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矩阵乘法中的“强弱关系”

从秩不等式出发，整理矩阵乘法中“弱无关推出强无关、强相关推出弱相关”的判断方向，并说明 AB=E 时的满秩结论。

矩阵乘法中的“强弱关系”

设

Am×nBn×s=Cm×s.A_{m\times n}B_{n\times s}=C_{m\times s}.

矩阵乘法满足

r(C)=r(AB)≤r(A),r(C)=r(AB)≤r(B).r(C)=r(AB)\le r(A),\qquad r(C)=r(AB)\le r(B).

也就是说，矩阵相乘后，秩不会增大。可以把 A,BA,B 看成“强矩阵”，把乘积 CC 看成“弱矩阵”。

核心结论

弱无关⇒强无关；强相关⇒弱相关。\boxed{\text{弱无关}\Rightarrow\text{强无关；强相关}\Rightarrow\text{弱相关。}}

以下两个结论互为逆否命题：

  1. 弱无关，则强一定无关；
  2. 强相关，则弱一定相关。

这里的“强弱”必须按向量组对应。因为 CC 与 AA 的行数相同，所以比较二者的行向量组；因为 CC 与 BB 的列数相同，所以比较二者的列向量组。

具体结论为：

C 行无关⇒A 行无关,C\text{ 行无关}\Rightarrow A\text{ 行无关}, A 行相关⇒C 行相关,A\text{ 行相关}\Rightarrow C\text{ 行相关}, C 列无关⇒B 列无关,C\text{ 列无关}\Rightarrow B\text{ 列无关}, B 列相关⇒C 列相关.B\text{ 列相关}\Rightarrow C\text{ 列相关}.

若 CC 的行向量组线性无关，则

r(C)=m.r(C)=m.

由 r(C)≤r(A)≤mr(C)\le r(A)\le m，得 r(A)=mr(A)=m，故 AA 的行向量组线性无关。取逆否命题：

A 的行向量组相关⇒C 的行向量组相关.A\text{ 的行向量组相关}\Rightarrow C\text{ 的行向量组相关}.

同理，若 CC 的列向量组线性无关，则

r(C)=s≤r(B)≤s,r(C)=s\le r(B)\le s,

从而 r(B)=sr(B)=s，即 BB 的列向量组线性无关。其逆否命题为

B 的列向量组相关⇒C 的列向量组相关.B\text{ 的列向量组相关}\Rightarrow C\text{ 的列向量组相关}.

典型例题一

选择题例 2.8

设矩阵 Am×nA_{m\times n}、Bn×sB_{n\times s}、Cm×sC_{m\times s} 满足 AB=CAB=C，以下命题中正确的是：

A. 如果矩阵 BB 的列向量组线性无关，则矩阵 CC 的列向量组一定线性无关

B. 如果矩阵 BB 的行向量组线性无关，则矩阵 CC 的行向量组一定线性无关

C. 如果矩阵 CC 的列向量组线性无关，则矩阵 BB 的列向量组一定线性无关

D. 如果矩阵 CC 的行向量组线性无关，则矩阵 BB 的行向量组一定线性无关

解答

答案：C。

矩阵 CC 有 ss 列。若 CC 的列向量组线性无关，则 r(C)=sr(C)=s。又因为

r(C)=r(AB)≤r(B)≤s,r(C)=r(AB)\le r(B)\le s,

所以 r(B)=sr(B)=s，即 BB 的列向量组线性无关。

这正是“弱无关推出强无关”。A 选项试图由强无关推出弱无关，乘法过程中秩可能减小，因此不能推出。B、D 没有按相同行数或列数对应比较。

典型例题二

选择题例 2.9（2010 年数学一真题）

设 AA 为 m×nm\times n 矩阵，BB 为 n×mn\times m 矩阵，EE 为 mm 阶单位矩阵。若 AB=EAB=E，则：

A. r(A)=mr(A)=m，r(B)=mr(B)=m

B. r(A)=mr(A)=m，r(B)=nr(B)=n

C. r(A)=nr(A)=n，r(B)=mr(B)=m

D. r(A)=nr(A)=n，r(B)=nr(B)=n

解答

答案：A。

因为 AB=EmAB=E_m，所以

r(AB)=r(Em)=m.r(AB)=r(E_m)=m.

由乘积矩阵是“弱矩阵”，有

r(AB)≤r(A),r(AB)≤r(B).r(AB)\le r(A),\qquad r(AB)\le r(B).

同时，AA 只有 mm 行，BB 只有 mm 列，因此

r(A)≤m,r(B)≤m.r(A)\le m,\qquad r(B)\le m.

于是

r(A)=m,r(B)=m.\boxed{r(A)=m,\qquad r(B)=m.}

也可以直接用结论理解：EmE_m 的行、列向量组均线性无关。由“弱无关推出强无关”，得到 AA 行无关、BB 列无关，故二者的秩都等于 mm。

记忆版

AB=C 时，C 是弱者，A,B 是强者。\boxed{AB=C\text{ 时，}C\text{ 是弱者，}A,B\text{ 是强者。}}

判断方向只记两句：

弱无关⇒强无关,\boxed{\text{弱无关}\Rightarrow\text{强无关}}, 强相关⇒弱相关.\boxed{\text{强相关}\Rightarrow\text{弱相关}}.

行看 AA，列看 BB，不要反推。

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