📚 第 4 章微分方程 · 错题集

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例 4.1（张宇《基础三十讲》· 复合线性项换元 $u=x+y+100$ / 分子有理化 vs 万能代换多解辨析 / 通解与任意常数吸收）

复合线性结构条件反射：
- 遇见形如 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f(ax+by+c)$ （本题中 $\sin(x+y+100)$ ）无法直接分离变量，必须立刻做整体换元 $u = ax+by+c$ ；
- 利用 $\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = a + b\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \implies \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dfrac{1}{b}\left(\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} - a\right)$ ，瞬间转化为可分离变量型微分方程 $\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = a + bf(u)$ 。
分离变量除以零的考纲原则（99.99% 无需讨论分母为 0）：
- 在第二步分离变量 $\dfrac{\mathrm{d}u}{1+\sin u} = \mathrm{d}x$ 时，除以了 $1+\sin u$ （默认 $\sin u \ne -1$ ），回避了 $\sin u = -1$ 的奇异分支；
- 《全国硕士研究生招生考试数学考试大纲》明确只要求“求通解”，并不要求求出全部解（全部解 = 通解 + 奇解），因此考场上绝大多数情况下无需讨论分母为 0，直接继续积分即可。
三角积分双路径选择（分母有理化 vs 万能代换）：
- 分母有理化法（算力最优 · 推荐首选）：遇到形如 $\dfrac{1}{1 \pm \sin u}$ 或 $\dfrac{1}{1 \pm \cos u}$ ，分子分母同乘共轭项利用平方差展开是算力最优解，拆为 $\sec^2 u - \sec u\tan u$ ，一步积分得 $\tan u - \sec u = x+C$ ；
- 万能代换法（通用保底）：令 $t = \tan \dfrac{u}{2}$ ，将三角有理式转化为参数方程 $\dfrac{2}{(1+t)^2}\,\mathrm{d}t$ ，直接积出 $-\dfrac{2}{1+\tan\frac{u}{2}} = x+C$ 。
解的形式不唯一与任意常数吸收：
- 两种方法求得的通解表面形式不同，但实质完全等价： $-\dfrac{2}{1+\tan\frac{u}{2}} = \tan u - \sec u - 1$ ，多出的常数 $-1$ 被任意常数 $C$ 吸收；
- 考研大纲明确：只要最终表达式不含任何导数或微分符号且满足微分方程，半角正切隐函数形式与单角正切正割形式在考场上均为满分标准。

第一步：复合线性换元转化为可分离变量型
原方程可改写为：

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \sin(x+y+100)

令 $u = x+y+100$ ，两端对自变量 $x$ 求导：

\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = 1 + \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \implies \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} - 1

代入原方程得：

\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} - 1 = \sin u \implies \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = 1 + \sin u

分离变量得待求解的不定积分：

\frac{\mathrm{d}u}{1 + \sin u} = \mathrm{d}x

方法一：分母有理化法（分子分母同乘共轭项 · 快速出解）

分子分母同乘 $1 - \sin u$ 恒等变形：

\frac{1 - \sin u}{1 - \sin^2 u}\,\mathrm{d}u = \mathrm{d}x \implies \frac{1 - \sin u}{\cos^2 u}\,\mathrm{d}u = \mathrm{d}x

拆项得：

(\sec^2 u - \sec u\tan u)\,\mathrm{d}u = \mathrm{d}x

两端同时求不定积分：

\int (\sec^2 u - \sec u\tan u)\,\mathrm{d}u = \int \mathrm{d}x \implies \tan u - \sec u = x + C

将 $u = x+y+100$ 代回，得到原方程的通解为：

\boxed{\tan(x+y+100) - \sec(x+y+100) = x + C\quad (C\text{ 为任意常数})}

方法二：万能代换法（半角正切参数方程 · 保底通法）

对左端积分 $\displaystyle\int \frac{\mathrm{d}u}{1+\sin u}$ ，采用半角正切万能代换：令 $t = \tan \dfrac{u}{2}$ ，则由万能参数方程：

\sin u = \frac{2t}{1+t^2}, \qquad \mathrm{d}u = \frac{2}{1+t^2}\,\mathrm{d}t

代入左端被积式：

\frac{\mathrm{d}u}{1 + \sin u} = \frac{\dfrac{2}{1+t^2}\,\mathrm{d}t}{1 + \dfrac{2t}{1+t^2}} = \frac{2\,\mathrm{d}t}{1 + t^2 + 2t} = \frac{2}{(1+t)^2}\,\mathrm{d}t

两端同时求不定积分：

\int \frac{2}{(1+t)^2}\,\mathrm{d}t = \int \mathrm{d}x \implies -\frac{2}{1+t} = x + C_1

