4.2 一阶微分方程的解题思路与技巧

解一阶微分方程的原则：让最高阶导数前的系数尽可能为1，优先看 $dy/dx$！若复杂则看 $dx/dy$，仍不好处理则换元。

来源：邂逅遗憾27考研数学思维课，第四章 微分方程 §4.2，p.301–310。

一、解题总原则

解方程的原则：让最高阶导数前的系数尽可能为 1，优先看 $\dfrac{dy}{dx}$！

具体思考逻辑如下：

优先级	判断方式	处理手法
①	优先看 $\dfrac{dy}{dx}$，并使其系数尽可能为 1	例 4.7，4.8，4.11，4.16，4.17
②	如果复杂，那就看 $\dfrac{dx}{dy}$，并使其系数尽可能为 1	例 4.9，4.10
③	如都不好处理，令某个东西为 $u$，研究关于 $u$ 的一阶微分方程	例 4.8，4.11-4.17
④	若形式为 $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$，且满足全微分条件	考虑全微分方程，例 4.16，4.17

实际上，全微分方程不一定排在第④的位置，一般来说，只要见到 $\dfrac{dy}{dx}$ 的形式，即可考虑使用全微分方程去做题（需先判断是否满足 $\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}$），其优先级甚至高于①。绝大多数这类题目的答案解析并不会给出全微分方程的做法，但用全微分方程去做的话可以做得又快又准，且思路极其直观，流水化操作。

二、具体例题讲解

解答题例 4.7

优先看 $\dfrac{dy}{dx}$，求解微分方程。

解答

直接对原方程进行变形，将 $\dfrac{dy}{dx}$ 的系数化为 1，然后分离变量或使用其他一阶微分方程的解法求解。

解答题例 4.8

优先看 $\dfrac{dy}{dx}$，让最高阶导数前面的系数尽可能为 1。若 $\dfrac{dy}{dx}=0$，则令 $\dfrac{dy}{dx}=p$，求解微分方程。

解答

当 $y'=0$ 时，意味着 $y=C$ 是一个解。对于一般情况，将方程整理成 $\dfrac{dy}{dx}=f(x,y)$ 的形式，然后根据具体情况选择解法。

解答题例 4.9

优先看 $\dfrac{dy}{dx}$，若不好处理，则看 $\dfrac{dx}{dy}$，求解微分方程。

解答

若将方程写成 $\dfrac{dy}{dx}=f(x,y)$ 后难以求解，可以改写为 $\dfrac{dx}{dy}=g(x,y)$，即将 $y$ 视为自变量，$x$ 视为因变量。此时可能转化为线性方程或其他容易求解的形式。

解答题例 4.10

优先看 $\dfrac{dx}{dy}$，若不好处理，则看 $\dfrac{dy}{dx}$，求解微分方程。

解答

尝试两种视角，选择更容易的一种。若 $\dfrac{dx}{dy}$ 的形式更简洁或能转化为标准形式，就采用这种方法。

（一）分子分母同时除以某项的技巧

解答题例 4.11（李林 880）

利用恒等变形，分子分母同时除以 $x$，构造 $\dfrac{dx}{dy}$。此题大家可能有疑问的点在于：最后结果中的 $\ln|x|$ 的绝对值为什么能去掉。

“特解”指的是满足题意的一个解，特解中 $C$ 的确定，依赖于初值条件。题中的初值条件是 $y(1)=0$，是 $x=1$ 时的条件，所以你在求解 $C$ 的时候，一定是在 $x>0$ 的情况下进行求解的，所以此时默认了 $x>0$。

就算你想解 $x<0$ 时的解，你发现你根本解不出常数 $C$。考研真题也考察过这种思想。接下来的话直接当结论记住：给出初值条件，求解特解，意味着特解中 $C$ 的求解一定依赖于初值条件，所以此时初值条件中 $x$ 的取值，可以约束后续求解过程中 $x$ 的范围。

解答

将分子分母同时除以 $x$，得到新的表达式，再进行变量代换或积分求解。由于初值条件给的是 $x=1$，说明我们只需求解 $x>0$ 的情况，因此 $\ln|x|=\ln x$，不需要绝对值符号。

（二）整体换元的技巧

解答题例 4.12

$y'$ 的系数很复杂，令 $y'$ 的系数为 1 后仍然不好解方程，此时考虑换元，凑出 $u$ 和 $u'$，转而研究关于 $u$ 的一阶微分方程。

解答

找到一个合适的整体表达式 $u$，使得原方程中可以凑出 $du = \frac{du}{dx}dx$ 的形式，将原方程转化为关于 $u$ 的微分方程求解。

解答题例 4.13

无论是看 $\dfrac{dy}{dx}$ 还是 $\dfrac{dx}{dy}$，均不好处理，此时意味着一定是和例 4.12 类似的处理手法：令某个东西为 $u$，研究 $u$ 和 $u'$ 的一阶微分方程。于是想到化分式为整式，进行恒等变形。

