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4.7 给出具体变换的求解微分方程技巧（数二高频）

根据题目给出的具体变量代换求解微分方程的方法，包括 x 或 y 的变换、初值条件的转换回代、以及典型例题解析。

4.7 给出具体变换的求解微分方程技巧（数二高频）

遇到给出具体变换的微分方程时，关键是利用变换干掉不需要的变量，将原方程转化到新变量下的方程，注意初值条件的正确回代。

来源：邂逅遗憾 27 考研数学思维课，第四章 微分方程 §4.7，p.322–326。

一、基本概念

给出具体变换的求解微分方程是指题目中明确给出了变量代换的关系式，要求通过该变换将原方程转化为新的方程并求解。

特点：

  • 题目直接给出了 t=f(x)t=f(x) 或 u=g(y)u=g(y) 等形式
  • 需要利用这个变换”干掉”原有的某个变量
  • 注意初值条件的转换回代

适用性：数二常考此类题目。

二、解题基本步骤

（一）识别变换类型

首先判断变换是：

  1. 自变量变换：t=φ(x)t=\varphi(x)，需要用 t,yt,y 替换 x,y′x,y' 等
  2. 因变量变换：u=ψ(y,x)u=\psi(y,x)，需要将 y,y′,y′′y,y',y'' 用 u,u′,u′′u,u',u'' 表示

（二）计算导数转换

利用链式法则计算各阶导数的转换公式。

（三）代入原方程

将新变量的表达式代入原方程，化简得到新方程。

（四）求解新方程

解出新变量下的通解。

（五）回代原变量

将结果回代到原变量，并用初值条件确定常数。

解答题例 4.32（2005 数二真题）

已知 x=etx=e^t（即 t=ln⁡xt=\ln x），求解微分方程。

已知：y′′(x)+⋯=0y''(x)+\cdots=0，y(0)=1y(0)=1，y′(0)=2y'(0)=2。

解答

这是典型的自变量变换题。由于给出了 xx 与 tt 的关系，意味着要利用这个变换干掉 xx，将方程从 yy 和 xx 的关系变为 yy 和 tt 的关系。

步骤 1：计算导数转换

dydx=dydt⋅dtdx=1xdydt=e−ty′\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}\frac{dy}{dt}=e^{-t}y'

其中上标撇表示对 tt 求导。

d2ydx2=ddx(e−ty′)=−e−2ty′+e−2ty′′\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}(e^{-t}y')=-e^{-2t}y'+e^{-2t}y''

步骤 2：代入原方程

将上述表达式代入原方程，整理后得到关于 tt 的微分方程。

步骤 3：求解新方程

根据得到的方程类型选择合适的解法（特征方程法、变易常数法等）。

步骤 4：回代初值条件

这里有一个重要的注意事项：在代入初值条件对 CC 进行求解时，必须将其写成 yy 和 xx 的函数才行！否则可能会出错！

例如：若解得 y(t)=C1cos⁡t+C2sin⁡ty(t)=C_1\cos t+C_2\sin t，则应先将 t=ln⁡xt=\ln x 代回，得到 y(x)=C1cos⁡(ln⁡x)+C2sin⁡(ln⁡x)y(x)=C_1\cos(\ln x)+C_2\sin(\ln x)，然后再代入 x=0x=0（或对应 t=0t=0）时的初值条件。

特别注意：对于初值条件 y(0)=1y(0)=1，y′(0)=2y'(0)=2，这里 x=0x=0 可能不是合适的点，需要看题目实际给定的范围。

解答题例 4.32.1

另一个 x 变换的例题。

解答

同样按照上述步骤处理，关键是：

  1. 正确计算导数转换
  2. 注意定义域和初值点的匹配
  3. 最终结果要写回原变量形式

（六）因变量变换的处理

解答题例 4.33（1998 数二真题）

已知 u=ycos⁡x−y′sin⁡xu=y\cos x-y'\sin x，求解微分方程。

此题给出的是 yy 的变换，意味着要利用这个变换干掉 yy，因此要在 yy 和 xx 的方程中，干掉 yy，y′y'，y′′y''，将 yy 和 xx 的方程，转化为 uu 和 xx 的方程。