将 $t = \tan \dfrac{u}{2}$ 及 $u = x+y+100$ 代回，得到原方程的通解为：

\boxed{-\frac{2}{1 + \tan\left(\dfrac{x+y+100}{2}\right)} = x + C_1\quad (C_1\text{ 为任意常数})}

（亦可移项表示为 $\dfrac{2}{1 + \tan\left(\dfrac{x+y+100}{2}\right)} + x + C = 0$ ）。

核心辨析：两种解的等价性证明与常数吸收

展开方法二的左端半角式：

\begin{aligned} -\frac{2}{1 + \tan\frac{u}{2}} &= -\frac{2}{1 + \dfrac{\sin\frac{u}{2}}{\cos\frac{u}{2}}} = -\frac{2\cos\frac{u}{2}}{\cos\frac{u}{2} + \sin\frac{u}{2}} \\ &= -\frac{2\cos\frac{u}{2}\left(\cos\frac{u}{2} - \sin\frac{u}{2}\right)}{\cos^2\frac{u}{2} - \sin^2\frac{u}{2}} \\ &= -\frac{2\cos^2\frac{u}{2} - 2\sin\frac{u}{2}\cos\frac{u}{2}}{\cos u} \\ &= -\frac{(1 + \cos u) - \sin u}{\cos u} \\ &= -\left(\frac{1}{\cos u} + 1 - \frac{\sin u}{\cos u}\right) \\ &= \tan u - \sec u - 1 \end{aligned}

代回原方程通解式：

(\tan u - \sec u) - 1 = x + C_1 \implies \tan u - \sec u = x + (C_1 + 1)

令任意常数 $C = C_1 + 1$ ，两者数学本质完全一致！

例 4.2（张宇《基础三十讲》· 二阶可降阶微分方程 / $u=p^2$ 一阶线性代换秒杀 vs 齐次代换分母为 0 奇异解辨析）

不显含 $x$ 的二阶可降阶方程降阶核心律：
- 面对 $y'' = f(y, y')$ 型微分方程，因不显含自变量 $x$ ，必须以 $y$ 为新自变量降阶；
- 令 $y'=p$ ，由链式法则 $y'' = \dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} = \dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = p\dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}$ ，消去自变量 $x$ ，化为关于 $p$ 与 $y$ 的一阶方程： $2yp\dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y} = p^2 + y^2$ 。
神仙换元： $u=p^2$ 瞬间降维为一阶线性微分方程（🌟 实战秒杀推荐）：
- 敏锐捕捉到左端导数项具有平方微分结构： $2p\dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y} = \dfrac{\mathrm{d}(p^2)}{\mathrm{d}y}$ ；
- 令 $u = p^2$ ，方程瞬间化为 $y\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y} - u = y^2 \implies u' - \dfrac{1}{y}u = y$ ；
- 公式法轻松积出通解 $u = y^2 + Cy$ 。代入初值 $y(0)=1, p(0)=-1 \implies u(0)=1$ ，直接求出 $C = 0 \implies p^2 = y^2$ ！
- 实战最大优势：运算全程如行云流水，完全避开了“除以未知式分母为 0 导致矛盾”的概念陷阱，是考场上拿全分最稳最快的神技。
齐次代换下的致命陷阱（讲义反例教学核心）：
- 若按定势思维将 $2yp\dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y} = p^2 + y^2$ 视作齐次方程，令 $u = \dfrac{p}{y}$ ，方程整理为 $2yu\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y} = 1-u^2$ ；
- 若直接移项除以 $1-u^2$ 分离变量，积分得 $\left|\dfrac{1}{1-u^2}\right| = C|y| \implies \dfrac{1}{1-u^2} = Cy$ ；
- 代入初值 $y(0)=1, y'(0)=-1 \implies u(0) = \dfrac{-1}{1} = -1$ ，左端出现 $\dfrac{1}{1-(-1)^2} = \mathbf{\dfrac{1}{0} = C \times 1}$ ，方程无解产生严重数学矛盾！
- 核心反例教学警示：当移项分离变量默认分母不为 0 导致初值条件求不出常数或产生无解矛盾时，意味着特解恰好落在分母为 0 的零点分支上（奇异解分支）！必须回头讨论分母为 0： $1-u^2 \equiv 0 \implies u \equiv -1$ 。
开方与导数符号校验：
- 由 $p^2 = y^2 \implies p = \pm y$ ；
- 必须对照初始条件 $y(0)=1>0$ 与 $y'(0)=p(0)=-1<0$ ，因 $p$ 与 $y$ 符号相反，必须严格锁定负号 $p = -y$ ，绝不能漏判符号。

