型矩阵结构

系统的状态空间表达式为：

$$\begin{cases} \boldsymbol{\dot{x}} = \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} + \boldsymbol{B} u \\ y = \boldsymbol{C} \boldsymbol{x} + \boldsymbol{D} u \end{cases}$$

各矩阵的规范结构为：

$$\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \\ -a_0 & -a_1 & -a_2 & \dots & -a_{n-1} \end{bmatrix},\qquad \boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$ $$\boldsymbol{C} = \begin{bmatrix} \beta_0 & \beta_1 & \beta_2 & \dots & \beta_{n-1} \end{bmatrix},\qquad \boldsymbol{D} = [b_n]$$

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3. 能控标准型的严密推导

将传递函数分解为中间变量 $Z(s)$ 的两个子环节与一个直通通道：

1. 输入到中间变量 $Z(s)$： $$\frac{Z(s)}{U(s)} = \frac{1}{s^n + a_{n-1}s^{n-1} + \dots + a_1 s + a_0}$$
2. 中间变量 $Z(s)$ 到输出 $Y(s)$： $$Y(s) = (\beta_{n-1}s^{n-1} + \dots + \beta_1 s + \beta_0) Z(s) + b_n U(s)$$

由 $Z(s)$ 与 $U(s)$ 的关系展开为时域微分方程：

$$z^{(n)} + a_{n-1}z^{(n-1)} + \dots + a_1 \dot{z} + a_0 z = u(t)$$

输出方程对应时域形式：

$$y(t) = \beta_{n-1}z^{(n-1)} + \dots + \beta_1 \dot{z} + \beta_0 z + b_n u(t)$$

选取状态变量为中间变量 $z$ 及其各阶导数：

$$x_1 = z,\quad x_2 = \dot{z},\quad x_3 = \ddot{z},\quad \dots,\quad x_n = z^{(n-1)}$$

对各状态变量求导：

$$\begin{cases} \dot{x}_1 = x_2 \\ \dot{x}_2 = x_3 \\ \quad \vdots \\ \dot{x}_{n-1} = x_n \\ \dot{x}_n = z^{(n)} = -a_0 z - a_1 \dot{z} - \dots - a_{n-1}z^{(n-1)} + u = -a_0 x_1 - a_1 x_2 - \dots - a_{n-1} x_n + u \end{cases}$$

代入输出方程：

$$y = \beta_0 x_1 + \beta_1 x_2 + \dots + \beta_{n-1} x_n + b_n u$$

写成矩阵形式即严格得到能控标准型！

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三、能观标准型（Observable Canonical Form）

1. 能观标准型矩阵结构

对于相同的传递函数 $G(s)$，能观标准型的状态空间矩阵为：

$$\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \dots & 0 & -a_0 \\ 1 & 0 & \dots & 0 & -a_1 \\ 0 & 1 & \dots & 0 & -a_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 & -a_{n-1} \end{bmatrix},\qquad \boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} \beta_0 \\ \beta_1 \\ \beta_2 \\ \vdots \\ \beta_{n-1} \end{bmatrix}$$ $$\boldsymbol{C} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \end{bmatrix},\qquad \boldsymbol{D} = [b_n]$$

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2. 能观标准型的推导过程

对应时域微分方程（整理移项）：

$$\beta_{n-1}u^{(n-1)} + \dots + \beta_1 \dot{u} + \beta_0 u = y^{(n)} - b_n u^{(n)} + a_{n-1}(y^{(n-1)} - b_n u^{(n-1)}) + \dots + a_0(y - b_n u)$$

构造递推状态变量：

$$\begin{cases} x_n = y - b_n u \\ x_{n-1} = \dot{x}_n + a_{n-1}(y - b_n u) - \beta_{n-1}u \\ x_{n-2} = \dot{x}_{n-1} + a_{n-2}(y - b_n u) - \beta_{n-2}u \\ \quad \vdots \\ x_1 = \dot{x}_2 + a_1(y - b_n u) - \beta_1 u \end{cases}$$

展开各阶导数并代入微分方程，可得状态微分方程组：

$$\begin{cases} \dot{x}_1 = -a_0 x_n + \beta_0 u \\ \dot{x}_2 = x_1 - a_1 x_n + \beta_1 u \\ \dot{x}_3 = x_2 - a_2 x_n + \beta_2 u \\ \quad \vdots \\ \dot{x}_n = x_{n-1} - a_{n-1} x_n + \beta_{n-1} u \end{cases},\qquad y = x_n + b_n u$$

写成矩阵形式即证得能观标准型。

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四、列写标准型的“三大黄金准则”

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五、经典例题规范解析

例题 1：分子分母同阶系统（带直通项）

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例题 2：分母最高阶非首一化系统

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例题 3：严格真分式缺项系统