解答

先将方程化分式为整式（分子分母同乘某项），然后再寻找合适的整体进行换元，最终将方程转化为一阶线性或其他可解形式。

（三）三角函数形式的处理

解答题例 4.14

此题和例 4.1 思想相同，无法分离变量，也无法用公式法，且含有 $x$ 和 $y$ 的线性组合，则考虑令这一坨整体为 $u$ 进行换元。值得一提的是，三角函数不能随意反解！

解答

令 $u=ax+by+c$（其中 $a,b,c$ 为系数），利用链式法则将 $y'$ 用 $u'$ 表示，代入原方程，化简后得到关于 $u$ 的微分方程，分离变量后积分即可求解。

注意：三角函数不能随意反解，需要根据初值条件确定范围后再进行反解操作。

解答题例 4.15（2024 数一数二真题）

此题处理思想和例 4.14 和例 4.1 相同。

解答

同样使用整体换元的方法，找到合适的 $u$ 表达式，将原方程转化为可解形式。根据题意选择合适的换元策略，最终得到隐式解或显式解。

（四）全微分方程的应用

解答题例 4.16（2025 数二真题）

此题最好的办法是方法一，方法二用到了全微分方程，但数二考纲范围内是没有全微分方程的。希望大家以后见到这种题，优先考虑方法一。做题的逻辑和思维是更重要的，我们见到类似的题干，一定是按照之前思维课讲的，优先看 $dy/dx$。

已知 $y(1)=1$，求解微分方程：$2xy-y+e^x=0$。

解答

方法一（推荐）：

按照优先看 $dy/dx$ 的原则，对方程进行整理：

$$2xy\,dx + (e^x)\,dy = 0$$

整理为标准形式，然后使用积分因子法或分离变量法求解。

方法二（全微分方程）：

验证是否为全微分方程，即检查是否满足 $\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}$。若不满足，可尝试寻找积分因子使之成为全微分方程。

解答题例 4.17（1997 数二真题）

此题和上一题处理思想一模一样。若同时出现 $dx, dy, y'$，则除以 $y'$，构造 $\dfrac{dx}{dy}$ 的形式，之后令合适整体进行求解。

已知：$(3x+2xy-yz)dx+(x-2xy)dy=0$，求 $F(x,y)=C$。

解答

将方程改写为 $F(x,y)=C$ 的形式：

$$F(x,y)=\int P(x,y)dx+\int R(y)dy$$

其中 $R(y)$ 是不含 $x$ 的部分。通过偏积分的方法，找到势函数 $F(x,y)$，从而得到通解。

或者将其改写为 $\dfrac{dx}{dy}$ 的形式，选择更适合的处理方式。

三、一阶微分方程解方程切入角度总结

解方程的原则：让最高阶导数前的系数尽可能为 1，优先看 $\dfrac{dy}{dx}$！

之后具体的思考逻辑如下：

1. 优先看 $\dfrac{dy}{dx}$，并使其系数尽可能为 1（例 4.7，4.8，4.11，4.16，4.17）
2. 如果复杂，那就看 $\dfrac{dx}{dy}$，并使其系数尽可能为 1（例 4.9，4.10）
3. 如果看两者都不好处理，那就令某个东西为 $u$，研究 $u$ 和 $u'$，具体的换元形式视方程形式而定。若 $u$ 是 $x,y$ 的函数，则令 $u=u(x,y)$，有 $du=u'_xdx+u'_ydy$，有时还要涉及到化分式为整式，之后再换元。（例 4.8，4.11，4.12，4.13，4.14，4.15，4.16，4.17）
4. 若形式为 $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$，且满足 $\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}$，则该方程为全微分方程（例 4.16，4.17）。全微分方程在考研数学中可能出现，虽然某些版本的考纲未包含，但其思路直观，流水化操作。

实际上，全微分方程不一定排在第④的位置，一般来说，只要见到 $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$，即可考虑使用全微分方程去做题（需先判断其是否满足全微分条件），其优先级甚至高于①。绝大多数这类题目的答案解析并不会给出全微分方程的做法，但很多题目用全微分方程去做的话，可以做得又快又准，且思路极其直观，流水化操作。