第一步：可降阶方程标准降阶
方程不显含自变量 $x$ ，令 $y' = p$ ，则 $y'' = p\dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}$ 。代入原方程：

2yp\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y} = p^2 + y^2

方法一： $u = p^2$ 换元降维法（🌟 考场实战秒杀技 · 化一阶线性方程）

观察方程左端： $2p\dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y} = \dfrac{\mathrm{d}(p^2)}{\mathrm{d}y}$ 。
令：

u = p^2 \implies \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y} = 2p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}

代入方程得：

y\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y} = u + y^2

由初值 $y(0)=1\ne 0$ ，在 $y\ne 0$ 的邻域内两端同除以 $y$ ：

\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y} - \frac{1}{y}u = y

此为关于 $u(y)$ 的一阶非齐次线性微分方程！
由通解公式（取 $y>0$ ）：

\begin{aligned} u(y) &= e^{\int \frac{1}{y}\,\mathrm{d}y}\left( \int y e^{-\int \frac{1}{y}\,\mathrm{d}y}\,\mathrm{d}y + C \right) \\ &= y\left( \int y \cdot \frac{1}{y}\,\mathrm{d}y + C \right) \\ &= y(y + C) = y^2 + Cy \end{aligned}

代入初值：当 $x=0$ 时， $y=1, p=-1$ ，从而 $u = p^2 = (-1)^2 = 1$ 。
代入通解式：

1 = 1^2 + C \cdot 1 \implies C = 0

故得到特解：

u = y^2 \implies p^2 = y^2 \implies p = \pm y

由 $y(0)=1 > 0$ 且 $p(0) = -1 < 0$ ，知 $p$ 与 $y$ 异号，必取负号：

p = -y \implies \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -y

分离变量并积分：

\frac{\mathrm{d}y}{y} = -\mathrm{d}x \implies \ln|y| = -x + C_1 \implies y = C_2 e^{-x}

代入 $y(0)=1$ ，得 $C_2 = 1$ 。
故所求特解为：

\boxed{y = e^{-x}}

方法二：齐次代换法（讲义概念教学法 · 必须提取分母为 0 奇异解）

将 $2yp\dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y} = p^2 + y^2$ 两端同除以 $y^2$ （由 $y(0)=1\ne 0$ ）：

2\frac{p}{y}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y} = \left(\frac{p}{y}\right)^2 + 1

令 $u = \dfrac{p}{y}$ ，则 $p = yu, \dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y} = u + y\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}$ 。代入得：

2u\left(u + y\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}\right) = u^2 + 1 \implies 2yu\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y} = 1 - u^2

若按正常思路分离变量除以 $1-u^2$ ： $\frac{2u}{1-u^2}\,\mathrm{d}u = \frac{1}{y}\,\mathrm{d}y \implies -\ln|1-u^2| = \ln|y| + \ln C_1 \implies \frac{1}{1-u^2} = Cy$ 代入初值 $y(0)=1, y'(0)=-1 \implies u(0) = \dfrac{-1}{1} = -1$ ： $\frac{1}{1-(-1)^2} = C \times 1 \implies \frac{1}{0} = C \quad (\text{无解矛盾！})$
反思并提取分母为 0 的奇异分支：上述矛盾说明特解必然落在使得分母 $1-u^2 = 0$ 的零点解上。
因为初值 $u(0) = -1$ ，故必取常数解： $u \equiv -1$ 即： $\frac{p}{y} = -1 \implies \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -y \implies y = e^{-x}$

深度反思：为何两种代换路径产生截然不同的“除零体验”？

齐次代换（ $u=\frac{p}{y}$ ） 的本质是引入了分式，方程变形必须除以非线性多项式 $(1-u^2)$ ，把本来处于 $u = -1$ 处的解排斥在外，导致代入初值出现 $\dfrac{1}{0}=C$ 的矛盾。
平方代换（ $u=p^2$ ） 的本质是利用了导数乘积的整式全微分性质 $2p\,\mathrm{d}p = \mathrm{d}(p^2)$ ，将二次非线性方程直接转化为了线性方程，解空间完全连续，初值恰好对应常数 $C=0$ 这一正规解，因而毫无阻碍。

