稳定裕度：定义、结论、推导与频率特性图

稳定裕度描述开环频率特性距离临界点 $(-1,j0)$ 还有多少余量：在增益交叉频率处看相位还能滞后多少，在相角交叉频率处看增益还能放大多少。

来源：用户提供的自动控制原理稳定裕度定义与公式推导，按“定义—结论—推导”重新编排。

验算：使用本地 MATLAB R2024b 与 Control System Toolbox 24.2 核对辅助示例的交叉频率、相角裕度、幅值裕度和单位负反馈闭环极点；两幅曲线均由 MATLAB 绘制，仅用于说明定义，不替代一般性解析推导。

一、定义

稳定裕度是指系统由当前稳定状态到达临界稳定状态时，开环频率特性所允许变化的余量。它用于衡量闭环系统的相对稳定性，通常包括相角裕度和幅值裕度。

设负反馈系统的开环传递函数为

$$L(s)=G(s)H(s),$$

开环频率特性为

$$L(j\omega)=G(j\omega)H(j\omega).$$

1. 相角裕度

在增益交叉频率 $\omega_c$ 处，有

$$|L(j\omega_c)|=1.$$

相角裕度定义为该频率处开环相角与 $-180^\circ$ 之间的差值：

$$\boxed{\gamma=180^\circ+\angle L(j\omega_c)}.$$

其中，$\omega_c$ 称为截止频率或增益交叉频率。相角裕度表示：在开环幅值已经等于 $1$ 时，系统还允许增加多少相位滞后才到达临界稳定状态。

2. 幅值裕度

在相角交叉频率 $\omega_g$ 处，有

$$\angle L(j\omega_g)=-180^\circ.$$

幅值裕度定义为

$$\boxed{K_g=\frac{1}{|L(j\omega_g)|}}.$$

其中，$\omega_g$ 称为相角交叉频率。幅值裕度表示：在开环相角已经达到 $-180^\circ$ 时，开环增益还可以放大多少倍才到达临界稳定状态。

用分贝表示时，

$$\boxed{ h=20\lg K_g =-20\lg|L(j\omega_g)| }.$$

若定义开环对数幅频特性为

$$L_{\mathrm{dB}}(\omega)=20\lg|L(j\omega)|,$$

则

$$\boxed{h=-L_{\mathrm{dB}}(\omega_g)}.$$

二、结论

对于通常讨论的最小相位系统，闭环系统具有稳定裕度时一般要求

$$\boxed{\gamma>0,\qquad K_g>1},$$

或用分贝表示为

$$\boxed{\gamma>0,\qquad h>0\ \mathrm{dB}}.$$

稳定裕度越大，系统的相对稳定性通常越好。两种裕度的读取规则可归纳如下：

裕度	先确定的交叉条件	再读取的量	裕度公式
相角裕度 $\gamma$	$	L(j\omega_c)	=1$
幅值裕度 $K_g$	$\angle L(j\omega_g)=-180^\circ$	$	L(j\omega_g)
分贝幅值裕度 $h$	$\angle L(j\omega_g)=-180^\circ$	对数幅值到 $0\ \mathrm{dB}$ 的差	$h=-20\lg

适用条件：以上“裕度为正通常对应稳定”的判据针对常见的负反馈最小相位系统。若系统存在右半平面开环极点、多个交叉频率或非最小相位环节，应结合完整的 Nyquist 判据判断，不能只凭裕度符号下结论。

三、奈奎斯特判据与稳定裕度的逻辑基础

稳定裕度并不是脱离稳定判据另外规定的经验量。它以奈奎斯特临界点 $(-1,j0)$ 为参照，分别度量奈氏曲线在“模已经达到临界值”和“相角已经达到临界值”时，距离该临界点还剩多少余量。

1. 奈奎斯特判据

采用常见教材中的包围方向符号约定：

$$\boxed{Z=P-N},$$

其中：

• $P$：开环传递函数 $L(s)$ 在右半 $s$ 平面内的极点数；
• $N$：完整奈奎斯特曲线对临界点 $(-1,j0)$ 的净包围次数；
• $Z$：闭环特征方程 $1+L(s)=0$ 在右半 $s$ 平面内的根数。

