8.2.1 状态空间描述的基础知识

一、核心考点与理论精要

1. 基本概念

状态（State）：系统在时间演化过程中的动态行为表征，包含确定系统未来行为所需的最小一组历史信息。
状态变量（State Variables）：确定动态系统状态的最小数目的一组变量，记为 $x_1(t), x_2(t), \dots, x_n(t)$ 。状态变量必须是线性无关的独立变量。
状态向量（State Vector）：由 $n$ 个状态变量组成的时域列向量： $x(t) = \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \\ \vdots \\ x_n(t) \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^n$
状态空间（State Space）：以 $n$ 个状态变量为坐标轴构成的 $n$ 维欧几里得空间 $\mathbb{R}^n$ 。系统在任何时刻的状态对应空间中的一个点，随时间推移构成的轨迹称为状态轨迹（State Trajectory）。

8.2.1_状态空间与状态轨迹.png

2. 状态空间表达式的标准形式

系统的动态行为由**一阶微分方程组（状态方程）和代数方程组（输出方程）**共同描述：

\begin{cases} \dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t) & \text{（状态方程,\quad 反映系统内部动态演化）} \\[6pt] y(t) = Cx(t) + Du(t) & \text{（输出方程,\quad 反映内部状态对外部测量的映射）} \end{cases}

矩阵维度与物理含义对照表：

矩阵符号	名称	维度	物理/数学含义
$x(t)$	状态向量	$n \times 1$	系统的内部状态变量集合
$u(t)$	输入（控制）向量	$p \times 1$	外部输入激励信号
$y(t)$	输出（测量）向量	$q \times 1$	外部可观测输出信号
$A$	系统矩阵（状态矩阵）	$n \times n$	表征系统内部各状态间的自主耦合关系
$B$	输入矩阵（控制矩阵）	$n \times p$	表征输入对各状态变化率的驱动作用
$C$	输出矩阵（观测矩阵）	$q \times n$	表征状态对输出响应的线性组合映射
$D$	直接转移矩阵（前传矩阵）	$q \times p$	表征输入直接前传到输出的直通分量（常为 0）

二、典型物理系统建模（方法论与 RLC 电路分析）

1. 物理系统建模通用方法与选元口诀

第一步：选取状态变量（选元口诀与阶数判定）
- 阶数判定：独立储能元件的个数 = 系统阶数 $n$ = 状态变量个数。
- 电路系统选元口诀：电容选电压 $u_C$ ，电感选电流 $i_L$ （因为储能元件能量连续，电容电压与电感电流不可突变）。
- 机械系统选元口诀：弹簧选形变位移 $x$ （弹性势能），质量块选运动速度 $v$ （动能）。
第二步：列微分方程（求状态方程 $\dot{x} = Ax + Bu$ ）
- 根据物理定律（电路遵循 KVL/KCL、力学遵循牛顿第二定律）列写动态微分方程；
- 核心目标：将每个状态变量的一阶导数 $\dot{x}_i$ 单独解出，整理为状态变量 $x_1, \dots, x_n$ 与输入 $u$ 的线性组合。
第三步：列代数方程（求输出方程 $y = Cx + Du$ ）
- 根据题目指定的物理输出量 $y(t)$ ，通过代数关系直接用状态量 $x(t)$ 与输入量 $u(t)$ 表达，提取系数矩阵 $C$ 与 $D$ 。

在电路系统建立状态空间模型时，状态变量通常选取储能元件的独立状态量（电容电压 $u_C$ 与电感电流 $i_L$ ）：

电容元件（Capacitor, $C$ ）：
- 伏安特性（微分形式）： $i_C(t) = C \frac{\mathrm{d}u_C(t)}{\mathrm{d}t} \iff \dot{u}_C(t) = \frac{1}{C} i_C(t)$
- 状态变量选取原则：电容两端电压 $u_C(t)$ 不能跃变（能量连续），优先选取电容电压 $u_C$ 作为状态变量。
电感元件（Inductor, $L$ ）：
- 伏安特性（微分形式）： $u_L(t) = L \frac{\mathrm{d}i_L(t)}{\mathrm{d}t} \iff \dot{i}_L(t) = \frac{1}{L} u_L(t)$
- 状态变量选取原则：流过电感的电流 $i_L(t)$ 不能跃变（能量连续），优先选取电感电流 $i_L$ 作为状态变量。

2. 经典算例：RLC 串联电路建模

8.2.1_RLC电路示意图.png

第一步：选取状态变量与输入/输出变量

状态变量：独立储能元件储存的能量（电感磁场能 $\frac{1}{2}L i_L^2$ 、电容电场能 $\frac{1}{2}C u_C^2$ ）决定系统阶数 $n=2$ ： $x_1(t) = u_C(t) \quad \text{（电容两端电压）},\qquad x_2(t) = i_L(t) \quad \text{（流过电感电流）}$
输入变量： $u(t)$ 为外部输入的总激励电压（标量输入）。
输出变量： $y(t) = u_C(t) = x_1(t)$ 。

第二步：根据元件伏安特性列写一阶微分方程

电容支路： $i_C = C \frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} = i_L \implies \dot{x}_1 = \frac{1}{C} x_2$
KVL 回路方程（各元件分压之和等于外加总输入电压 $u(t)$ ）： $\underbrace{u_L(t)}_{L \frac{\mathrm{d}i_L}{\mathrm{d}t}} + \underbrace{u_R(t)}_{R i_L} + \underbrace{u_C(t)}_{x_1} = \underbrace{u(t)}_{\text{外部输入总电压}}$ 代入状态变量 $x_1, x_2$ 并整理，解出 $\dot{x}_2$ ： $\dot{x}_2 = -\frac{1}{L} x_1 - \frac{R}{L} x_2 + \frac{1}{L} u(t)$

第三步：整理为标准矩阵形式

\begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{C} \\[4pt] -\frac{1}{L} & -\frac{R}{L} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\[4pt] \frac{1}{L} \end{bmatrix} u(t)

输出方程为：

y(t) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} + 0 \cdot u(t)

对应系统矩阵为 $A = \begin{bmatrix} 0 & 1/C \\ -1/L & -R/L \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 0 \\ 1/L \end{bmatrix}, C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}, D = 0$ 。

ギターと孤独と蒼い惑星

8.2.1 状态空间描述的基础知识

8.2.1 状态空间描述的基础知识

一、核心考点与理论精要

1. 基本概念

2. 状态空间表达式的标准形式

二、典型物理系统建模（方法论与 RLC 电路分析）

1. 物理系统建模通用方法与选元口诀

2. 经典算例：RLC 串联电路建模

三、核心性质与避坑指南

Comments