例 4.12（因变量函数复合换元 · $u=\tan y$ 化一阶线性方程）

死套标准形式受阻：本题中导数项带有系数 $\sec^2 y$ ，既非标准形式 $y'+P(x)y=Q(x)$ ，又含三角函数无法直接分离变量。若机械同除以 $\sec^2 y$ 得到 $y' + \frac{x}{1+x^2}\sin y\cos y = x\cos^2 y$ ，由于右端含因变量，依然无法使用一阶线性公式法，陷入死胡同。
复合导数特征结构捕捉：必须形成条件反射——看见 $y'$ 带有复杂的因变量函数系数时，检查它是否恰好是后面某个因变量式子的导数！本题中 $(\tan y)' = \sec^2 y \cdot y'$ ，这一特征明确提示应当将整体 $\tan y$ 视为新未知函数 $u$ 。
换元降阶通法原则：形如 $f'(y)y' + P(x)f(y) = Q(x)$ 的方程，本质上就是关于 $u = f(y)$ 的标准一阶线性微分方程 $u' + P(x)u = Q(x)$ 。
初值条件变量同步：给出初值 $y(0) = 0$ 时，必须同步求出新变量的初值 $u(0) = \tan 0 = 0$ ；积分求出 $u$ 后，务必代回原未知量 $\tan y$ 。

第一步：结构识别与因变量换元 注意到左端导数项中， $(\tan y)' = \sec^2 y \cdot y'$ 。
令中间变量：

u = \tan y

两端对自变量 $x$ 求导得：

\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = \sec^2 y \cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = y'\sec^2 y

代入原方程，原非线性方程瞬间化为关于 $u(x)$ 的一阶非齐次线性微分方程标准型：

\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} + \frac{x}{1+x^2}u = x

第二步：公式法求解线性微分方程通解 此时 $P(x) = \dfrac{x}{1+x^2}, Q(x) = x$ 。
计算积分因子：

\int P(x)\,\mathrm{d}x = \int \frac{x}{1+x^2}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\ln(1+x^2)

（因 $1+x^2 \ge 1 > 0$ ，无需加绝对值）。
套用一阶线性微分方程通解公式：

\begin{aligned} u &= e^{-\int \frac{x}{1+x^2}\,\mathrm{d}x}\left[ \int x e^{\int \frac{x}{1+x^2}\,\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x + C \right]\\ &= e^{-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)}\left[ \int x e^{\frac{1}{2}\ln(1+x^2)}\,\mathrm{d}x + C \right]\\ &= \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\left[ \int x\sqrt{1+x^2}\,\mathrm{d}x + C \right] \end{aligned}

计算内层积分（凑微分法）：

\int x\sqrt{1+x^2}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\int (1+x^2)^{1/2}\,\mathrm{d}(1+x^2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}(1+x^2)^{3/2} = \frac{1}{3}(1+x^2)^{3/2}

代入整理得到 $u$ 的通解表达式：

u = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\left[ \frac{1}{3}(1+x^2)^{3/2} + C \right] = \frac{1}{3}(1+x^2) + \frac{C}{\sqrt{1+x^2}}

第三步：代入初值条件确定常数 $C$ 由初始条件知：当 $x = 0$ 时 $y = 0$ ，对应新变量初值为：

u(0) = \tan 0 = 0

代入通解式中：

0 = \frac{1}{3}(1 + 0) + \frac{C}{\sqrt{1 + 0}} \implies 0 = \frac{1}{3} + C \implies C = -\frac{1}{3}

第四步：代回变量给出最终特解 将 $C = -\dfrac{1}{3}$ 及 $u = \tan y$ 代回：

\tan y = \frac{1}{3}(1+x^2) - \frac{1}{3\sqrt{1+x^2}}

提取公因式 $\dfrac{1}{3}$ 整理，得所求特解方程为：

\boxed{\tan y = \frac{1}{3}\left( 1 + x^2 - \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \right)}

（亦可显式写为 $y = \arctan\left[ \dfrac{1}{3}\left( 1 + x^2 - \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}} \right) \right]$ ）。

