8.2.4 状态空间表达式的四大标准型（2）

一、对角标准型（Diagonal Canonical Form）

1. 适用条件与部分分式展开

对角标准型适用于系统特征方程具有 $n$ 个互不相同的单实极点（无重根）的情形。 设系统的传递函数为：

$$G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = b_n + \sum_{i=1}^n \frac{c_i}{s - \lambda_i}$$

式中，$\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$ 为系统的 $n$ 个互异单实极点（即系统矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值），$c_i$ 为对应极点的留数。

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2. 对角标准型的两种规范形式

系统的状态空间表达式具有两种完全等价的标准形式：

形式一：增益后置型（经典形式，留数置于观测矩阵 $\boldsymbol{C}$）

$$\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & \lambda_n \end{bmatrix},\qquad \boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}$$ $$\boldsymbol{C} = \begin{bmatrix} c_1 & c_2 & \dots & c_n \end{bmatrix},\qquad \boldsymbol{D} = [b_n]$$

形式二：增益前置型（对偶形式，留数置于控制矩阵 $\boldsymbol{B}$）

$$\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & \lambda_n \end{bmatrix},\qquad \boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix}$$ $$\boldsymbol{C} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 \end{bmatrix},\qquad \boldsymbol{D} = [b_n]$$

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3. 对角标准型的详细推导

由系统输出表达式：

$$Y(s) = \sum_{i=1}^n \frac{c_i}{s - \lambda_i} U(s) + b_n U(s)$$

形式一推导（选取无增益状态变量）

令状态变量的 Laplace 变换为：

$$X_i(s) = \frac{1}{s - \lambda_i} U(s) \implies (s - \lambda_i) X_i(s) = U(s)$$

拉普拉斯反变换求时域微分方程：

$$\dot{x}_i(t) = \lambda_i x_i(t) + u(t) \quad (i = 1, 2, \dots, n)$$

输出方程为：

$$y(t) = \sum_{i=1}^n c_i x_i(t) + b_n u(t) = c_1 x_1 + c_2 x_2 + \dots + c_n x_n + b_n u$$

写成矩阵形式即证得形式一。

形式二推导（选取含增益状态变量）

令状态变量为：

$$X_i(s) = \frac{c_i}{s - \lambda_i} U(s) \implies \dot{x}_i(t) = \lambda_i x_i(t) + c_i u(t)$$

输出方程为：

$$y(t) = \sum_{i=1}^n x_i(t) + b_n u(t) = x_1 + x_2 + \dots + x_n + b_n u$$

写成矩阵形式即证得形式二。

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4. 经典例题精讲（对角标准型）

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二、约旦标准型（Jordan Canonical Form）

1. 适用条件与部分分式展开（降幂排列）

当系统特征方程包含重实极点（多重根）时，无法化为纯对角阵，此时应建立约旦标准型。 设系统具有 $n$ 重实极点 $\lambda$，其传递函数展开为（注意：分母阶次必须从高到低降幂排列）：

$$Y(s) = b_n U(s) + \left[ \frac{c_1}{(s - \lambda)^n} + \frac{c_2}{(s - \lambda)^{n-1}} + \dots + \frac{c_n}{s - \lambda} \right] U(s)$$

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2. 约旦标准型矩阵结构（约旦块）

系统状态空间矩阵具有**约旦块（Jordan Block）**的规范形式：

$$\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} \lambda & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \dots & 0 & \lambda \end{bmatrix},\qquad \boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$ $$\boldsymbol{C} = \begin{bmatrix} c_1 & c_2 & \dots & c_n \end{bmatrix},\qquad \boldsymbol{D} = [b_n]$$

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3. 约旦标准型的链式递推推导

令状态变量依次为：

$$\begin{cases} X_1(s) = \frac{1}{(s - \lambda)^n} U(s) \\ X_2(s) = \frac{1}{(s - \lambda)^{n-1}} U(s) \\ \quad \vdots \\ X_n(s) = \frac{1}{s - \lambda} U(s) \end{cases}$$

观察状态变量之间的级联递推关系：

$$\begin{cases} X_1(s) = \frac{1}{s - \lambda} X_2(s) \implies (s - \lambda)X_1(s) = X_2(s) \implies \dot{x}_1 = \lambda x_1 + x_2 \\ X_2(s) = \frac{1}{s - \lambda} X_3(s) \implies (s - \lambda)X_2(s) = X_3(s) \implies \dot{x}_2 = \lambda x_2 + x_3 \\ \quad \vdots \\ X_{n-1}(s) = \frac{1}{s - \lambda} X_n(s) \implies \dot{x}_{n-1} = \lambda x_{n-1} + x_n \\ X_n(s) = \frac{1}{s - \lambda} U(s) \implies (s - \lambda)X_n(s) = U(s) \implies \dot{x}_n = \lambda x_n + u \end{cases}$$

