矩阵运算公式

1. 加法运算公式

设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 为同型矩阵，有：

(1) $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}+\boldsymbol{A}$，称为交换律。

(2) $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})+\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}+(\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C})$，称为结合律。

2. 数乘运算公式

设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为同型矩阵，$k,l$ 为数，有：

(1) $k(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})=k\boldsymbol{A}+k\boldsymbol{B}$。

(2) $(k+l)\boldsymbol{A}=k\boldsymbol{A}+l\boldsymbol{A}$。

(3) $(kl)\boldsymbol{A}=k(l\boldsymbol{A})$。

3. 乘法运算公式

设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 为矩阵，$k,l$ 为数，且以下运算都可行，有：

(1) $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C})=\boldsymbol{AB}+\boldsymbol{AC}$，$(\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C})\boldsymbol{A}=\boldsymbol{BA}+\boldsymbol{CA}$，称为分配律。

(2) $k(\boldsymbol{AB})=(k\boldsymbol{A})\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}(k\boldsymbol{B})$，称为数乘结合性。

(3) $(\boldsymbol{AB})\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}(\boldsymbol{BC})$，称为乘法结合律。

(4) $\boldsymbol{AE}=\boldsymbol{EA}=\boldsymbol{A}$，其中 $E$ 为同阶单位矩阵。

(5) $\boldsymbol{AO}=\boldsymbol{OA}=\boldsymbol{O}$，其中 $O$ 为同型零矩阵。

(6) $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{BA}-\boldsymbol{E})=(\boldsymbol{AB}-\boldsymbol{E})\boldsymbol{A}$。

4. 幂运算公式

设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵，$\boldsymbol{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵，$k,l$ 为正整数，有：

(1) $(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A})^k=\boldsymbol{E}+\mathrm{C}_k^1\boldsymbol{A}+\mathrm{C}_k^2\boldsymbol{A}^2+\cdots+\mathrm{C}_k^k\boldsymbol{A}^k$。

这里用到的是矩阵二项式定理。由于 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{E}$ 恒可交换，所以该公式成立。

(2) $(k\boldsymbol{A})^l=k^l\boldsymbol{A}^l$。

(3) $\boldsymbol{A}^k\boldsymbol{A}^l=\boldsymbol{A}^{k+l}$。

(4) $(\boldsymbol{A}^k)^l=\boldsymbol{A}^{kl}$。

(5) $(\boldsymbol{AB})^k=\boldsymbol{A}(\boldsymbol{BA})^{k-1}\boldsymbol{B}$。

若 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 是 $n$ 维列向量，且

$$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\beta}^\mathrm{T},$$

则对任意正整数 $m$ 有

$$\boldsymbol{A}^m=(\boldsymbol{\beta}^\mathrm{T}\boldsymbol{\alpha})^{m-1}\boldsymbol{A} = \boldsymbol{\alpha}(\boldsymbol{\beta}^\mathrm{T}\boldsymbol{\alpha})^{m-1}\boldsymbol{\beta}^\mathrm{T}.$$

若 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵，则

$$\operatorname{tr}(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{\beta}^\mathrm{T}\boldsymbol{\alpha},$$

因此也可写成

$$\boldsymbol{A}^m=(\operatorname{tr}\boldsymbol{A})^{m-1}\boldsymbol{A}.$$

5. 矩阵乘法易错问题

(1) 矩阵乘法不满足交换律和消去律

① $\boldsymbol{AB}\neq\boldsymbol{BA}$。

② $\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{AC}$ 且 $\boldsymbol{A}\neq\boldsymbol{O}$，不能推出 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}$。

③ $\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{O}$ 不能推出 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ 或 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$。

④ $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$ 不能推出 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$。

⑤ $(\boldsymbol{A}\pm\boldsymbol{B})^2\neq\boldsymbol{A}^2\pm2\boldsymbol{AB}+\boldsymbol{B}^2$，一般还会多出 $\boldsymbol{BA}$ 项。

更准确地说，

$$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^2=\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{AB}+\boldsymbol{BA}+\boldsymbol{B}^2,$$ $$(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B})^2=\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{AB}-\boldsymbol{BA}+\boldsymbol{B}^2.$$

