频率响应分析：正弦输入下的稳态响应

一、研究目标

研究线性系统在正弦输入下的稳态响应（频率特性）。

输入：

$$r(t) = A\sin(\omega t)$$

目标：求输出的幅值变化与相位变化。

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二、核心方法：频域分析

把系统从时域转到频域。

1. 拉普拉斯传递函数

$$G(s) = \frac{1}{Ts + 1}$$

2. 正弦稳态分析的关键替换

$$s = j\omega$$

得到频率响应：

$$G(j\omega) = \frac{1}{1 + j\omega T}$$

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三、关键数学步骤

① 把复数写成极坐标形式

任意复数：

$$a + jb = re^{j\theta}$$

其中：

• $r = \sqrt{a^2 + b^2}$（幅值）
• $\theta = \arctan(b/a)$（相位）

② 应用于 $1 + j\omega T$

模长：

$$\sqrt{1 + (\omega T)^2}$$

相角：

$$\arctan(\omega T)$$

所以：

$$1 + j\omega T = \sqrt{1 + (\omega T)^2} \cdot e^{j\arctan(\omega T)}$$

③ 取倒数（系统是 $1/(\cdots)$）

$$G(j\omega) = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega T)^2}} \cdot e^{-j\arctan(\omega T)}$$

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四、最终结论

$$G(j\omega) = A(\omega) e^{j\varphi(\omega)}$$

幅值特性

$$A(\omega) = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega T)^2}}$$

相位特性

$$\varphi(\omega) = -\arctan(\omega T)$$

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五、物理意义

输出 = 输入正弦的”变形版”：

• 幅值被系统衰减（低频几乎不变，高频变小）
• 相位被延迟（输出滞后输入）

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六、一句话总结

将 $s = j\omega$ 代入传递函数后，用复数极坐标表示分解出幅值和相位，从而得到系统的频率响应。