例 4.17.2（张宇《基础三十讲》· 反函数导数化伯努利方程 / 凑微分全微分秒杀 / 变量代换与分部积分）

常规导数 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 陷入死胡同：
- 面对微分方程 $y\,\mathrm{d}x = (1 + x\ln y)x\,\mathrm{d}y$ ，若按定势思维看 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dfrac{y}{x(1 + x\ln y)}$ ，分母是 $x$ 与 $\ln y$ 的非线性耦合乘积，既无法分离变量，又非齐次式，更非一阶线性微分方程，算力彻底卡死；
- 考场最高决策原则：正向 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 分母复杂时，果断反客为主看反函数导数 $\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}$ ！
反函数视角下的结构识别（伯努利方程）：
- 取倒数后，原方程两边同除以 $y\,\mathrm{d}y$ ： $\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = \dfrac{x(1+x\ln y)}{y} = \dfrac{1}{y}x + \dfrac{\ln y}{y}x^2$ ；
- 移项后呈现为 $\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} - \dfrac{1}{y}x = \dfrac{\ln y}{y}x^2$ ，以 $y$ 为自变量、 $x$ 为未知函数，等号右端含有二次项 $x^2$ ，正是参数 $n=2$ 的标准伯努利微分方程！
伯努利换元导数负号遗漏（高频失分陷阱）：
- 两端同乘 $x^{-2}$ ： $x^{-2}\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} - \dfrac{1}{y}x^{-1} = \dfrac{\ln y}{y}$ ；
- 令 $u = x^{1-n} = x^{-1}$ ，两端对 $y$ 求导： $\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y} = -x^{-2}\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} \implies x^{-2}\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = \mathbf{-\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}}$ ；
- 极易失误漏掉负号！若误写为 $+u'$ ，会导致后续一阶非齐次方程非齐次项符号颠倒，计算全盘皆输；代入后规范化为： $\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y} + \dfrac{1}{y}u = -\dfrac{\ln y}{y}$ 。
分部积分与符号细节：
- 积分因子为 $e^{\int \frac{1}{y}\mathrm{d}y} = y$ （由 $\ln y$ 知 $y>0$ ，无需加绝对值）；
- 内层积分 $\displaystyle\int \left(-\frac{\ln y}{y}\right) \cdot y\,\mathrm{d}y = -\int \ln y\,\mathrm{d}y = -(y\ln y - y) + C = y - y\ln y + C$ ；
- 乘以 $\dfrac{1}{y}$ 后得到 $u = 1 - \ln y + \dfrac{C}{y}$ ；
- 务必完成最后一步变量回代： $u = \dfrac{1}{x}$ 。
降维破局新视野：全微分/凑微分秒杀法（一题多解）：
- 原式改写为 $y\,\mathrm{d}x - x\,\mathrm{d}y = x^2\ln y\,\mathrm{d}y$ ；
- 看到左端具有商导数分子特征，两端同除以 $x^2$ ： $\dfrac{y\,\mathrm{d}x - x\,\mathrm{d}y}{x^2} = \ln y\,\mathrm{d}y$ ；
- 左边恰好是 $-\mathrm{d}\left(\dfrac{y}{x}\right)$ ，右边是纯 $y$ 的微分 $\mathrm{d}(y\ln y - y)$ ！
- 两端直接积分瞬间得出 $-\dfrac{y}{x} = y\ln y - y + C_1$ ，两端同除以 $-y$ 即刻秒杀通解 $\dfrac{1}{x} = 1 - \ln y + \dfrac{C}{y}$ ！无需引入伯努利换元，考场效率提升数倍！

方法一：反函数导数化伯努利方程法（教材标准通法）

第一步：视角反转，建立关于 $x(y)$ 的导数方程 观察原方程： $y\,\mathrm{d}x = (x + x^2\ln y)\,\mathrm{d}y$ 。
若将 $y$ 视为因变量， $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dfrac{y}{x + x^2\ln y}$ 分母项不可拆，无法处理；
故将 $x$ 视为未知函数、 $y$ 视为自变量，两边同除以 $y\,\mathrm{d}y$ （由题意包含 $\ln y$ ，显然 $y > 0$ ）：

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = \frac{x + x^2\ln y}{y} = \frac{1}{y}x + \frac{\ln y}{y}x^2

移项整理为标准形式：

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} - \frac{1}{y}x = \frac{\ln y}{y}x^2

此为关于未知函数 $x(y)$ 、参数 $n = 2$ 的伯努利微分方程。

第二步：两端除以 $x^2$ 并换元线性化 方程两端同乘 $x^{-2}$ ：

x^{-2}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} - \frac{1}{y}x^{-1} = \frac{\ln y}{y}

令中间变量：

u = x^{1-2} = x^{-1} = \frac{1}{x}

两边对自变量 $y$ 求导：

\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y} = -x^{-2}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} \implies x^{-2}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = -\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}

代入方程得：

-\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y} - \frac{1}{y}u = \frac{\ln y}{y} \implies \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y} + \frac{1}{y}u = -\frac{\ln y}{y}

成功降维化为关于 $u(y)$ 的一阶非齐次线性微分方程！

第三步：公式法求解一阶线性微分方程 此处 $P(y) = \dfrac{1}{y}$ ， $Q(y) = -\dfrac{\ln y}{y}$ 。
计算积分因子：

e^{\int P(y)\,\mathrm{d}y} = e^{\int \frac{1}{y}\,\mathrm{d}y} = e^{\ln y} = y \quad (y > 0)