⑥ $\boldsymbol{A}^3\pm\boldsymbol{B}^3\neq(\boldsymbol{A}\pm\boldsymbol{B})(\boldsymbol{A}^2\mp\boldsymbol{AB}+\boldsymbol{B}^2)$，除非额外满足可交换条件。

⑦ $\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{B}^2\neq(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B})$，除非 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}$。

⑧ $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^n\neq\mathrm{C}_n^0\boldsymbol{A}^n\boldsymbol{B}^0+\mathrm{C}_n^1\boldsymbol{A}^{n-1}\boldsymbol{B}^1+\cdots+\mathrm{C}_n^n\boldsymbol{A}^0\boldsymbol{B}^n$，因为一般情况下不能直接按普通二项式展开。

(2) 当 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 可交换时

若 $\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{BA}$，则有：

① $(\boldsymbol{A}\pm\boldsymbol{E})^2=\boldsymbol{A}^2\pm2\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$。

② $\boldsymbol{A}^3\pm\boldsymbol{E}=(\boldsymbol{A}\pm\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}^2\mp\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})$。

③ $\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{E}=(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})$。

④ $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})^n=\mathrm{C}_n^0\boldsymbol{A}^n+\mathrm{C}_n^1\boldsymbol{A}^{n-1}+\cdots+\mathrm{C}_n^{n-1}\boldsymbol{A}+\mathrm{C}_n^n\boldsymbol{E}$。

(3) 乘法可交换的常见情况

① $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{O}$ 可交换。

② $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{E}$ 可交换。

③ $\boldsymbol{A}$ 与 $f(\boldsymbol{A})$ 可交换，其中 $f$ 为多项式，例如 $f(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{A}^3+4\boldsymbol{A}^2-5\boldsymbol{A}+6\boldsymbol{E}$。

④ $f(\boldsymbol{A})$ 与 $g(\boldsymbol{A})$ 可交换，其中 $f,g$ 为多项式。

⑤ $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{A}^*$ 可交换。

⑥ $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 可交换，前提是 $\boldsymbol{A}$ 可逆。

⑦ $\boldsymbol{A}$ 与 $f(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{A}^{-1}, \boldsymbol{A}^*)$ 可交换。

⑧ 若 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为对角矩阵，则 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 可交换。

⑨ 若 $\boldsymbol{A}$ 是正交矩阵，则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{A}^\mathrm{T}$ 可交换。

⑩ 若 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为对称矩阵，且 $\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{BA}$，则 $\boldsymbol{AB}$ 对称，二者可交换。

⑪ 若 $\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$，则 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 可交换。

⑫ 若 $\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$，则 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 可交换。

6. 转置运算公式

(1) $(\boldsymbol{A}^\mathrm{T})^\mathrm{T}=\boldsymbol{A}$。

(2) $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^\mathrm{T}=\boldsymbol{A}^\mathrm{T}+\boldsymbol{B}^\mathrm{T}$。

(3) $(k\boldsymbol{A})^\mathrm{T}=k\boldsymbol{A}^\mathrm{T}$。

(4) $(\boldsymbol{AB})^\mathrm{T}=\boldsymbol{B}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}^\mathrm{T}$。

(5) $(\boldsymbol{A}^k)^\mathrm{T}=(\boldsymbol{A}^\mathrm{T})^k$。

7. 逆运算公式

设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为可逆矩阵，$k$ 为非零常数，有：

(1) $(\boldsymbol{A}^{-1})^{-1}=\boldsymbol{A}$。

(2) $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1}$ 没有通用展开公式。

(3) $(k\boldsymbol{A})^{-1}=k^{-1}\boldsymbol{A}^{-1}$。

(4) $(\boldsymbol{AB})^{-1}=\boldsymbol{B}^{-1}\boldsymbol{A}^{-1}$。

(5) $(\boldsymbol{A}^\mathrm{T})^{-1}=(\boldsymbol{A}^{-1})^\mathrm{T}$。

(6) $(\boldsymbol{A}^*)^{-1}=(\boldsymbol{A}^{-1})^*$。

(7) $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{B}^{-1})\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}(\boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{B}^{-1})\boldsymbol{A}$。

