满秩矩阵乘法的秩不变性与矩阵、向量组等价

来源：邂逅遗憾 26 考研数学思维课

一、左乘列满秩，秩不变

对于矩阵 $A_{m\times n}$，若 $r(A)=n$，则

$$\boxed{r(AB)=r(B)}.$$

证明：若 $Bx=0$，则必有 $ABx=0$，所以 $Bx=0$ 的解都是 $ABx=0$ 的解。

反过来，若 $ABx=0$，因为 $r(A)=n$，齐次方程组 $Ay=0$ 只有零解，故

$$ABx=0\Longrightarrow Bx=0.$$

因此 $Bx=0$ 与 $ABx=0$ 同解。又因为 $B$ 与 $AB$ 的列数相同，由齐次方程组解空间的维数可知

$$\boxed{r(B)=r(AB)}.$$

二、右乘行满秩，秩不变

对于矩阵 $A_{m\times n}$，若 $r(A)=m$，则

$$\boxed{r(BA)=r(B)}.$$

因为

$$r(A^T)=r(A)=m,$$

所以 $A^T$ 列满秩。由上一节结论，左乘列满秩矩阵时秩不变，于是

$$r(A^TB^T)=r(B^T).$$

又因为

$$r(A^TB^T)=r\big((BA)^T\big)=r(BA),\qquad r(B^T)=r(B),$$

故

$$\boxed{r(BA)=r(B)}.$$

若左乘一个列不满秩的矩阵，则秩可能减少，也可能不变；同理，右乘一个行不满秩的矩阵，秩也可能减少，也可能不变。

三、乘以可逆矩阵，秩不变

可逆矩阵一定是满秩方阵。因此，左乘可逆矩阵可以看作左乘列满秩矩阵，右乘可逆矩阵可以看作右乘行满秩矩阵，均有

$$\boxed{\text{乘以可逆矩阵，秩不变。}}$$

这也是“左乘列满秩、右乘行满秩，秩不变”的直接推论。

四、矩阵等价

若矩阵 $A$ 可以经过若干次初等变换变为矩阵 $B$，则称矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 等价。

矩阵等价有一个大前提：$A$ 与 $B$ 的形状相同，即二者都是 $m$ 行 $n$ 列矩阵，其中 $m$ 可以等于 $n$。

由于初等变换不改变矩阵的秩，因此同型矩阵 $A$ 与 $B$ 等价的充要条件为

$$\boxed{A\sim B\Longleftrightarrow r(A)=r(B)}.$$

五、向量组等价

两个向量组等价，是指两个向量组可以相互表示。

设列向量组为 $\mathrm I$ 与 $\mathrm {II}$，则二者等价的充要条件为

$$\boxed{r(\mathrm I)=r(\mathrm {II})=r(\mathrm I,\mathrm {II})}.$$

证明如下：

$$\mathrm I\text{ 能由 }\mathrm {II}\text{ 表示} \Longleftrightarrow r(\mathrm {II})=r(\mathrm {II},\mathrm I),$$ $$\mathrm {II}\text{ 能由 }\mathrm I\text{ 表示} \Longleftrightarrow r(\mathrm I)=r(\mathrm I,\mathrm {II}).$$

又因为

$$r(\mathrm {II},\mathrm I)=r(\mathrm I,\mathrm {II}),$$

所以

$$\boxed{\mathrm I\text{ 与 }\mathrm {II}\text{ 等价} \Longleftrightarrow r(\mathrm I)=r(\mathrm {II})=r(\mathrm I,\mathrm {II})}.$$

若 $\mathrm I$ 与 $\mathrm {II}$ 是行向量组，则等价的充要条件为

$$\boxed{ r(\mathrm I)=r(\mathrm {II})= r\begin{pmatrix} \mathrm I\\ \mathrm {II} \end{pmatrix}}.$$

行向量组的结论也可以通过转置化为列向量组来理解：

$$\mathrm I\text{ 与 }\mathrm {II}\text{ 行向量组等价} \Longleftrightarrow \mathrm I^T\text{ 与 }\mathrm {II}^T\text{ 列向量组等价}.$$

结合 $r(\mathrm I^T)=r(\mathrm I)$、$r(\mathrm {II}^T)=r(\mathrm {II})$，即可得到上述纵向拼接的秩条件。

六、结论汇总

$$\boxed{r(A)=n\Longrightarrow r(AB)=r(B)}$$ $$\boxed{r(A)=m\Longrightarrow r(BA)=r(B)}$$ $$\boxed{A\sim B\Longleftrightarrow A,B\text{ 同型且 }r(A)=r(B)}$$ $$\boxed{\text{列向量组 }\mathrm I\sim\mathrm {II} \Longleftrightarrow r(\mathrm I)=r(\mathrm {II})=r(\mathrm I,\mathrm {II})}$$ $$\boxed{\text{行向量组 }\mathrm I\sim\mathrm {II} \Longleftrightarrow r(\mathrm I)=r(\mathrm {II})= r\begin{pmatrix}\mathrm I\\\mathrm {II}\end{pmatrix}}$$