1.7 定常系统与时变系统的区分

一、课程总览

二、前情回顾与数学定义

定常系统（时不变系统）：
如果系统的参数不随时间变化，则称为定常系统。其输入输出关系式（微分方程）中的系数均为常数。
例如：
$y(t) = r(t) + 2\frac{\mathrm{d}r(t)}{\mathrm{d}t} + 3\frac{\mathrm{d}^2r(t)}{\mathrm{d}t^2}$
（式中系数 $1, 2, 3$ 均为常数）。
时变系统：
如果系统的某些参数随时间发生变化，则称为时变系统。其输入输出关系式中包含显含时间 $t$ 的时变系数。
例如：
$y(t) = r(t) + \cos(\omega t) \frac{\mathrm{d}r(t)}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}^2r(t)}{\mathrm{d}t^2}$
（系数中显含时变函数 $\cos\omega t$ ）。

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三、严格判定流程与判据

路径 1（先时移后经系统）：
输入信号 $r(t)$ 先经过时移环节延迟 $\tau$ ，得到新输入 $r_1(t) = r(t-\tau)$ ，再送入系统 $S$ ，计算得到输出：
$y_1(t) = S[r(t-\tau)]$
路径 2（先经系统后时移）：
输入信号 $r(t)$ 先送入系统 $S$ 得到正常输出 $y(t) = S[r(t)]$ ，再将整体输出信号延迟 $\tau$ （即将输出表达式中的所有自变量时间 $t$ 统一替换为 $t-\tau$ ），得到：
$y_2(t) = y(t-\tau)$
判据准则：
- 若对任意输入信号 $r(t)$ 及任意时间延迟 $\tau$ ，恒有 $y_1(t) \equiv y_2(t)$ ，则系统为定常系统；
- 若存在输入信号或延迟 $\tau$ 使得 $y_1(t) \neq y_2(t)$ ，则系统为时变系统。

四、讲义经典例题精析

例题 1

题目： 判断系统 $y(t) = r(t) + 2\frac{\mathrm{d}r(t)}{\mathrm{d}t} + 3\frac{\mathrm{d}^2r(t)}{\mathrm{d}t^2}$ 是否为定常系统。

解：

路径 1（先时移后经系统）：输入为 $r(t-\tau)$ ，输出为： $y_1(t) = r(t-\tau) + 2\frac{\mathrm{d}r(t-\tau)}{\mathrm{d}t} + 3\frac{\mathrm{d}^2r(t-\tau)}{\mathrm{d}t^2}$
路径 2（先经系统后时移）：将 $y(t)$ 中所有的 $t$ 替换为 $t-\tau$ ： $y_2(t) = y(t-\tau) = r(t-\tau) + 2\left.\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}\right|_{t-\tau} + 3\left.\frac{\mathrm{d}^2r}{\mathrm{d}t^2}\right|_{t-\tau}$
根据导数链式法则， $\frac{\mathrm{d}r(t-\tau)}{\mathrm{d}t} = \left.\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}\right|_{t-\tau}$ ，故： $y_1(t) = y_2(t)$
结论： 系统为定常系统。

例题 2

例题 3

题目： 判断系统 $y(t) = r(t) \cdot \cos\omega t$ 是否为定常系统。

解：

路径 1（先时移后经系统）：输入为 $r(t-\tau)$ ，系统乘上当前时刻的时变调制因子 $\cos\omega t$ ： $y_1(t) = r(t-\tau) \cdot \cos\omega t$
路径 2（先经系统后时移）：将 $y(t)$ 中的每一个时间变量 $t$ 均替换为 $t-\tau$ ： $y_2(t) = y(t-\tau) = r(t-\tau) \cdot \cos[\omega(t-\tau)]$
因 $\cos\omega t \neq \cos[\omega(t-\tau)]$ ，故 $y_1(t) \neq y_2(t)$ 。
结论： 系统为时变系统。