闭环稳定要求

$$\boxed{Z=0}.$$

符号说明：不同教材可能对顺时针、逆时针包围取相反正负号，从而把公式写成 $Z=P+N$。使用奈奎斯特判据时，必须让 $N$ 的方向定义与所用公式保持一致；本文采用 $Z=P-N$。

2. 为什么开环稳定时 $P=0$

连续时间线性定常系统的开环传递函数可写为

$$L(s)=\frac{N(s)}{D(s)}.$$

开环极点是分母方程

$$D(s)=0$$

的根。开环系统渐近稳定的条件是全部开环极点均位于左半 $s$ 平面，即对任意开环极点 $p_i$，都有

$$\operatorname{Re}(p_i)<0.$$

右半 $s$ 平面由

$$\operatorname{Re}(s)>0$$

定义，因此开环渐近稳定时，右半平面内不存在开环极点。而 $P$ 正是右半平面内开环极点的个数，所以

$$\boxed{\text{开环渐近稳定}\Longrightarrow P=0}.$$

当 $P=0$ 时，闭环稳定所要求的 $Z=0$ 等价于

$$\boxed{N=0},$$

即完整奈奎斯特曲线不能对临界点产生非零净包围。

注意：若开环系统在虚轴上存在极点，它不属于通常意义下的渐近稳定系统；应用奈奎斯特判据时，还需要用小半圆对虚轴极点进行绕避。

3. 幅值裕度为什么要求 $|L(j\omega_g)|<1$

相角交叉频率 $\omega_g$ 满足

$$\angle L(j\omega_g)=-180^\circ.$$

将该频率处的开环频率特性写成极坐标形式：

$$\begin{aligned} L(j\omega_g) &=|L(j\omega_g)|e^{-j180^\circ}\\ &=-|L(j\omega_g)|. \end{aligned}$$

令

$$A=|L(j\omega_g)|,$$

则

$$\boxed{L(j\omega_g)=-A}.$$

所以，相角为 $-180^\circ$ 时，奈氏曲线位于负实轴上，其坐标为 $(-A,0)$。根据 $A$ 与 $1$ 的关系，可以分成三种情况。

情况一：$0<A<1$

此时

$$-1<-A<0,$$

负实轴交点位于临界点 $(-1,0)$ 与原点之间。对于开环稳定、单一交叉且曲线形状常规的系统，完整奈氏曲线不包围临界点，于是

$$P=0,\qquad N=0,\qquad Z=P-N=0,$$

闭环系统稳定。

情况二：$A=1$

此时

$$L(j\omega_g)=-1,$$

奈氏曲线恰好经过临界点，因而

$$1+L(j\omega_g)=0.$$

闭环特征方程在 $s=j\omega_g$ 处成立，闭环系统存在虚轴极点，对应临界稳定。

情况三：$A>1$

此时

$$-A<-1,$$

负实轴交点位于临界点左侧。对于开环稳定、单一交叉且曲线形状常规的系统，正、负频率分支构成的完整奈氏曲线将对临界点产生非零净包围，因此

$$P=0,\qquad N\ne0,\qquad Z=P-N\ne0,$$

闭环系统不稳定。

为了使负实轴上的点 $-A$ 移到临界点 $-1$，需要将开环增益乘以 $K_g$：

$$K_gL(j\omega_g)=-1.$$

代入 $L(j\omega_g)=-A$，得到

$$-K_gA=-1,$$

所以

$$\boxed{K_g=\frac{1}{A}=\frac{1}{|L(j\omega_g)|}}.$$

若当前系统位于上述常规稳定侧，临界增益应大于当前增益，即

$$K_g>1.$$

因此

$$\boxed{|L(j\omega_g)|<1}.$$

4. 相角裕度为什么要求 $\angle L(j\omega_c)>-180^\circ$

增益交叉频率 $\omega_c$ 满足

$$|L(j\omega_c)|=1.$$

所以

$$L(j\omega_c)=e^{j\varphi_c}, \qquad \varphi_c=\arg L(j\omega_c),$$

即奈氏曲线在 $\omega=\omega_c$ 时位于以原点为圆心、半径为 $1$ 的单位圆上。

临界点也在单位圆上，因为

$$-1=e^{-j180^\circ}, \qquad |-1|=1.$$

因此在 $\omega_c$ 处，当前点与临界点的模已经相同；是否到达临界点只由相角决定。

情况一：$\varphi_c>-180^\circ$

可写成

$$\varphi_c=-180^\circ+\gamma, \qquad \gamma>0.$$

奈氏曲线已经到达单位圆，但尚未到达临界点；还允许增加大小为 $\gamma$ 的相位滞后，才会使相角变成 $-180^\circ$。对于开环稳定、单一常规交叉的系统，此时完整奈氏曲线不产生不允许的包围，闭环稳定。

