线性系统与非线性系统的区别

本节课适用对象

• 零基础的学生
• 基础薄弱的学生

本节课所授知识点

• 线性系统与非线性系统的区别

重点提示

• 理解叠加性和齐次性的含义
• 本节课所涉及到的题目应做尽做

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• 按系统数学模型分类

  • 线性系统：由线性元件组成的自动控制系统，系统的运动规律能用线性微分方程描述。 $a_0 \frac{d^n}{dt^n}c(t) + a_1 \frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}}c(t) + \dots + a_{n-1}\frac{d}{dt}c(t) + a_n c(t) = b_0 \frac{d^m}{dt^m}r(t) + b_1 \frac{d^{m-1}}{dt^{m-1}}r(t) + \dots + b_{m-1}\frac{d}{dt}r(t) + b_m r(t)$
  • 非线性系统：含有一个或一个以上具有非线性特性的元件的自动控制系统。 $\frac{d^2 c(t)}{dt^2} + c(t)\frac{dc(t)}{dt} + c^2(t) = r(t)$

• 线性系统和非线性系统的区分 线性系统主要特点是：具有齐次性和叠加性（统称叠加原理）。

  输入信号	输出信号
  $r_1(t)$	$y_1(t)$
  $r_2(t)$	$y_2(t)$
  $a r_1(t) + b r_2(t)$	$a y_1(t) + b y_2(t)$

  $a$ 和 $b$ 为任意非零常数。

  非线性系统主要特点是：含有变量及导数的高次幂或乘积项等特点。

判断【线性 vs 非线性】的标准三步法

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• 例题 1 下式是描述系统的微分方程，其中 $c(t)$ 为输出量，$r(t)$ 为输入量，试判断是否线性系统？ $c(t) = r^2(t) + t \frac{d^2 r(t)}{dt^2}$

  解：当输入为 $r_1(t)$ 时，系统的输出为 $c_1(t) = r_1^2(t) + t \frac{d^2 r_1(t)}{dt^2}$ 当输入为 $r_2(t)$ 时，系统的输出为 $c_2(t) = r_2^2(t) + t \frac{d^2 r_2(t)}{dt^2}$ 当输入为 $r(t) = a r_1(t) + b r_2(t)$ 时，系统的输出为 $c(t) = r^2(t) + t \frac{d^2 r(t)}{dt^2}$ 代入可得如下形式 $c(t) = [a r_1(t) + b r_2(t)]^2 + t \frac{d^2 [a r_1(t) + b r_2(t)]}{dt^2}$ 然而 $a c_1(t) + b c_2(t) = a \left[ r_1^2(t) + t \frac{d^2 r_1(t)}{dt^2} \right] + b \left[ r_2^2(t) + t \frac{d^2 r_2(t)}{dt^2} \right]$ 经检验 $c(t) \neq a c_1(t) + b c_2(t)$，该系统为非线性系统。

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• 例题 2 下式是描述系统的微分方程，其中 $c(t)$ 为输出量，$r(t)$ 为输入量，试判断是否线性系统？ $c(t) = r(t) + 5$

  解：当输入为 $r_1(t)$ 时，系统的输出为 $c_1(t) = r_1(t) + 5$ 当输入为 $r_2(t)$ 时，系统的输出为 $c_2(t) = r_2(t) + 5$ 当输入为 $r(t) = a r_1(t) + b r_2(t)$ 时，系统的输出为 $c(t) = r(t) + 5$ 代入可得如下形式 $c(t) = [a r_1(t) + b r_2(t)] + 5$ 然而 $a c_1(t) + b c_2(t) = a [r_1(t) + 5] + b [r_2(t) + 5] = a r_1(t) + b r_2(t) + 5(a+b)$ 经检验 $c(t) \neq a c_1(t) + b c_2(t)$，该系统为非线性系统。

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• 例题 3 下式是描述系统的微分方程，其中 $c(t)$ 为输出量，$r(t)$ 为输入量，试判断是否线性系统？ $c(t) = \cos\omega t \cdot r(t) + \dot{r}(t)$