套用一阶线性微分方程通解公式：

\begin{aligned} u(y) &= e^{-\int \frac{1}{y}\,\mathrm{d}y}\left[ \int \left(-\frac{\ln y}{y}\right) e^{\int \frac{1}{y}\,\mathrm{d}y}\,\mathrm{d}y + C \right]\\ &= \frac{1}{y}\left[ \int \left(-\frac{\ln y}{y}\right) \cdot y\,\mathrm{d}y + C \right]\\ &= \frac{1}{y}\left[ -\int \ln y\,\mathrm{d}y + C \right] \end{aligned}

由分部积分法： $\displaystyle\int \ln y\,\mathrm{d}y = y\ln y - \int y \cdot \frac{1}{y}\,\mathrm{d}y = y\ln y - y$ 。
代入得：

u(y) = \frac{1}{y}\left[ -(y\ln y - y) + C \right] = \frac{1}{y}(y - y\ln y + C) = 1 - \ln y + \frac{C}{y}

第四步：回代变量求出通解 将 $u = \dfrac{1}{x}$ 代回，得到原微分方程的通解为：

\boxed{\frac{1}{x} = 1 - \ln y + \frac{C}{y}\quad (C\text{ 为任意常数})}

（亦可显式解出 $x = \dfrac{y}{y(1 - \ln y) + C}$ ）。

方法二：商微分配凑法（🌟 考场秒杀技 · 两行完卷）

第一步：移项分离商导数结构 将原方程展开并移项：

y\,\mathrm{d}x - x\,\mathrm{d}y = x^2\ln y\,\mathrm{d}y

观察左端为 $y\,\mathrm{d}x - x\,\mathrm{d}y$ ，两端同除以 $x^2$ ：

\frac{y\,\mathrm{d}x - x\,\mathrm{d}y}{x^2} = \ln y\,\mathrm{d}y

第二步：识别全微分并直接两端积分 注意到商求导公式：

\mathrm{d}\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{x\,\mathrm{d}y - y\,\mathrm{d}x}{x^2} \implies \frac{y\,\mathrm{d}x - x\,\mathrm{d}y}{x^2} = -\mathrm{d}\left(\frac{y}{x}\right)

故方程等价于：

-\mathrm{d}\left(\frac{y}{x}\right) = \ln y\,\mathrm{d}y

两端直接求不定积分：

-\frac{y}{x} = \int \ln y\,\mathrm{d}y = y\ln y - y + C_1

两端同除以 $-y$ （令 $C = -C_1$ 为任意常数）：

\boxed{\frac{1}{x} = 1 - \ln y + \frac{C}{y}\quad (C\text{ 为任意常数})}

反函数判定律：遇见分式导数 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dfrac{A}{B}$ ，若分母 $B$ 项数多且高度混合、分子 $A$ 结构单一时，必须 100% 触发反转条件反射看 $\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}$ ；
伯努利本质特征：导数方程写出后形如 $\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} + P(y)x = Q(y)x^n$ ，核心解法是除以 $x^n$ 并令 $u = x^{1-n}$ ，导数项换元必产生系数 $\dfrac{1}{1-n}$ （本题 $n=2$ 产生负号）；
商求导四大凑微分经典核：
- $\dfrac{x\,\mathrm{d}y - y\,\mathrm{d}x}{x^2} = \mathrm{d}\left(\dfrac{y}{x}\right)$
- $\dfrac{y\,\mathrm{d}x - x\,\mathrm{d}y}{y^2} = \mathrm{d}\left(\dfrac{x}{y}\right)$
- $\dfrac{x\,\mathrm{d}y - y\,\mathrm{d}x}{xy} = \mathrm{d}\left(\ln\left|\dfrac{y}{x}\right|\right)$
- $\dfrac{x\,\mathrm{d}y - y\,\mathrm{d}x}{x^2+y^2} = \mathrm{d}\left(\arctan\dfrac{y}{x}\right)$

