4.8 微分方程与变上限积分的综合应用

见到变上限积分，条件反射想到两件事：上下限相等时积分结果为0；求导可消去积分号。若题干中条件很少且让你求f(x)，则很可能需要建立微分方程。

来源：邂逅遗憾 27 考研数学思维课，第四章 微分方程 §4.8，p.324–328。

一、基本概念

（一）变上限积分的基本性质

设 $F(x)=\int_a^x f(t)dt$，则有：

1. 积分零性质：$\int_a^a f(t)dt=0$
2. 求导公式：$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt=f(x)$（当 $f$ 连续时）

（二）解题思路

遇到变上限积分和微分方程结合的题目时：

1. 识别特征：

   • 题干中条件很少
   • 包含变上限积分
   • 要求求 $f(x)$ 的表达式

2. 核心方法：

   • 利用 $\int_a^a f(t)dt=0$ 寻找初值条件
   • 对方程两边求导消去积分号
   • 建立并求解微分方程

二、基本类型与解法

（一）直接建立微分方程型

解答题例 4.34（武忠祥高数讲义）

已知 $\int_0^x f(t)dt+x^2+\int_0^x tf(t)dt=0$，求 $f(x)$。

解答

步骤 1：观察初值条件

当上下限相等时，积分值为 0。令 $x=0$：

$$\int_0^0 f(t)dt+0^2+\int_0^0 tf(t)dt=0 \Rightarrow 0=0$$

这个等式恒成立，没有提供有用的信息。

步骤 2：求导消去积分号

对原方程两边关于 $x$ 求导：

$$\frac{d}{dx}\left(\int_0^x f(t)dt+x^2+\int_0^x tf(t)dt\right)=0$$ $$f(x)+2x+x\cdot f(x)=0$$

步骤 3：整理得到微分方程

$$f(x)(1+x)+2x=0 \Rightarrow f(x)=-\frac{2x}{1+x}$$

步骤 4：验证结果

将 $f(x)=-\dfrac{2x}{1+x}$ 代回原方程验证：

$$\int_0^x\left(-\frac{2t}{1+t}\right)dt+x^2+\int_0^x t\left(-\frac{2t}{1+t}\right)dt$$

计算这两个积分即可验证结果的正确性。

（二）需要先找初值条件型

解答题例 4.35（李林 880）

已知 $f'(x)+f(x)=0$，且 $f(0)=1$，求 $f(x)$。

解答

步骤 1：识别初值条件

题目直接给出了 $f(0)=1$ 这个初值条件。

如果没有直接给出，需要自己去找。例如：

• 由 $\int_0^x f(t)dt=g(x)$，令 $x=0$ 得 $\int_0^0 f(t)dt=0$
• 如果还有 $g(0)=0$，则这个条件已被利用

步骤 2：求解微分方程

这是一阶齐次线性方程：

$$f'(x)+f(x)=0 \Rightarrow \frac{f'(x)}{f(x)}=-1$$

两边积分：

$$\ln|f(x)|=-x+C \Rightarrow f(x)=Ce^{-x}$$

步骤 3：代入初值确定常数

利用 $f(0)=1$：

$$f(0)=C\cdot e^0=C=1$$

因此通解为：

$$f(x)=e^{-x}$$

（三）综合应用题型

解答题例 4.36（李林 880）

已知 $\int_0^x f(t)dt=\int_0^x f(u)du+x^2$，如何干掉这个令人作呕的积分限？

解答

这类题目的关键是要消去积分符号。

方法一：求导法

对方程两边求导：

$$\frac{d}{dx}\int_0^x f(t)dt=\frac{d}{dx}\left(\int_0^x f(u)du+x^2\right)$$ $$f(x)=f(x)+2x$$

这会导致矛盾，说明原题形式需要重新理解。

正确理解：应该将方程改写为：

$$\int_0^x f(t)dt - \int_0^x f(u)du = x^2$$

但这会导致左边等于 0，右边是 $x^2$，明显不合理。

实际题目应该是类似的形式，需要通过求导来简化。

正确的做法是：

1. 首先明确积分表达式的含义
2. 必要时进行变量替换统一积分变量
3. 对方程两边求导消除积分
4. 解出得到的微分方程

三、关键技巧总结

（一）寻找初值条件的策略

策略一：上下限相等时积分为 0

$$\int_a^a f(t)dt=0$$

这是最常用的寻找初值的方法。

策略二：函数连续性提供的信息

如果已知 $f(x)$ 在某个点连续且有定义，可以利用极限关系。

策略三：多次求导获取更多信息

知道了某点的函数值后，紧接着要继续去寻找该点的导数值信息，初值条件往往是同一点处的函数值和导数值。

例如：

• 已知 $f(a)=A$
• 通过求导得到 $f'(a)=B$
• 这样就构成了完整的初值条件

（二）求导的时机选择

先判断是否需要求导：

• 如果有积分符号且难以直接处理，考虑求导
• 如果已经有微分方程形式，可能不需要再求导

求导后的结果分析：

• 一次求导后可能直接得到解
• 可能需要多次求导才能得到完整信息

（三）特殊情况的处理

变上限积分中含参数：

$$\frac{d}{dx}\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(t)dt = f(\beta(x))\beta'(x)-f(\alpha(x))\alpha'(x)$$

被积函数中也含 $x$：

$$\frac{d}{dx}\int_a^x K(x,t)dt = K(x,x) + \int_a^x \frac{\partial K}{\partial x}(x,t)dt$$

四、综合训练

解答题例 4.37

综合应用变上限积分与微分方程的技巧。

解答

解决此类问题的完整流程：

1. 检查初值条件：通过 $\int_a^a f(t)dt=0$ 或其他方式
2. 判断求导必要性：积分是否阻碍了解题
3. 执行求导操作：小心使用莱布尼茨法则
4. 求解微分方程：选择合适的解法
5. 验证答案：代回原方程检验

关键点：

• 不要漏掉初值条件
• 求导时要注意链式法则
• 结果要满足原方程

五、易错点分析

错误 1：忽略初值条件

只建立了微分方程，但没有确定积分常数。

错误 2：求导不正确

忘记了复合函数求导法则，或者在处理变上限积分时出错。

错误 3：验证不充分

求出结果后没有代回原方程验证，导致遗漏某些解。

六、考场速记

特征	方法
变上限积分 + 求 $f(x)$	求导消除积分号
有初值条件	代入确定常数
无初值条件	利用 $\int_a^a=0$ 寻找
多次求导仍保留积分	考虑其他方法（如拉普拉斯变换）

核心思想：

1. 见积分就想求导
2. 见上下限相同就代入
3. 多步求导获取完整信息
4. 最后必须验证

注：此题型在数一中出现较多，数二也要重点掌握。