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4.12 微分方程的应用题（数二高频考点）

微分方程在实际问题中的应用，包括几何应用、物理应用等类型，通过建立微分方程模型解决实际问题的方法和技巧。

4.12 微分方程的应用题（数二高频考点）

微分方程应用题的核心是建立正确的微分方程模型，关键在于找出变化率与状态量之间的关系。

来源：邂逅遗憾 27 考研数学思维课，第四章 微分方程 §4.12，p.330–338。

一、基本概念

微分方程应用题是指将实际问题抽象为微分方程模型，通过求解微分方程来获得实际问题的解答。

关键步骤：

  1. 理解题意：明确变量和参数
  2. 建立模型：根据物理/几何规律建立微分方程
  3. 确定初值：利用题目给出的初始条件
  4. 求解方程：选择适当的方法求解
  5. 解释结果：将数学结果回到实际意义

注意：此部分主要为数二高频考点。

二、几何应用题

（一）切线与法线问题

基本关系

对于曲线 y=y(x)y=y(x)：

  • 切线斜率：k=y′k=y'
  • 法线斜率：n=−1y′n=-\dfrac{1}{y'}（当 y′≠0y'\neq 0）

典型类型

解答题例 4.42（2009 数二真题）

已知光滑曲线 y=y(x)y=y(x)，其切线与 xx 轴交于点 TT，法线与 xx 轴交于点 NN，且 ∣TN∣=f(y)|TN|=f(y)，求曲线方程。

光滑曲线等价于：函数连续且导数连续！同时 yy 是 xx 的函数，意味着一个 xx 只能对应一个 yy。

解答

步骤 1：表示切线和法线方程

过点 (x,y)(x,y) 的切线方程：

Y−y=y′(X−x)Y-y=y'(X-x)

令 Y=0Y=0（与 xx 轴交点），得：

XT=x−yy′X_T=x-\frac{y}{y'}

所以 T=(x−yy′,0)T=\left(x-\dfrac{y}{y'},0\right)。

过点 (x,y)(x,y) 的法线方程：

Y−y=−1y′(X−x)Y-y=-\frac{1}{y'}(X-x)

令 Y=0Y=0，得：

XN=x+yy′X_N=x+yy'

所以 N=(x+yy′,0)N=(x+yy',0)。

步骤 2：计算距离

∣TN∣=∣XN−XT∣=∣(x+yy′)−(x−yy′)∣=∣yy′+yy′∣|TN|=|X_N-X_T|=|(x+yy')-(x-\frac{y}{y'})|=|yy'+\frac{y}{y'}|

步骤 3：建立微分方程

根据题设 ∣TN∣=f(y)|TN|=f(y)，得到：

∣yy′+yy′∣=f(y)|yy'+\frac{y}{y'}|=f(y)

整理得：

∣y(y′2+1)y′∣=f(y)\left|\frac{y(y'^2+1)}{y'}\right|=f(y)

这是一个可分离变量的微分方程。

步骤 4：求解并分类讨论

根据 y′>0y'>0 或 y′<0y'<0 进行分类，去掉绝对值后分别求解。

（二）截距问题

解答题例 4.45（2023 数一真题）

关于截距不是距离，截距可以是负数！而距离不能是负数！

已知某曲线的切线在坐标轴上的截距满足某种关系，求曲线方程。

解答

关键区别：

  • 截距：可以是正数、负数或零，是有符号的数值
  • 距离：总是非负的

例如：

  • 若切线在 xx 轴上的截距为 aa，则点 TT 的坐标为 (a,0)(a,0)
  • 但 ∣TN∣|TN| 这样的距离必须用绝对值表示

解题要点：

  1. 正确区分截距和距离的概念
  2. 根据实际情况判断是否需要加绝对值
  3. 必要时分情况讨论

三、物理应用题

（一）冷却定律问题

这是最常见的微分方程应用题型。

牛顿冷却定律：物体温度的变化率与物体温度和周围介质温度的差成正比。

数学表达：

dTdt=−k(T−Tenv)\frac{dT}{dt}=-k(T-T_{env})

其中：

  • T(t)T(t)：物体的温度
  • TenvT_{env}：环境温度（常数）
  • k>0k>0：冷却系数

解的形式：

T(t)=Tenv+(T0−Tenv)e−ktT(t)=T_{env}+(T_0-T_{env})e^{-kt}
解答题例 4.43（2015 数二真题）

一物体初始温度为 100°C，放在室温 20°C 的环境中，30 分钟后温度降为 30°C。问再经过多长时间温度会降到 22°C？

解答

步骤 1：建立微分方程

根据牛顿冷却定律：

dTdt=−k(T−20)\frac{dT}{dt}=-k(T-20)

