8.2.2 状态空间描述的模拟结构图

一、模拟结构图基本单元

8.2.2_模拟结构图基本元件.png

8.2.2_状态空间表达式系统框图.png

第一步（排布积分器）：
- 根据系统阶数（状态变量个数 $n$ ），从左至右画出 $n$ 个积分器单元（ $\frac{1}{s}$ ）；
- 每个积分器的输出端标为状态变量 $x_i(t)$ ，输入端标为导数 $\dot{x}_i(t)$ 。
第二步（构建积分链与状态方程反馈）：
- 展开状态方程中每一行： $\dot{x}_i = a_{i1}x_1 + a_{i2}x_2 + \dots + a_{in}x_n + b_i u$ ；
- 若 $\dot{x}_i = x_{i-1}$ （标准串联链），直接将上一级积分器输出连接至下一级输入；
- 若 $\dot{x}_i$ 包含多项代数和，则在 $\dot{x}_i$ 前设置加法器，引入各状态变量经过增益系数 $a_{ij}$ 的反馈支路以及输入 $u$ 经过增益 $b_i$ 的支路。
第三步（构建输出综合通道）：
- 展开输出方程： $y = c_1 x_1 + c_2 x_2 + \dots + c_n x_n + d u$ ；
- 在系统右侧放置输出加法器，引出各状态变量 $x_j$ 经比例增益 $c_j$ 汇入加法器；
- 若直通项 $d \neq 0$ ，引出输入信号 $u(t)$ 经增益 $d$ 直接汇入输出加法器。
第四步（检查信号流向与符号）：
- 仔细校对各加法器汇聚节点的正负号（特别是负反馈回路）及增益系数。

画积分器：系统阶数 $n=1$ ，画出 1 个积分器单元（ $\frac{1}{s}$ ），输出端标为状态变量 $x_1(t)$ ，输入端标为导数 $\dot{x}_1(t)$ 。
连接输入与状态反馈支路（得状态方程）：
- 根据 $\dot{x}_1 = -a x_1 + b u$ ，在积分器输入端放置加法器；
- 输入信号 $u(t)$ 经过比例增益放大器 $b$ 接入加法器（正号 $+$ ）；
- 状态量 $x_1(t)$ 从积分器输出端引出，经过比例增益放大器 $a$ 负反馈接入加法器（负号 $-$ ）。
连接输出与前传直通支路（得输出方程）：
- 根据 $y = c x_1 + d u$ ，在系统右侧设置输出端加法器；
- 状态量 $x_1(t)$ 经过比例增益放大器 $c$ 接入输出加法器（正号 $+$ ）；
- 输入信号 $u(t)$ 经过比例增益放大器 $d$ 前传直接接入输出加法器（正号 $+$ ），汇聚得到系统总输出 $y(t)$ 。

绘制完成的标准模拟结构图如下：

8.2.2_例1一阶系统模拟结构图.png

已知某三阶系统的状态空间表达式为：

\begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \dot{x}_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -a_1 & -a_2 & -a_3 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} u,\qquad y = \begin{bmatrix} c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}

对应展开为一阶微分方程组：

\begin{cases} \dot{x}_1(t) = -a_1 x_1(t) - a_2 x_2(t) - a_3 x_3(t) + u(t) \\[4pt] \dot{x}_2(t) = x_1(t) \\[4pt] \dot{x}_3(t) = x_2(t) \end{cases},\qquad y(t) = c_1 x_1(t) + c_2 x_2(t) + c_3 x_3(t)

试绘制该系统的模拟结构图。

排布积分器：系统阶数 $n=3$ ，从左至右并排绘制 3 个积分器单元（ $\frac{1}{s}$ ），输出端依次标为状态变量 $x_1, x_2, x_3$ ，输入端依次标为导数 $\dot{x}_1, \dot{x}_2, \dot{x}_3$ 。
连接积分串联链：
- 第二行方程 $\dot{x}_2 = x_1$ ：将第一积分器输出 $x_1$ 直接直连到第二积分器输入端 $\dot{x}_2$ ；
- 第三行方程 $\dot{x}_3 = x_2$ ：将第二积分器输出 $x_2$ 直接直连到第三积分器输入端 $\dot{x}_3$ 。
连接主输入加法器与多状态反馈回路：
- 第一行方程 $\dot{x}_1 = -a_1 x_1 - a_2 x_2 - a_3 x_3 + u$ ：在第一积分器输入端放置加法器；
- 输入信号 $u(t)$ 接入加法器（正号 $+$ ）；
- 分别从 $x_1, x_2, x_3$ 引出支路，经过比例增益 $a_1, a_2, a_3$ 汇聚为总负反馈回路（接入加法器负号端 $-$ ）。
构建输出通道：
- 根据输出方程 $y = c_1 x_1 + c_2 x_2 + c_3 x_3$ ：在系统最右端放置输出加法器，分别从 $x_1, x_2, x_3$ 引出信号经增益 $c_1, c_2, c_3$ 汇聚（均为正号 $+$ ）得到总输出 $y(t)$ 。

绘制完成的标准模拟结构图如下：

8.2.2_例2三阶系统模拟结构图.png