四、特殊形式：伯努利方程（仅数一）

形如 $y'+p(x)y=q(x)y^n$ 的方程为伯努利方程，解伯努利方程的通法为：令 $z=y^{1-n}$，即可化为能用公式法计算的一阶微分方程。

当 $n=0$ 或 $n=1$ 时，退化为普通的一阶线性微分方程，不需要伯努利换元。

40 年来，考研数学从未考过只能用伯努利换元去解的方程。

实际上，一些”齐次方程”（即方程 $y'=f(y/x)$，令 $u=y/x$）也可以看作是伯努利方程，但这么做属于把路走弯了。解方程最重要的是逻辑，能用齐次方程去做的题，就不要用伯努利方程去做，40 年来从未考过只能用伯努利换元去解的方程。

伯努利方程的记忆技巧

传统的一阶微分方程的形式是 $y'+p(x)y=q(x)$，此时可用公式法去解方程。而伯努利方程，在等号的最右端多乘了一个 $y^n$。按照上一小节解方程的逻辑，此时无论是看 $y'$ 还是 $x$ 都很难处理，此时想到换元，令某个东西为 $u$，研究 $u$ 和 $u'$。

而伯努利换元的核心思想是：找到一种换元方式，使方程退化为普通的一阶微分方程，之后使用公式法进行求解。

伯努利方程的形式为 $y'+p(x)y=q(x)y^n$，若想使其退化为普通的一阶微分方程，则等号右端只能保留 $q(x)$，所以让 $z'=\dots$，和传统的 $y'+p(x)y=q(x)$ 对比系数，此时即可得到令 $z=y^{1-n}$。

此时，代入原方程可得，方程两端同时乘以 $(1-n)y^{-n}$ 后，即变成普通的一阶线性微分方程，之后即可使用公式法进行求解，进而求出 $y$。

所以，伯努利方程实际上并不需要记忆太多东西，只需要记住以下两点即可：

1. 伯努利方程是一阶微分方程等号右端多乘了个 $y^n$
2. 伯努利换元的核心思想是使其退化成普通的一阶微分方程，之后使用公式法求解。所以要令 $z=y^{1-n}$，让等号右端仅剩 $q(x)(1-n)$

解答题例 4.17.1

求方程 $y'+y=xy^3$ 的通解。

解答

这是一个伯努利方程，其中 $n=3$。令 $z=y^{1-3}=y^{-2}$，则 $z'=-2y^{-3}y'$。

原方程两边同乘以 $y^{-3}$：

$$y^{-3}y'+y^{-2}=x$$

代入 $z=y^{-2}$ 和 $z'=-2y^{-3}y'$：

$$-\frac{1}{2}z'+z=x \Rightarrow z'-2z=-2x$$

这是一阶线性微分方程，使用公式法：

$$z=e^{\int 2dx}\left[\int -2x\cdot e^{-2x}dx+C\right]=e^{2x}\left[x\cdot e^{-2x}+e^{-2x}+C\right]$$ $$=z=x+1+Ce^{2x}$$

代回 $y^{-2}=z$，得到通解：

$$y^2=\frac{1}{x+1+Ce^{2x}}$$

解答题例 4.17.2（张宇基础三十讲）

求方程 $y'+\frac{y}{x}=e^x y^2$ 的通解。

解答

这是伯努利方程，$n=2$。令 $z=y^{1-2}=y^{-1}$，则 $z'=-y^{-2}y'$。

原方程两边同乘以 $y^{-2}$：

$$y^{-2}y'+\frac{y^{-1}}{x}=e^x$$

代入 $z=y^{-1}$ 和 $z'=-y^{-2}y'$：

$$-z'+\frac{z}{x}=e^x \Rightarrow z'-\frac{z}{x}=-e^x$$

使用公式法，积分因子 $\mu=e^{-\int \frac{1}{x}dx}=\frac{1}{x}$：

$$z=\frac{1}{\mu}\left[\int -e^x\cdot\mu dx+C\right]=x\left[-\int \frac{e^x}{x}dx+C\right]$$

最终得到：

$$y=\frac{1}{z}=\frac{x}{C-x\int \frac{e^x}{x}dx}$$

五、考场速记

优先级	操作方法	典型题型
1	优先看 $\dfrac{dy}{dx}$，系数化为 1	大多数一阶方程
2	改为看 $\dfrac{dx}{dy}$	$\dfrac{dy}{dx}$ 复杂时
3	整体换元 $u=g(x,y)$	出现线性组合、三角函数等
4	全微分方程 $Pdx+Qdy=0$	形如 $Pdx+Qdy=0$ 时

伯努利方程速记：

• 形式：$y'+p(x)y=q(x)y^n$
• 换元：$z=y^{1-n}$
• 退化为：$z'+(1-n)p(x)z=(1-n)q(x)$