代入输出表达式：

$$y = c_1 x_1 + c_2 x_2 + \dots + c_n x_n + b_n u$$

写成矩阵形式即严格证得约旦标准型！

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三、经典例题规范解析（约旦标准型）

例题 2：二阶重极点系统

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例题 3：二阶重极点与一阶单极点复合系统

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例题 4：高阶多重极点复合系统（五阶系统）

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附录：部分分式展开的高效计算技巧（考研必备）

在将传递函数转化为对角标准型与约旦标准型时，部分分式展开是核心计算步骤。传统求导公式容易在考场上耗费大量时间且极易出错，推荐掌握以下两类极速求解技巧：

1. 互异单实根 —— 留数法（遮根法）

对于分母中的一次因式 $(s - \lambda_i)$，其对应的留数（待定系数）$c_i$ 采用遮根法求解：

$$c_i = \left. (s - \lambda_i) G(s) \right|_{s = \lambda_i}$$

口诀：“求谁遮谁，代根求解”

计算系数 $c_i$ 时，用手遮住原式分母中的 $(s - \lambda_i)$ 项，将其余部分的 $s$ 全部替换为对应极点 $\lambda_i$。

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2. 重实根 —— 最高次遮根 + 极限法 / 特值法（免求导秒杀）

设含有 $m$ 重极点 $\lambda$ 与单极点 $p$ 的传递函数按降幂展开为：

$$G(s) = \frac{N(s)}{(s - \lambda)^m (s - p)} = \frac{c_1}{(s - \lambda)^m} + \frac{c_2}{(s - \lambda)^{m-1}} + \dots + \frac{c_m}{s - \lambda} + \frac{d}{s - p}$$

常规高阶导数公式 $\frac{1}{(k-1)!} \frac{\mathrm{d}^{k-1}}{\mathrm{d}s^{k-1}}[(s-\lambda)^m G(s)]$ 计算量极大。推荐两步极速求解法：

第一步：遮根法秒杀“最高次重根项”与“单实根项”

• 最高次重根项系数 $c_1$：遮住分母 $(s - \lambda)^m$，令 $s = \lambda$： $$c_1 = \left. (s - \lambda)^m G(s) \right|_{s = \lambda}$$
• 单根项系数 $d$：遮住分母 $(s - p)$，令 $s = p$： $$d = \left. (s - p) G(s) \right|_{s = p}$$

第二步：极限法或特值法速求“次高阶项系数”（彻底免求导）

• 极限法（推荐）：等式两边同乘以 $s$，并令 $s \to \infty$： $$\lim_{s\to\infty} s G(s) = c_m + d \quad (\text{所有一阶项系数之和等于最高次项系数比})$$
• 特值法：在等式两边代入一个易算特殊值（如 $s = 0$ 或 $s = 1$），直接解出未知的 $c_2, \dots, c_{m-1}$。

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3. 实战范例演示（对应例 3）

题目：展开 $G(s) = \frac{4s^2 + 17s + 16}{(s+2)^2 (s+3)} = \frac{c_1}{(s+2)^2} + \frac{c_2}{s+2} + \frac{c_3}{s+3}$

1. 遮根法求最高次项与单根项：

   • 求 $c_1$（最高重项）：遮住 $(s+2)^2$，代入 $s = -2$： $$c_1 = \left. \frac{4s^2 + 17s + 16}{s+3} \right|_{s = -2} = \frac{4(4) - 34 + 16}{1} = -2$$
   • 求 $c_3$（单根项）：遮住 $(s+3)$，代入 $s = -3$： $$c_3 = \left. \frac{4s^2 + 17s + 16}{(s+2)^2} \right|_{s = -3} = \frac{4(9) - 51 + 16}{(-1)^2} = 1$$

2. 极限法秒求次高阶项 $c_2$：

   • 两边同乘以 $s$ 并令 $s \to \infty$： $$\lim_{s\to\infty} s G(s) = \lim_{s\to\infty} \frac{4s^3 + \dots}{s^3 + \dots} = 4$$
   • 展开式右端乘以 $s$ 取极限后只有一阶项保留：$c_2 + c_3 = 4 \implies c_2 + 1 = 4 \implies c_2 = 3$。

$$\implies G(s) = \frac{-2}{(s+2)^2} + \frac{3}{s+2} + \frac{1}{s+3}$$