初等变换与初等矩阵：核心结论与典型题型

在线性代数中，初等变换与初等矩阵是研究矩阵等价、逆矩阵、秩、向量组相关性的重要工具。许多题目表面上是在考查矩阵运算，实质上是在考查“行变换、列变换与矩阵乘法之间的对应关系”。

本文按照“定义 - 性质 - 核心结论 - 例题应用”的顺序进行整理。

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一、初等变换的定义

矩阵的初等变换共有三类。

1. 倍乘变换

将矩阵的某一行或某一列乘以一个非零常数。

例如，把矩阵 $A$ 的第 $i$ 行乘以非零常数 $k$，记作

$$r_i \leftarrow k r_i \qquad (k\neq 0).$$

说明：这里要求 $k\neq 0$，是为了保证该变换可逆。如果某一行乘以 $0$，则这一行的信息全部丢失，不能再通过初等变换恢复。

2. 互换变换

交换矩阵的两行或两列。

例如，交换第 $i$ 行和第 $j$ 行，记作

$$r_i \leftrightarrow r_j.$$

说明：互换变换不会改变矩阵的阶数，只是改变行或列的位置。它在求逆矩阵、化行阶梯形矩阵、判断秩时经常使用。

3. 倍加变换

将某一行或某一列的 $k$ 倍加到另一行或另一列上。

例如，把第 $j$ 行的 $k$ 倍加到第 $i$ 行，记作

$$r_i \leftarrow r_i + k r_j.$$

说明：倍加变换是最常见的初等变换。它不改变矩阵的阶数，也不会破坏矩阵中向量组之间的线性关系。

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二、初等矩阵的定义

由单位矩阵经过一次初等变换所得的矩阵，称为初等矩阵。

例如，对三阶单位矩阵

$$E= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}$$

进行一次行变换

$$r_1 \leftarrow r_1+r_2,$$

得到

$$P= \begin{pmatrix} 1&1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}.$$

那么 $P$ 就是一个初等矩阵。

说明：初等矩阵本质上是“把一次初等变换矩阵化”。以后凡是看到初等矩阵，都应当想到它对应着一次行变换或列变换。

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三、最重要的乘法规则：左行右列

初等矩阵与普通矩阵相乘时，有一个极其重要的原则：

$$\boxed{\text{左乘初等矩阵，相当于做初等行变换；右乘初等矩阵，相当于做初等列变换。}}$$

也就是说，若 $P$ 是初等矩阵，则

$$PA$$

表示对矩阵 $A$ 做某种行变换；而

$$AP$$

表示对矩阵 $A$ 做某种列变换。

这个结论可以概括为四个字：

$$\boxed{\text{左行右列}}$$

说明

“左行右列”不是记忆技巧，而是矩阵乘法本身决定的。

左乘 $P$ 时，矩阵 $P$ 的每一行会去线性组合矩阵 $A$ 的行，因此改变的是 $A$ 的行。

右乘 $P$ 时，矩阵 $P$ 的每一列会去线性组合矩阵 $A$ 的列，因此改变的是 $A$ 的列。

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四、可逆矩阵与初等变换

每一个初等矩阵都是可逆矩阵，并且它的逆矩阵仍然是初等矩阵。

例如

$$P= \begin{pmatrix} 1&1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}$$

表示

$$r_1\leftarrow r_1+r_2.$$

它的逆变换是

$$r_1\leftarrow r_1-r_2,$$

所以

$$P^{-1}= \begin{pmatrix} 1&-1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}.$$

更一般地，可逆矩阵可以分解为若干个初等矩阵的乘积。因此：

$$\boxed{\text{左乘一个可逆矩阵，相当于做若干次初等行变换；}}$$ $$\boxed{\text{右乘一个可逆矩阵，相当于做若干次初等列变换。}}$$

说明：这就是为什么在求逆矩阵时，可以把

$$(A\mid E)$$

经过初等行变换化为

$$(E\mid A^{-1}).$$

因为初等行变换本质上就是不断左乘初等矩阵。

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五、从 $AB=C$ 看行向量与列向量

若

$$AB=C,$$

则这个等式可以从两个角度理解。

1. 从列向量角度看

设

$$A=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n),$$

则 $AB$ 的每一列都是 $A$ 的列向量的线性组合。

因此：

$$\boxed{C\text{ 的列向量可以由 }A\text{ 的列向量线性表示。}}$$

说明：这是因为右乘矩阵 $B$ 的作用是对 $A$ 的列向量进行线性组合。

2. 从行向量角度看

同样地，$AB$ 的每一行都是 $B$ 的行向量的线性组合。

因此：

$$\boxed{C\text{ 的行向量可以由 }B\text{ 的行向量线性表示。}}$$

说明：从矩阵乘法的角度，左边矩阵决定列向量的线性组合，右边矩阵决定行向量的线性组合。

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六、初等变换不改变哪些关系

这是考研线性代数中非常重要的结论。

$$\boxed{\text{初等行变换不改变列向量之间的线性相关性及其表示系数。}}$$ $$\boxed{\text{初等列变换不改变行向量之间的线性相关性及其表示系数。}}$$