情况二：$\varphi_c=-180^\circ$

此时

$$|L(j\omega_c)|=1, \qquad \arg L(j\omega_c)=-180^\circ,$$

所以

$$L(j\omega_c)=1\cdot e^{-j180^\circ}=-1.$$

奈氏曲线经过临界点，闭环特征方程在 $s=j\omega_c$ 处存在根，系统临界稳定。

情况三：$\varphi_c<-180^\circ$

可写成

$$\varphi_c=-180^\circ-\alpha, \qquad \alpha>0.$$

这表示正频率分支到达单位圆时，相角已经越过 $-180^\circ$ 方向。在开环稳定、单一交叉且曲线形状常规的条件下，完整奈氏曲线将对临界点产生非零净包围，闭环系统不稳定。

从当前相角到临界相角所允许增加的相位滞后量为

$$\begin{aligned} \gamma &=\varphi_c-(-180^\circ)\\ &=180^\circ+\arg L(j\omega_c). \end{aligned}$$

所以稳定侧要求

$$\boxed{\gamma>0}$$

等价于

$$\boxed{\arg L(j\omega_c)>-180^\circ}.$$

严格边界：单独观察 $\omega_c$ 或 $\omega_g$ 处的一个点，不能对所有复杂系统完成稳定性判断。存在右半平面开环极点、多个交叉频率、非常规奈氏曲线或非最小相位环节时，必须回到完整曲线的净包围次数，并结合 $P$ 判断 $Z$。

四、定义公式的代数推导

1. 临界稳定条件

闭环传递函数为

$$\Phi(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} =\frac{G(s)}{1+L(s)}.$$

因此，闭环系统的特征方程为

$$1+L(s)=0.$$

在频率域中令 $s=j\omega$，临界稳定条件为

$$1+L(j\omega)=0,$$

即

$$L(j\omega)=-1.$$

复数 $-1$ 的模和相角分别为

$$|-1|=1,\qquad \angle(-1)=-180^\circ.$$

所以，系统达到临界稳定时必须同时满足

$$|L(j\omega)|=1, \qquad \angle L(j\omega)=-180^\circ.$$

2. 相角裕度的推导

定义增益交叉频率 $\omega_c$ 满足

$$|L(j\omega_c)|=1.$$

此时开环频率特性的模已经达到临界稳定所要求的模值，因此系统距离临界稳定只剩相角条件。

设在 $\omega_c$ 处的开环相角为

$$\angle L(j\omega_c)=\varphi(\omega_c).$$

临界稳定相角为 $-180^\circ$。因此，从当前相角 $\varphi(\omega_c)$ 到临界相角 $-180^\circ$ 所允许增加的相位滞后为

$$\begin{aligned} \gamma &=\varphi(\omega_c)-(-180^\circ)\\ &=180^\circ+\varphi(\omega_c). \end{aligned}$$