例 4.21（二阶线性非齐次微分方程解的结构 · 特解相减求齐次解 · 剥离齐次项反求微分方程）

机械联立卡壳：切忌强行代入待定系数组：
- 面对给出多个非齐次特解反求二阶方程 $y'' + py' + qy = f(x)$ 的题目，若试图将三个解分别代入方程硬联立，由于涉及导数计算和未知的函数 $f(x)$ ，将陷入繁琐混乱的算力死胡同；
- 核心破局思想：常系数线性非齐次方程由左端齐次微分算子（由特征根决定）与右端非齐次自由项 $f(x)$ （由特解决定）独立构成，必须利用解的结构定理分步击破！
特解两两相减“脱马甲”取齐次解：
- 由线性微分算子的性质： $L[y_i - y_j] = L[y_i] - L[y_j] = f(x) - f(x) = 0$ ；
- 任意两个非齐次特解之差必为对应齐次方程的解！
- 做差得 $y_3 - y_1 = e^{-x} \implies$ 对应特征方程实根 $r_1 = -1$ ；
- 进一步提取组合 $(y_3 - y_2) - 2(y_3 - y_1) = e^{2x} \implies$ 对应特征方程实根 $r_2 = 2$ ；
- 构造特征方程 $(r+1)(r-2) = r^2 - r - 2 = 0$ ，瞬间完全确定方程左端： $y'' - y' - 2y$ ！
透视眼识别非齐次特解（剥离齐次项）：
- 通解结构定理： $\text{非齐次解} = \text{非齐次特解 } y^* + \text{齐次通解 } Y$ ；
- 观察题目给出的特解： $y_1 = \mathbf{xe^x} + e^{2x}, \; y_2 = \mathbf{xe^x} - e^{-x}, \; y_3 = \mathbf{xe^x} + e^{2x} + e^{-x}$ ；
- 后半部分 $e^{2x}$ 与 $e^{-x}$ 正是齐次解基底，剥离掉齐次项后，公共核心 $\mathbf{xe^x}$ 必然是非齐次方程的一个最简特解 $y^*$ ！
代回左端算子求自由项 $f(x)$ ：
- 将 $y^* = xe^x$ 求一阶、二阶导数： $(y^*)' = (x+1)e^x, \; (y^*)'' = (x+2)e^x$ ；
- 代入左端 $y'' - y' - 2y = (x+2)e^x - (x+1)e^x - 2xe^x = e^x(1 - 2x)$ ，直接锁定右端自由项 $f(x)$ ；
- 注：即使未看穿公共核心，直接代入原题给出的任一特解（如 $y_1$ ）到左端，因齐次部分 $L[e^{2x}] = 0$ ，算出的 $f(x)$ 完全相同。

第一步：特解两两作差，提取齐次特征根（确定方程左端）

设所求二阶常系数非齐次线性微分方程为：

y'' + py' + qy = f(x)

由线性微分方程解的结构定理，非齐次方程的任意两个特解之差必为对应齐次方程 $y'' + py' + qy = 0$ 的解。
分别做差：

\begin{aligned} Y_1 &= y_3 - y_1 = (xe^x + e^{2x} + e^{-x}) - (xe^x + e^{2x}) = e^{-x} \\ Y_2 &= y_3 - y_2 = (xe^x + e^{2x} + e^{-x}) - (xe^x - e^{-x}) = e^{2x} + 2e^{-x} \end{aligned}

因为齐次方程解的线性组合仍为齐次解，由 $Y_1 = e^{-x}$ 与 $Y_2 = e^{2x} + 2e^{-x}$ 可得：

Y_2 - 2Y_1 = e^{2x}

亦为齐次方程的解。
从而齐次方程拥有两个线性无关的特解：

y = e^{-x} \quad \text{和} \quad y = e^{2x}

对应特征方程的两个特征根为：

r_1 = -1, \qquad r_2 = 2

从而对应齐次方程的特征方程为：

(r - r_1)(r - r_2) = (r + 1)(r - 2) = 0 \implies r^2 - r - 2 = 0

由此完全确定原方程左端项为：

y'' - y' - 2y

（即系数 $p = -1, \; q = -2$ ）。

第二步：提取非齐次特解 $y^*$

观察原方程特解 $y_1 = xe^x + e^{2x}$ ：
由于 $e^{2x}$ 是齐次方程的解（代入方程左端结果为 0），根据解的叠加原理，从非齐次解中减去齐次解，所得仍为非齐次解：

y^* = y_1 - e^{2x} = xe^x

故 $y^* = xe^x$ 是原非齐次方程的一个特解。

第三步：将特解代入方程左端，反求右端自由项 $f(x)$

对特解 $y^* = xe^x$ 连续求导：

(y^*)' = (xe^x)' = e^x + xe^x

(y^*)'' = (e^x + xe^x)' = 2e^x + xe^x

将 $y^*, (y^*)', (y^*)''$ 代入方程左端 $y'' - y' - 2y$ ：

\begin{aligned} f(x) &= (y^*)'' - (y^*)' - 2(y^*) \\ &= (2e^x + xe^x) - (e^x + xe^x) - 2(xe^x) \\ &= (2 - 1)e^x + (1 - 1 - 2)xe^x \\ &= e^x - 2xe^x \\ &= e^x(1 - 2x) \end{aligned}