步骤 2：求解通解

分离变量：

dTT−20=−kdt\frac{dT}{T-20}=-kdt

积分：

ln⁡∣T−20∣=−kt+C⇒T=20+Ce−kt\ln|T-20|=-kt+C \Rightarrow T=20+Ce^{-kt}

步骤 3：代入初值确定参数

t=0t=0 时，T=100T=100：

100=20+C⇒C=80100=20+C \Rightarrow C=80

所以：

T(t)=20+80e−ktT(t)=20+80e^{-kt}

步骤 4：利用另一个条件确定 k

t=30t=30 时，T=30T=30：

30=20+80e−30k⇒e−30k=1830=20+80e^{-30k} \Rightarrow e^{-30k}=\frac{1}{8} −30k=ln⁡18=−ln⁡8⇒k=ln⁡830=3ln⁡230=ln⁡210-30k=\ln\frac{1}{8}=-\ln 8 \Rightarrow k=\frac{\ln 8}{30}=\frac{3\ln 2}{30}=\frac{\ln 2}{10}

步骤 5：求解目标时间

求 tt 使得 T=22T=22：

22=20+80e−kt⇒2=80e−kt⇒e−kt=14022=20+80e^{-kt} \Rightarrow 2=80e^{-kt} \Rightarrow e^{-kt}=\frac{1}{40} −kt=ln⁡140=−ln⁡40⇒t=ln⁡40k=ln⁡40(ln⁡2)/10=10⋅ln⁡40ln⁡2-kt=\ln\frac{1}{40}=-\ln 40 \Rightarrow t=\frac{\ln 40}{k}=\frac{\ln 40}{(\ln 2)/10}=10\cdot\frac{\ln 40}{\ln 2} ln⁡40=ln⁡(8×5)=ln⁡8+ln⁡5=3ln⁡2+ln⁡5\ln 40=\ln(8\times5)=\ln 8+\ln 5=3\ln 2+\ln 5 t=10⋅3ln⁡2+ln⁡5ln⁡2=10(3+ln⁡5ln⁡2)≈10(3+2.32)=53.2分钟t=10\cdot\frac{3\ln 2+\ln 5}{\ln 2}=10(3+\frac{\ln 5}{\ln 2})\approx 10(3+2.32)=53.2\text{分钟}

从 t=30t=30 开始算起，还需要约 23.2 分钟。

（二）其他物理应用

常见的物理应用场景：

  1. 弹簧振动：胡克定律 + 牛顿第二定律
  2. 电路问题：基尔霍夫电压定律
  3. 流动混合：浓度变化的速率
  4. 人口增长：马尔萨斯模型或 Logistic 模型

四、综合应用题

解答题例 4.44（涉及可降阶微分方程，数三不要求）

2020 数二真题。

设曲线 y=y(x)y=y(x) 上任意一点 (x,y)(x,y) 处的曲率半径 RR 与 yy 成正比，求曲线方程。

解答

步骤 1：曲率半径公式

对于曲线 y=y(x)y=y(x)，曲率半径为：

R=(1+y′2)3/2∣y′′∣R=\frac{(1+y'^2)^{3/2}}{|y''|}

步骤 2：建立微分方程

根据题设 R=kyR=ky（kk 为常数），得到：

(1+y′2)3/2∣y′′∣=ky\frac{(1+y'^2)^{3/2}}{|y''|}=ky

假设 y′′>0y''>0，去绝对值：

(1+y′2)3/2=ky′′(1+y'^2)^{3/2}=ky''

步骤 3：降阶处理

令 y′=py'=p，则 y′′=pdpdyy''=p\dfrac{dp}{dy}（因为不显含 xx）：

(1+p2)3/2=kpdpdy(1+p^2)^{3/2}=kp\frac{dp}{dy}

步骤 4：分离变量求解

dyp=k dp(1+p2)3/2\frac{dy}{p}=\frac{k\,dp}{(1+p^2)^{3/2}}

这个方程可以通过适当的换元求解。

解答题例 4.46（2023 数二真题）

已知某系统的输出 y(t)y(t) 满足：

y′−xy=f(t)y'-xy=f(t)