8. 伴随运算公式

(1) $\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^*=\boldsymbol{A}^*\boldsymbol{A}=|\boldsymbol{A}|\boldsymbol{E}$。

(2) $\boldsymbol{A}^*=|\boldsymbol{A}|\boldsymbol{A}^{-1}$，$\boldsymbol{A}^{-1}=\dfrac{1}{|\boldsymbol{A}|}\boldsymbol{A}^*$，前提是 $\boldsymbol{A}$ 可逆。

(3) $(k\boldsymbol{A})^*=k^{n-1}\boldsymbol{A}^*$，其中 $k$ 为常数，$\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶方阵。

(4) $(\boldsymbol{AB})^*=\boldsymbol{B}^*\boldsymbol{A}^*$，其中 $\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶方阵。

(5) $(\boldsymbol{A}^k)^*=(\boldsymbol{A}^*)^k$，其中 $k$ 为正整数。

(6) $(\boldsymbol{A}^\mathrm{T})^*=(\boldsymbol{A}^*)^\mathrm{T}$。

(7) $(\boldsymbol{A}^{-1})^*=(\boldsymbol{A}^*)^{-1}=\dfrac{\boldsymbol{A}}{|\boldsymbol{A}|}$，前提是 $\boldsymbol{A}$ 可逆。

(8) $(\boldsymbol{A}_n^*)^*=|\boldsymbol{A}|^{n-2}\boldsymbol{A}_n$，其中 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵。

9. 矩阵的行列式运算公式

设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶矩阵，有：

(1) $|k\boldsymbol{A}_n|=k^n|\boldsymbol{A}_n|$，其中 $k$ 为常数。

(2) $|\boldsymbol{AB}|=|\boldsymbol{BA}|=|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|$。

(3) $|\boldsymbol{A}^k|=|\boldsymbol{A}|^k$，其中 $k$ 为正整数。

(4) $|\boldsymbol{A}^\mathrm{T}|=|\boldsymbol{A}|$。

(5) $|\boldsymbol{A}^{-1}|=|\boldsymbol{A}|^{-1}$，前提是 $\boldsymbol{A}$ 可逆。

(6) $|\boldsymbol{A}^*|=|\boldsymbol{A}|^{n-1}$。

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10. 对角矩阵运算公式

1. 对角矩阵的公式

(1) 对角矩阵的乘积。

例：

$$\begin{bmatrix} 1 & & \\ & 2 & \\ & & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & & \\ & 4 & \\ & & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & & \\ & 8 & \\ & & 3 \end{bmatrix}$$

说明：对角矩阵相乘时，对角元分别相乘。

(2) 对角矩阵的幂。

例：

$$\begin{bmatrix} 2 & & \\ & 4 & \\ & & 6 \end{bmatrix}^n = \begin{bmatrix} 2^n & & \\ & 4^n & \\ & & 6^n \end{bmatrix}$$

(3) 对角矩阵的逆。

例：

$$\begin{bmatrix} 1 & & \\ & 3 & \\ & & 5 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & & \\ & 3^{-1} & \\ & & 5^{-1} \end{bmatrix}$$

前提是各对角元都非零。

(4) 对角矩阵的行列式。

例：

$$\begin{vmatrix} 3 & & \\ & 4 & \\ & & 5 \end{vmatrix} =3\times 4\times 5=60.$$

11. 副对角矩阵的公式

(1) 副对角矩阵的逆。

例：

$$\begin{bmatrix} & & 2 \\ & 3 & \\ 4 & & \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} & & 4^{-1} \\ & 3^{-1} & \\ 2^{-1} & & \end{bmatrix}$$

前提是副对角元都非零。

(2) 副对角矩阵的行列式。

例：

$$\begin{vmatrix} & & & 1 \\ & & 2 & \\ & \ddots & & \\ n & & & \end{vmatrix} =(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}n!.$$