矩阵的“四秩相等”：证明、推广与典型应用

来源：邂逅遗憾 26 考研数学思维课

设 $A$ 是任意实矩阵。线性代数中有一个可以直接使用的基本结论：

$$\boxed{r(A)=r(A^T)=r(AA^T)=r(A^TA)}$$

这个结论常被称为矩阵的“四秩相等”。它把一个矩阵、它的转置以及两个对称矩阵的秩联系在一起，在齐次方程组、二次型和含参数矩阵问题中都非常常用。

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一、核心：证明 $r(A)=r(A^TA)$

证明两个矩阵的秩相等，一个常用思路是证明它们对应的齐次方程组同解。

考虑

$$Ax=0$$

与

$$A^TAx=0.$$

若 $Ax=0$，在等式两边左乘 $A^T$，立即得到

$$A^TAx=0.$$

反过来，若 $A^TAx=0$，则在等式两边左乘 $x^T$：

$$x^TA^TAx=0.$$

注意到

$$x^TA^TAx=(Ax)^T(Ax)=\|Ax\|^2,$$

于是

$$\|Ax\|^2=0 \quad\Longrightarrow\quad Ax=0.$$

因此，两个方程组的解完全相同，即

$$N(A)=N(A^TA),$$

其中 $N(\cdot)$ 表示零空间。由于 $A$ 与 $A^TA$ 的列数相同，根据秩—零度定理可得

$$\boxed{r(A)=r(A^TA)}.$$

这里最关键的一步是

$$(Ax)^T(Ax)=0 \Longrightarrow Ax=0.$$

因为 $Ax$ 是实向量，它与自身的内积等于各分量平方之和，只有零向量才能使该值为零。

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二、推出完整的“四秩相等”

矩阵转置不改变秩，所以

$$r(A)=r(A^T).$$

把上一节的结论应用于矩阵 $A^T$，有

$$r(A^T)=r\big((A^T)^TA^T\big)=r(AA^T).$$

再结合

$$r(A)=r(A^TA),$$

便得到

$$\boxed{r(A)=r(A^T)=r(AA^T)=r(A^TA)}.$$

从方程组角度，还可以把它记成两组“同解”：

$$Ax=0 \quad\Longleftrightarrow\quad A^TAx=0,$$ $$A^Tx=0 \quad\Longleftrightarrow\quad AA^Tx=0.$$

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三、结论背后的几何意义

若 $A\in\mathbb R^{m\times n}$，则 $A^TA$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，并且对任意 $x\in\mathbb R^n$，都有

$$x^TA^TAx=\|Ax\|^2\geq 0.$$

因此 $A^TA$ 是半正定矩阵。它不会引入新的零方向，因为

$$A^TAx=0 \quad\Longleftrightarrow\quad Ax=0.$$

换言之，$A^TA$ 与 $A$ 丢失的信息完全相同，所以二者的零度相同，秩也相同。

同理，$AA^T$ 也是半正定矩阵，并且

$$N(AA^T)=N(A^T).$$

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四、交替乘积的推广

“四秩相等”可以连续使用。例如

$$r(AA^TA)=r(A).$$

证明时，一方面由乘积矩阵的秩不超过任一因子的秩，有

$$r(AA^TA)\leq r(A).$$

另一方面，把 $AA^T$ 看成一个整体，由四秩相等可得

$$r(AA^T)=r(AA^TAA^T).$$

再结合适当的秩不等式，可以得到相关交替乘积的秩仍为 $r(A)$。在考试中更实用的记法是：

只要矩阵乘积维数匹配，且 $A$ 与 $A^T$ 交替出现，通常可以反复利用四秩相等把秩化回 $r(A)$。

例如

$$r(A^TAA^TA)=r(A),$$ $$r(AA^TAA^T)=r(A).$$

需要注意，不能把“交替出现”擅自推广到任意矩阵乘积。一般情况下只有

$$r(AB)\leq \min\{r(A),r(B)\},$$

并不一定有 $r(AB)=r(A)$。

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五、典型应用：由二次型的秩求参数

解答题例题

设

$$A= \begin{pmatrix} 1&0&1\\ 0&1&1\\ -1&0&a\\ 0&a&-1 \end{pmatrix},$$

二次型

$$f(x_1,x_2,x_3)=x^T(A^TA)x$$

的秩为 $2$，求参数 $a$。

解答

二次型的矩阵是 $A^TA$，所以

$$r(A^TA)=2.$$

利用四秩相等，立即转化为

$$r(A)=2.$$

对 $A$ 作初等行变换：

$$\begin{pmatrix} 1&0&1\\ 0&1&1\\ -1&0&a\\ 0&a&-1 \end{pmatrix} \xrightarrow{\substack{r_3\leftarrow r_3+r_1\\r_4\leftarrow r_4-ar_2}} \begin{pmatrix} 1&0&1\\ 0&1&1\\ 0&0&a+1\\ 0&0&-a-1 \end{pmatrix}.$$

前两行线性无关，因此 $r(A)\geq 2$。要使 $r(A)=2$，第三列下方的两个元素必须同时为零：

$$a+1=0.$$

故

$$\boxed{a=-1}.$$

当 $a=-1$ 时，第三行恰为第一行的相反数，第四行恰为第二行的相反数，因此矩阵的秩确实为 $2$。

这道题的关键不是直接计算 $A^TA$，而是先用

$$r(A^TA)=r(A)$$

把问题降维、简化。

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六、总结

矩阵“四秩相等”的核心结论是

$$\boxed{r(A)=r(A^T)=r(AA^T)=r(A^TA)}.$$

它最本质的依据是

$$Ax=0 \quad\Longleftrightarrow\quad A^TAx=0,$$

而这个等价关系又来自

$$x^TA^TAx=\|Ax\|^2.$$

做题时，只要看到 $A^TA$、$AA^T$ 或由 $A$ 与 $A^T$ 构成的交替乘积，就应优先考虑把它的秩化回 $r(A)$。这往往能避免繁琐的矩阵乘法，把问题直接还原为对原矩阵作初等变换。