例题 4

例题 5

例题 6

例题 7

题目： 判断系统 $y(t) = r(2t)$ 是否为定常系统。

解：

路径 1（先时移后经系统）：
设延迟后的输入信号整体为 $r_1(t) = r(t-\tau)$ 。
系统算子将输入信号的时间自变量压缩两倍，即作用于 $2t$ ： $y_1(t) = r_1(2t) = r(2t - \tau)$
路径 2（先经系统后时移）：
原系统输出表达式为 $y(t) = r(2t)$ 。将其整体延迟 $\tau$ ，即将自变量 $t$ 替换为 $t-\tau$ ： $y_2(t) = y(t-\tau) = r(2(t-\tau)) = r(2t - 2\tau)$
当 $\tau \neq 0$ 时， $2t-\tau \neq 2t-2\tau$ ，导致 $y_1(t) \neq y_2(t)$ 。
结论： 系统为时变系统！
(高频易错点：时间轴的缩放尺度变换 $r(at)$ 会破坏系统的时不变性，属于时变系统。)

五、补充例题（酌情掌握）

补充例题 1

题目： 判断积分系统 $y(t) = \int_{-\infty}^t r(\lambda)\,\mathrm{d}\lambda$ 是否为定常系统。

解：设输入时移量为 $t_0$ 。

路径 1（先时移后经系统）：输入为 $r(t-t_0)$ ，输出为： $y_1(t) = \int_{-\infty}^t r(\lambda - t_0)\,\mathrm{d}\lambda$ 令变量替换 $u = \lambda - t_0$ ，则 $\mathrm{d}\lambda = \mathrm{d}u$ 。当 $\lambda \to -\infty$ 时 $u \to -\infty$ ；当 $\lambda = t$ 时 $u = t - t_0$ 。代入得： $y_1(t) = \int_{-\infty}^{t-t_0} r(u)\,\mathrm{d}u$
路径 2（先经系统后时移）：直接将输出 $y(t)$ 中的上限变量 $t$ 替换为 $t-t_0$ ： $y_2(t) = y(t-t_0) = \int_{-\infty}^{t-t_0} r(\lambda)\,\mathrm{d}\lambda$
积分哑元符号无关，因此 $y_1(t) = y_2(t)$ 。
结论： 积分系统为定常系统。

补充例题 2

题目： 判断分段系统是否为定常系统：

y(t) = \begin{cases} r(t), & t \le 1 \\[4pt] r(t) + \dot{r}(t), & t > 1 \end{cases}

解：

路径 1（先时移后经系统）：分段条件取决于当前绝对物理时间 $t$ ： $y_1(t) = \begin{cases} r(t-\tau), & t \le 1 \\[4pt] r(t-\tau) + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}r(t-\tau), & t > 1 \end{cases}$
路径 2（先经系统后时移）：对输出整体进行时移，所有出现的时间变量 $t$ 均变为 $t-\tau$ ： $y_2(t) = y(t-\tau) = \begin{cases} r(t-\tau), & t-\tau \le 1 \implies t \le 1+\tau \\[4pt] r(t-\tau) + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}r(t-\tau), & t-\tau > 1 \implies t > 1+\tau \end{cases}$
只要 $\tau \neq 0$ ，分段切换的临界时间点就不同（路径 1 为 $t=1$ ，路径 2 为 $t=1+\tau$ ）。在区间 $\min(1, 1+\tau) < t < \max(1, 1+\tau)$ 内， $y_1(t) \neq y_2(t)$ 。
结论： 系统为时变系统。

ギターと孤独と蒼い惑星

1.7 定常系统与时变系统的区分

1.7 定常系统与时变系统的区分

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二、前情回顾与数学定义

三、严格判定流程与判据

四、讲义经典例题精析

例题 1

例题 2

例题 3

例题 4

例题 5

例题 6

例题 7

五、补充例题（酌情掌握）

补充例题 1

补充例题 2

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