6.4 恶心人的积分区域：摆线、星形线与绝对值

极坐标化：

• 曲线 I：$r^4=2r^2\cos 2\theta\Rightarrow r^2=2\cos 2\theta$（需 $\cos 2\theta\geq 0$，即 $\theta\in[0,\pi/4]\cup[3\pi/4,\pi]\cup\cdots$）
• 曲线 II：$r^4=2r^2\sin 2\theta\Rightarrow r^2=2\sin 2\theta$（需 $\sin 2\theta\geq 0$）

对称性分析： 被积函数 $f(x,y)=xy$ 满足 $f(-x,-y)=xy=f(x,y)$，关于原点对称（偶函数）。积分区域也关于原点对称。故

其中 $D_1$ 为第一象限部分：$0\leq\theta\leq\frac{\pi}{4}$，$0\leq r\leq\sqrt{2\cos 2\theta}$。

令 $u=\cos 2\theta$，$du=-2\sin 2\theta\,d\theta=-4\sin\theta\cos\theta\,d\theta$：

故 $I=2\times\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{6}$。

手稿批注：此题第二问在计算时，可利用 6.3.3 小节讲的”关于原点的对称性”。被积函数和积分区域都关于原点对称，底面相同，高度相同。

化为极坐标：$r^4=r^2\cos 2\theta$，即 $r^2=\cos 2\theta$。

区域 $D$：$0\leq\theta\leq\frac{\pi}{4}$，$0\leq r\leq\sqrt{\cos 2\theta}$。

令 $u=\cos 2\theta$，$du=-2\sin 2\theta\,d\theta$：

手稿批注：此题和例 6.20 极为相似。看到 $(x^2+y^2)^2=x^2-y^2$ 就条件反射转极坐标 $r^2=\cos 2\theta$。

参数化：$x=a(t-\sin t)$，$dx=a(1-\cos t)\,dt$，$y=a(1-\cos t)$：

展开 $(1-\cos t)^4$ 并逐项积分（或利用降幂公式），最终：

拆分为 $\iint_D x\,dx\,dy+\iint_D 2y\,dx\,dy$。

计算 $\iint_D 2y\,dx\,dy$：

计算 $\iint_D x\,dx\,dy$（利用对称性）：

区域 $D$ 关于 $x=\pi$ 对称（摆线一拱的对称轴），故形心 $\bar{x}=\pi$。

合并：

手稿批注：摆线区域关于 $x=\pi a$ 对称是天然成立的。遇到 $\iint_D x\,d\sigma$ 直接用形心 $\bar{x}=\pi a$ 乘以面积即可，不需要硬算。

对称性： 区域 $D$ 关于 $y$ 轴对称（$|x|\leq y$ 和 $(x^2+y^2)^3\leq y^4$ 均关于 $x$ 为偶）。

被积函数中 $\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 关于 $x$ 为奇函数，在对称区域上积分为 $0$。故

其中 $D_1$ 为 $D$ 在第一象限的部分。

极坐标化： $(x^2+y^2)^3\leq y^4$ 变为 $r^6\leq r^4\sin^4\theta$，即 $r\leq\sin^2\theta$。

$|x|\leq y$ 在第一象限即 $x\leq y$，即 $\theta\geq\frac{\pi}{4}$。故

计算：

令 $u=\cos\theta$：

故 $I=2\times\dfrac{43\sqrt{2}}{240}=\dfrac{43\sqrt{2}}{120}$。

极坐标化： $x^2+y^2-xy=r^2(1-\sin\theta\cos\theta)$，故两条曲线为

直线 $y=\sqrt{3}x$ 对应 $\theta=\frac{\pi}{3}$，$y=0$ 对应 $\theta=0$。故

计算：

分子分母同除 $\cos^2\theta$，令 $t=\tan\theta$：

手稿批注：$x^2+y^2-xy=d$ 就是椭圆！不要看到 $xy$ 项就害怕。极坐标下 $r^2(1-\sin\theta\cos\theta)=d$ 处理起来非常自然。