  解：当输入为 $r_1(t)$ 时，系统的输出为 $c_1(t) = \cos\omega t \cdot r_1(t) + \dot{r}_1(t)$ 当输入为 $r_2(t)$ 时，系统的输出为 $c_2(t) = \cos\omega t \cdot r_2(t) + \dot{r}_2(t)$ 当输入为 $r(t) = a r_1(t) + b r_2(t)$ 时，系统的输出为 $c(t) = \cos\omega t \cdot r(t) + \dot{r}(t)$ 代入可得如下形式 $c(t) = \cos\omega t \cdot [a r_1(t) + b r_2(t)] + \frac{d[a r_1(t) + b r_2(t)]}{dt}$ 整理可得 $c(t) = a [\cos\omega t \cdot r_1(t) + \dot{r}_1(t)] + b [\cos\omega t \cdot r_2(t) + \dot{r}_2(t)]$ 经检验 $c(t) = a c_1(t) + b c_2(t)$，该系统为线性系统（注：属于线性时变系统）。

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• 例题 4 下式是描述系统的微分方程，其中 $c(t)$ 为输出量，$r(t)$ 为输入量，试判断是否线性系统？ $c(t) = \cos r(t) + \dot{r}(t)$

  解：当输入为 $r_1(t)$ 时，系统的输出为 $c_1(t) = \cos r_1(t) + \dot{r}_1(t)$ 当输入为 $r_2(t)$ 时，系统的输出为 $c_2(t) = \cos r_2(t) + \dot{r}_2(t)$ 当输入为 $r(t) = a r_1(t) + b r_2(t)$ 时，系统的输出为 $c(t) = \cos r(t) + \dot{r}(t)$ 代入可得如下形式 $c(t) = \cos[a r_1(t) + b r_2(t)] + \frac{d[a r_1(t) + b r_2(t)]}{dt}$ 然而 $a c_1(t) + b c_2(t) = a \cos r_1(t) + a \dot{r}_1(t) + b \cos r_2(t) + b \dot{r}_2(t)$ 经检验 $c(t) \neq a c_1(t) + b c_2(t)$，该系统为非线性系统。

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• 例题 5 下式是描述系统的微分方程，其中 $c(t)$ 为输出量，$r(t)$ 为输入量，试判断是否线性系统？ $c(t) = 3 r(t) + 6 \frac{dr(t)}{dt} + 5 \int_{-\infty}^t r(\tau) d\tau$

  解：当输入为 $r_1(t)$ 时，系统的输出为 $c_1(t) = 3 r_1(t) + 6 \frac{dr_1(t)}{dt} + 5 \int_{-\infty}^t r_1(\tau) d\tau$ 当输入为 $r_2(t)$ 时，系统的输出为 $c_2(t) = 3 r_2(t) + 6 \frac{dr_2(t)}{dt} + 5 \int_{-\infty}^t r_2(\tau) d\tau$ 当输入为 $r(t) = a r_1(t) + b r_2(t)$ 时，系统的输出为 $c(t) = 3 r(t) + 6 \frac{dr(t)}{dt} + 5 \int_{-\infty}^t r(\tau) d\tau$ 代入可得如下形式 $c(t) = 3 [a r_1(t) + b r_2(t)] + 6 \frac{d[a r_1(t) + b r_2(t)]}{dt} + 5 \int_{-\infty}^t [a r_1(\tau) + b r_2(\tau)] d\tau$ 整理可得 $c(t) = a \left[ 3 r_1(t) + 6 \frac{dr_1(t)}{dt} + 5 \int_{-\infty}^t r_1(\tau) d\tau \right] + b \left[ 3 r_2(t) + 6 \frac{dr_2(t)}{dt} + 5 \int_{-\infty}^t r_2(\tau) d\tau \right]$ 经检验 $c(t) = a c_1(t) + b c_2(t)$，该系统为线性系统。

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• 例题 6 试判断下式对应的系统是否线性系统？ $\ddot{r}(t) + e^{-at}\ddot{r}(t) + r(t)\dot{r}(t)$