所以

$$\boxed{\gamma=180^\circ+\angle L(j\omega_c)}.$$

若 $\gamma>0$，则在增益交叉频率处，开环相角尚未达到 $-180^\circ$。

3. 幅值裕度的推导

定义相角交叉频率 $\omega_g$ 满足

$$\angle L(j\omega_g)=-180^\circ.$$

此时开环频率特性的相角已经达到临界稳定所要求的相角，因此系统距离临界稳定只剩模值条件。

设在 $\omega_g$ 处的开环幅值为

$$A_g=|L(j\omega_g)|.$$

若将系统开环增益乘以正系数 $K_g$，则新的开环频率特性为

$$L_1(j\omega)=K_gL(j\omega).$$

在 $\omega_g$ 处达到临界稳定时，应有

$$|K_gL(j\omega_g)|=1.$$

由于 $K_g>0$，因此

$$K_g|L(j\omega_g)|=1.$$

解得

$$\boxed{K_g=\frac{1}{|L(j\omega_g)|}}.$$

若 $K_g>1$，表示开环增益还可以继续增大，系统才达到临界稳定。

4. 分贝形式的推导

幅值裕度用分贝表示为

$$h=20\lg K_g.$$

代入

$$K_g=\frac{1}{|L(j\omega_g)|},$$

得到

$$\begin{aligned} h &=20\lg\frac{1}{|L(j\omega_g)|}\\ &=-20\lg|L(j\omega_g)|. \end{aligned}$$

因此

$$\boxed{h=-20\lg|L(j\omega_g)|=-L_{\mathrm{dB}}(\omega_g)}.$$

五、极坐标平面中的相角裕度与幅值裕度

在 Nyquist 极坐标平面中，临界稳定点是 $(-1,j0)$。

• 增益交叉频率 $\omega_c$ 对应 Nyquist 曲线与单位圆的交点。该点的相角与负实轴方向 $-180^\circ$ 之间的夹角就是相角裕度 $\gamma$。
• 相角交叉频率 $\omega_g$ 对应 Nyquist 曲线与负实轴的交点。该点到原点的距离为 $|L(j\omega_g)|$，其倒数就是幅值裕度 $K_g$。

下面采用辅助示例

$$L(s)=\frac{1}{s(s+1)(s+2)}.$$

MATLAB 核对结果为

$$\omega_c\approx0.44575\ \mathrm{rad/s}, \qquad \gamma\approx53.4109^\circ,$$ $$\omega_g=\sqrt{2}\approx1.41421\ \mathrm{rad/s}, \qquad K_g=6, \qquad h\approx15.5630\ \mathrm{dB}.$$

图中绿色圆点是增益交叉点，紫色圆弧表示相角裕度；橙色方点是相角交叉点，其模为 $1/6$，把开环增益放大 $6$ 倍后该点到达临界点 $-1$。

六、对数坐标平面中的相角裕度与幅值裕度

在 Bode 对数坐标平面中：

• 先在幅频曲线上找 $0\ \mathrm{dB}$ 交叉点，得到 $\omega_c$；再在相频曲线上读取该频率处的相角，它到 $-180^\circ$ 的纵向差值就是相角裕度 $\gamma$。
• 先在相频曲线上找 $-180^\circ$ 交叉点，得到 $\omega_g$；再在幅频曲线上读取该频率处的分贝值，它到 $0\ \mathrm{dB}$ 的纵向差值就是幅值裕度 $h$。

对同一辅助示例，在 $\omega_c\approx0.44575\ \mathrm{rad/s}$ 处，幅值为 $0\ \mathrm{dB}$，相角约为 $-126.5891^\circ$，因此

$$\gamma =180^\circ-126.5891^\circ \approx53.4109^\circ.$$

在 $\omega_g\approx1.41421\ \mathrm{rad/s}$ 处，相角为 $-180^\circ$，幅值约为 $-15.5630\ \mathrm{dB}$，因此

$$h=-(-15.5630)\ \mathrm{dB} \approx15.5630\ \mathrm{dB}.$$

七、考场速记

1. 闭环临界稳定对应开环频率特性经过 $-1$ 点，即“模为 $1$、相角为 $-180^\circ$”同时成立。
2. 求相角裕度：先找 $|L|=1$ 的 $\omega_c$，再算 $\gamma=180^\circ+\angle L(j\omega_c)$。
3. 求幅值裕度：先找相角为 $-180^\circ$ 的 $\omega_g$，再算 $K_g=1/|L(j\omega_g)|$。
4. 分贝幅值裕度：$h=-20\lg|L(j\omega_g)|$，也就是相角交叉频率处的幅频曲线到 $0\ \mathrm{dB}$ 的距离。
5. 对常见最小相位系统，通常要求 $\gamma>0$、$K_g>1$，即 $h>0\ \mathrm{dB}$。
6. 裕度的正负是常规系统的快速判据；一般情形仍需计算开环右半平面极点数 $P$，并检查完整奈氏曲线的净包围次数 $N$。