且在 t=0t=0 时，y(0)=1y(0)=1。求 y(t)y(t) 的表达式。

解答

这是一阶线性方程，使用公式法：

首先写成标准形式：

y′+(−x)y=f(t)y'+(-x)y=f(t)

但是这里有个问题：自变量应该是统一的。如果自变量是 xx，那么：

y′+(−x)y=f(x)y'+(-x)y=f(x)

此时：

  • 积分因子 μ=e∫(−x)dx=e−x2/2\mu=e^{\int (-x)dx}=e^{-x^2/2}
  • 通解：y=ex2/2[∫f(x)e−x2/2dx+C]y=e^{x^2/2}\left[\int f(x)e^{-x^2/2}dx+C\right]

根据初值 y(0)=1y(0)=1 确定常数 CC。

（三）参数方程形式的应用题

解答题例 4.47（涉及参数方程，数三不要求）

2012 数一真题。

设曲线由参数方程给出：x=f(t)x=f(t)，y=g(t)y=g(t)，且满足某物理条件，求曲线方程。

解答

对于参数方程形式的曲线，需要用到参数方程的导数公式：

dydx=dy/dtdx/dt,d2ydx2=ddt(dydx)dxdt\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt},\quad \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}

根据题目的物理条件建立关系式，转化为关于参数 tt 的微分方程求解。

五、倾角问题（重要技巧）

解答题例 4.48（涉及可降阶微分方程，数三不要求）

正常来说，倾角的取值范围是 [0,2π)[0,2\pi) 或 [−π,π)[-\pi,\pi)，而 tan⁡\tan 只有在 (−π/2,π/2)(-\pi/2,\pi/2) 上才能反解出 arctan⁡\arctan。

特解依赖于初值条件，初值条件会对变量的范围产生约束。如题中给的条件可以推出，当 x>0x>0 时，倾角为锐角，因此此题的初值条件约束了只需求解 x>0x>0 时的解，在此区间内，tan⁡\tan 可以直接反解 arctan⁡\arctan。

即便试图去求解 x<0x<0 上的解，最终也解不出来，因为没法代入初值条件。

此思想大家直接当结论记住即可，无需纠结：初值条件中的 xx 取值，可以约束后续求解过程中 xx 的范围。

而实际上，此题到了这一步时，也可以两端直接对 xx 求导，避免反解。

解答

关键理解：

  1. 初值条件的作用：不仅用于确定常数，还限定了有效区间
  2. 函数的反函数存在性：取决于定义域的限制
  3. 替代方法：必要时可以直接求导，避免复杂的反三角运算

解题策略：

  • 先分析初值条件确定的变量范围
  • 在该范围内选择合适的解法
  • 如有必要，采用其他技巧（如求导）绕过复杂运算

六、建模步骤总结

（一）几何建模流程

  1. 画示意图，标出关键点
  2. 写出几何量的数学表达式（斜率、截距、长度等）
  3. 根据题设建立等量关系
  4. 转化为微分方程

（二）物理建模流程

  1. 识别物理定律（如牛顿定律、守恒定律等）
  2. 写出相关的物理公式
  3. 将物理量表示为时间的函数
  4. 建立微分方程

七、易错点分析

错误 1：概念混淆

将截距与距离、速度与速率等概念混淆。

错误 2：符号错误

在处理方向性问题时忽略符号（特别是涉及多个向量或方向时）。

错误 3：单位不一致

不同物理量的单位没有统一导致计算错误。

错误 4：初值遗漏

忘记代入初值条件确定积分常数。

八、考场速记

应用类型关键公式注意事项
切线法线Y−y=y′(X−x)Y-y=y'(X-x)注意斜率的正负
曲率半径$R=\dfrac{(1+y’^2)^{3/2}}{y”
冷却定律T′=−k(T−Tenv)T'=-k(T-T_{env})指数衰减模型
参数方程dydx=y˙x˙\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dot y}{\dot x}链式法则的应用

核心思想：

应用题的本质是将实际问题”翻译”成数学语言，关键是准确理解题意，正确表达各种关系。

记忆要点：

  1. 画图辅助：帮助理解几何关系
  2. 单位统一：确保所有量在同一量纲下
  3. 符号清晰：明确正方向和约定
  4. 验证合理：结果是否符合物理/几何直觉

注：此部分内容主要在数二中考查，数一同学也要熟练掌握，数三一般较少涉及复杂应用题。

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