  解：令 $y(t) = \ddot{r}(t) + e^{-at}\ddot{r}(t) + r(t)\dot{r}(t)$ 当其为 $r_1(t)$ 时，可得 $y_1(t) = \ddot{r}_1(t) + e^{-at}\ddot{r}_1(t) + r_1(t)\dot{r}_1(t)$ 当其为 $r_2(t)$ 时，可得 $y_2(t) = \ddot{r}_2(t) + e^{-at}\ddot{r}_2(t) + r_2(t)\dot{r}_2(t)$ 当 $r(t) = a r_1(t) + b r_2(t)$ 时，可得 $y(t) = \ddot{r}(t) + e^{-at}\ddot{r}(t) + r(t)\dot{r}(t)$ 代入可得 $y(t) = \frac{d^2 [a r_1(t) + b r_2(t)]}{dt^2} + e^{-at}\frac{d^2 [a r_1(t) + b r_2(t)]}{dt^2} + [a r_1(t) + b r_2(t)] \frac{d[a r_1(t) + b r_2(t)]}{dt}$ 然而 $a y_1(t) + b y_2(t) = a [\ddot{r}_1(t) + e^{-at}\ddot{r}_1(t) + r_1(t)\dot{r}_1(t)] + b [\ddot{r}_2(t) + e^{-at}\ddot{r}_2(t) + r_2(t)\dot{r}_2(t)]$ 经检验 $y(t) \neq a y_1(t) + b y_2(t)$（交叉项相乘产生非线性），该系统为非线性系统。

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• 例题 7 下式是描述系统的微分方程，试判断是否线性系统？ $\ddot{y}(t) + e^{-t}\dot{y}(t) = t \dot{r}(t) + r(t)$

  解：令 $m(t) = \ddot{y}(t) + e^{-t}\dot{y}(t)$ 当为 $y_1(t)$ 时，可得 $m_1(t) = \ddot{y}_1(t) + e^{-t}\dot{y}_1(t)$ 当为 $y_2(t)$ 时，可得 $m_2(t) = \ddot{y}_2(t) + e^{-t}\dot{y}_2(t)$ 当为 $y(t) = a y_1(t) + b y_2(t)$ 时，可得 $m(t) = \ddot{y}(t) + e^{-t}\dot{y}(t)$ 代入可得 $m(t) = \frac{d^2 [a y_1(t) + b y_2(t)]}{dt^2} + e^{-t}\cdot \frac{d [a y_1(t) + b y_2(t)]}{dt}$ 整理为 $m(t) = a [\ddot{y}_1(t) + e^{-t}\dot{y}_1(t)] + b [\ddot{y}_2(t) + e^{-t}\dot{y}_2(t)] = a m_1(t) + b m_2(t)$ 令 $n(t) = t \dot{r}(t) + r(t)$ 当为 $r_1(t)$ 时，可得 $n_1(t) = t \dot{r}_1(t) + r_1(t)$ 当为 $r_2(t)$ 时，可得 $n_2(t) = t \dot{r}_2(t) + r_2(t)$ 当 $r(t) = a r_1(t) + b r_2(t)$ 时，可得 $n(t) = t \dot{r}(t) + r(t)$ 代入可得 $n(t) = t \frac{d [a r_1(t) + b r_2(t)]}{dt} + [a r_1(t) + b r_2(t)]$ 整理为 $n(t) = a [t \dot{r}_1(t) + r_1(t)] + b [t \dot{r}_2(t) + r_2(t)] = a n_1(t) + b n_2(t)$ 综上所述，左端输出算子与右端输入算子均满足叠加原理，该系统为线性系统。

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• 例题 8 下式是描述系统的微分方程，其中 $c(t)$ 为输出量，$r(t)$ 为输入量，试判断是否线性系统？ $$$$

**解**：当 **$0 \le t < 6$** 时， 当输入为 $r_1(t)$ 时，系统的输出为 **$c_1(t) = 0$** 当输入为 $r_2(t)$ 时，系统的输出为 **$c_2(t) = 0$** 当系统的输入为 $r(t) = a r_1(t) + b r_2(t)$ 系统的输出为 **$c(t) = 0$** 经检验 $c(t) = a c_1(t) + b c_2(t) = 0$，该部分为**线性** 当 **$t \ge 6$** 时， 当输入为 $r_1(t)$ 时，系统的输出为 **$c_1(t) = r_1(t)$** 当输入为 $r_2(t)$ 时，系统的输出为 **$c_2(t) = r_2(t)$** 当系统的输入为 $$r(t) = a r_1(t) + b r_2(t)$$ 系统的输出为 $$c(t) = r(t) = a r_1(t) + b r_2(t)$$ 经检验 $c(t) = a c_1(t) + b c_2(t)$，该部分**亦满足叠加原理（线性）**。 综上所述，**在全部定义域内均满足叠加原理，故该系统为线性系统**。