此题还有几个关键点需要注意：

  1. 思维课特意提过，导数符号中的撇，指的是对 xx 求导
  2. 既然我们要把方程中的 yy，y′y'，y′′y'' 都干掉，最直观的思路是用题中所给的 uu 表达式直接代换，但此题直接计算对 xx 的导数计算量很大
  3. 可以先进行恒等变形，如变成 y′=ytan⁡x+u/cos⁡xy' = y\tan x + u/\cos x 的形式，化分式为整式，减轻计算量
  4. 若常规思路计算量太大，可以尝试着计算 u′u' 和 u′′u''，然后凑出其对应的形式
解答

方法一：直接代换法

由 u=ycos⁡x−y′sin⁡xu=y\cos x-y'\sin x，得：

y′=ytan⁡x+usin⁡x(当 sin⁡x≠0)y'=y\tan x+\frac{u}{\sin x}\quad(\text{当 }\sin x\neq 0)

进一步求导得到 y′′y'' 的表达式，代入原方程。

方法二：先算 u′u' 再反推（推荐）

对 uu 求导：

u′=y′cos⁡x−ysin⁡x−y′′sin⁡x−y′cos⁡x=−ysin⁡x−y′′sin⁡xu'=y'\cos x-y\sin x-y''\sin x-y'\cos x=-y\sin x-y''\sin x =u′sin⁡x=−ysin⁡x−y′′sin⁡x=u'\sin x=-y\sin x-y''\sin x

整理得到 y′′y'' 的表达式，与原方程对比。

或者，观察到：

y′′cos⁡x−2y′sin⁡x+ycos⁡x=u′′y''\cos x-2y'\sin x+y\cos x=u''

将原方程改写为：

y′′cos⁡x−2y′sin⁡x+3ycos⁡x=exy''\cos x-2y'\sin x+3y\cos x=e^x

注意到左端前两项可以组合成 u′′u'' 的形式。

实际上，我们可以这样思考：

u=ycos⁡x−y′sin⁡xu=y\cos x-y'\sin x u′=y′cos⁡x−ysin⁡x−y′′sin⁡x−y′cos⁡x=−ysin⁡x−y′′sin⁡xu'=y'\cos x-y\sin x-y''\sin x-y'\cos x=-y\sin x-y''\sin x u′′=−y′sin⁡x−ycos⁡x−y′′cos⁡x−y′′sin⁡xu''=-y'\sin x-y\cos x-y''\cos x-y''\sin x

经过适当变形和组合，可以得到一个只含 uu 和 xx 的方程。

方法三：巧妙组合

注意到原题的蓝色笔迹提示，可以尝试直接计算 u′u' 和 u′′u''，然后将它们组合成原方程的形式。

最终可以得到关于 uu 的简化方程：

u′′+4u=exu''+4u=e^x

这是一个简单的二阶非齐次线性方程，容易求解。

三、关键技巧总结

（一）初值条件的正确回代

重要提醒：在代入初值条件对 CC 进行求解时，有两种方式：

  1. 先回代再代入：将通解写回原变量形式 y(x)y(x)，再代入原初值
  2. 转换初值点：找到新变量下的对应点，直接在新变量下求解

推荐的稳妥做法：先写回原变量形式，再代入原初值条件，避免因点不对应而导致的错误。

（二）化分式为整式

当遇到复杂表达式时，可以通过恒等变形将分式化为整式，大大降低计算难度。

例如：y′=ytan⁡x+ucos⁡xy' = y\tan x + \dfrac{u}{\cos x} 可以变形为更简洁的形式。

（三）整体换元法

有时候可以将某个整体视为一个新的变量，观察其导数形式是否与方程结构相匹配。

四、综合练习

解答题例 4.34

综合应用变换法求解微分方程。

解答

解决此类问题的通用思路：

  1. 分析变换类型：是自变量变换还是因变量变换
  2. 推导导数关系：利用链式法则
  3. 代入化简：得到新方程
  4. 求解新方程
  5. 回代还原：写出最终答案

特别要注意：

  • 变换的适用范围
  • 初值条件的正确处理
  • 化简过程中的等价变形

五、考场速记

变换类型处理方法注意点
自变量变换 t=φ(x)t=\varphi(x)转换 y′,y′′,…y',y'',\dots 为新变量的函数注意定义域变化
因变量变换 u=ψ(x,y)u=\psi(x,y)反解出 yy 或用 u,u′u,u' 表示 y,y′y,y'化分式为整式可简化
初值回代优先选择先写回原变量形式避免点不对应

核心思想：

  • 目的明确：用变换干掉某个变量
  • 计算准确：导数转换是基础
  • 回代正确：确保初值条件正确代入

注：此部分内容主要为数二考点，数一同学也要掌握，数三一般不考。

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