说明

设矩阵 $A$ 的列向量为

$$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n.$$

如果它们满足线性关系

$$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n=0,$$

对矩阵 $A$ 做初等行变换，相当于左乘某个可逆矩阵 $P$，于是变为

$$k_1P\alpha_1+k_2P\alpha_2+\cdots+k_nP\alpha_n = P(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n) =0.$$

因此，列向量之间原来的线性关系仍然成立，表示系数也不变。

同理，初等列变换不改变行向量之间的线性关系及其表示系数。

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七、例题讲解

解答题例 1：2006 年数一、数三真题

设 $A$ 为三阶矩阵，将 $A$ 的第 2 行加到第 1 行得到 $B$，再将 $B$ 的第 1 列的 $(-1)$ 倍加到第 2 列得到 $C$。记

$$P= \begin{pmatrix} 1&1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix},$$

求 $C$ 与 $A$ 的关系。

解答

第一步：行变换写成左乘

“将 $A$ 的第 2 行加到第 1 行”，即

$$r_1\leftarrow r_1+r_2.$$

对应的初等矩阵是

$$P= \begin{pmatrix} 1&1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}.$$

由于行变换对应左乘，所以

$$B=PA.$$

第二步：列变换写成右乘

“将第 1 列的 $(-1)$ 倍加到第 2 列”，即

$$c_2\leftarrow c_2-c_1.$$

对应的右乘矩阵是

$$P^{-1}= \begin{pmatrix} 1&-1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}.$$

因此

$$C=BP^{-1}.$$

又因为

$$B=PA,$$

所以

$$\boxed{C=PAP^{-1}}.$$

本题总结

本题关键是判断每一步变换应该写在矩阵的左边还是右边。

行变换写在左边，列变换写在右边。因此先得到

$$B=PA,$$

再得到

$$C=BP^{-1},$$

最终

$$C=PAP^{-1}.$$

解答题例 2：2022 年数二、数三真题

设 $A$ 为三阶矩阵，交换 $A$ 的第 2 行和第 3 行，再将第 2 列的 $(-1)$ 倍加到第 1 列，得到矩阵

$$B= \begin{pmatrix} -2&1&-1\\ 1&-1&0\\ -1&0&0 \end{pmatrix}.$$

求

$$\operatorname{tr}(A^{-1}).$$

解答

第一步：写出行变换矩阵

交换第 2 行和第 3 行，对应的初等矩阵为

$$P_1= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&0&1\\ 0&1&0 \end{pmatrix}.$$

因为是行变换，所以写在左边。

第二步：写出列变换矩阵

将第 2 列的 $(-1)$ 倍加到第 1 列，即

$$c_1\leftarrow c_1-c_2.$$

对应的初等矩阵为

$$P_2= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ -1&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}.$$

因为是列变换，所以写在右边。

于是有

$$\boxed{P_1AP_2=B}.$$

第三步：还原矩阵 $A$

由

$$P_1AP_2=B$$

可得

$$A=P_1^{-1}BP_2^{-1}.$$

由于 $P_1^{-1}=P_1$，且

$$P_2^{-1}= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 1&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix},$$

所以计算得

$$A= \begin{pmatrix} -1&1&-1\\ -1&0&0\\ 0&-1&0 \end{pmatrix}.$$

第四步：利用特征值求 $\operatorname{tr}(A^{-1})$

计算 $A$ 的特征多项式：

$$|\lambda E-A| = \lambda^3+\lambda^2+\lambda+1.$$

分解得

$$\lambda^3+\lambda^2+\lambda+1 = (\lambda+1)(\lambda^2+1).$$

所以 $A$ 的特征值为

$$\lambda_1=-1,\qquad \lambda_2=i,\qquad \lambda_3=-i.$$

若 $A$ 的特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$，则 $A^{-1}$ 的特征值为

$$\frac1{\lambda_1},\frac1{\lambda_2},\frac1{\lambda_3}.$$

因此

$$A^{-1}\text{ 的特征值为 }-1,\,-i,\,i.$$

于是

$$\operatorname{tr}(A^{-1}) = -1+(-i)+i = -1.$$

所以

$$\boxed{\operatorname{tr}(A^{-1})=-1}.$$

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八、解题核心总结

初等变换题的关键不是盲目计算，而是先把语言翻译成矩阵乘法。

遇到“行变换”，写成左乘；遇到“列变换”，写成右乘。

$$\boxed{\text{行变换：左乘}}$$ $$\boxed{\text{列变换：右乘}}$$

如果题目给出的是

$$AB=C,$$

则还要立刻想到：

$$\boxed{C\text{ 的列向量可由 }A\text{ 的列向量线性表示；}}$$ $$\boxed{C\text{ 的行向量可由 }A\text{ 的行向量线性表示。}}$$

这些结论在矩阵等价、秩、向量组线性相关性、相似矩阵、逆矩阵计算中都会反复出现，是线性代数中必须熟练掌握的基础内容。