综上所述，所求二阶常系数非齐次微分方程为：

\boxed{y'' - y' - 2y = e^x(1 - 2x)}

已知特解求方程“三步杀”：
- 第一步（求特征根定左边）：两两相减得齐次解 $\to$ 找基底 $e^{rx}$ 提特征根 $\to$ 乘积展开得特征方程 $\to$ 写出 $y'' + py' + qy$ ；
- 第二步（脱齐次衣找特解）：从任意特解中减去已知的齐次解项，提炼出最简特解 $y^*$ （或直接用原始特解）；
- 第三步（求导代入算右边）：将特解代入左边算子，计算得到 $f(x)$ 。
线性组合系数和黄金法则：设 $y_1, y_2, y_3$ $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 为非齐次方程特解，其线性组合 $\lambda_1 y_1 + \lambda_2 y_2 + \lambda_3 y_3$ $λ_{1} y_{1} + λ_{2} y_{2} + λ_{3} y_{3}$ ：
- 若 $\sum \lambda_i = 1 \implies$ 必为该非齐次方程的特解；
- 若 $\sum \lambda_i = 0 \implies$ 必为对应齐次方程的解！

例 4.32（2005 数二真题 · 自变量代换 $x=\cos t$ · 复合链式求导 · 初值代入避坑铁律）

复合求导链式法则漏乘尾巴（高频失误点）：
- 由自变量变换 $x = \cos t$ ，微商倒数关系为 $\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = -\dfrac{1}{\sin t}$ ；
- 求一阶导数： $y' = \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \cdot \dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = -\dfrac{1}{\sin t} \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$ ；
- 求二阶导数时： $\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left( y' \right) = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( -\dfrac{1}{\sin t} \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \right) \cdot \mathbf{\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}}$ ；
- 括号外极易漏乘微商因子 $\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}$ ！若漏乘，代入原方程后一阶导数项无法相互抵消，常系数齐次方程无法生成，直接导致运算崩溃。
核心避坑警告：初值绝对不能在 $t$ 的通解下直接代入（致命陷阱）：
- 解出关于 $t$ 的通解 $y(t) = C_1 \cos t + C_2 \sin t$ 后，当 $x = 0$ 时虽然对应 $t = \dfrac{\pi}{2}$ ；
- 但题目给出的导数初值是 $\left.y'\right|_{x=0} = 2$ ，即对自变量 $x$ 的导数 $\left.\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_{x=0} = 2$ ，绝对不等同于对 $t$ 的导数 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$ ！
- 由 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\dfrac{1}{\sin t}\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$ 可知，当 $t = \dfrac{\pi}{2}$ 时， $\left.\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_{x=0} = -\left.\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right|_{t=\frac{\pi}{2}}$ ，二者之间相差一个负号；
- 若直接强套导数初值，会得出 $-C_1 = 2 \implies C_1 = -2$ ，差了一个负号，全题特解直接零分！
考场黄金铁律：
- 解出自变量为 $t$ 的通解后，永远第一步先利用 $x = \cos t$ 和 $\sin t = \sqrt{1-x^2}$ 换回原自变量 $x$ ，写出 $y(x)$ 及其导数 $y'(x)$ ，然后再代入初始条件求待定常数！这样能 100% 免疫任何微商系数和符号陷阱。

第一步：复合函数链式求导表示 $y'$ 与 $y''$
由 $x = \cos t$ （ $0 < t < \pi$ ），得：

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = -\sin t \implies \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = -\frac{1}{\sin t}

依链式法则：

y' = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = -\frac{1}{\sin t} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}

再次对 $x$ 求导：

\begin{aligned} y'' = \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( -\frac{1}{\sin t} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \right) \cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} \\ &= \left[ \frac{\cos t}{\sin^2 t} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} - \frac{1}{\sin t} \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2} \right] \cdot \left( -\frac{1}{\sin t} \right) \\ &= \frac{1}{\sin^2 t} \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2} - \frac{\cos t}{\sin^3 t} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \end{aligned}

第二步：代入原微分方程消去 $x$ 并化简
注意到 $1 - x^2 = 1 - \cos^2 t = \sin^2 t$ （ $t \in (0, \pi) \implies \sin t > 0$ ），代入原方程：

(1-x^2)y'' - xy' + y = 0

得：

\sin^2 t \left[ \frac{1}{\sin^2 t} \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2} - \frac{\cos t}{\sin^3 t} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \right] - \cos t \left[ -\frac{1}{\sin t} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \right] + y = 0

展开后：

\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2} - \frac{\cos t}{\sin t} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} + \frac{\cos t}{\sin t} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} + y = 0

一阶导数项恰好相互抵消，得到二阶常系数齐次线性方程：

\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2} + y = 0

第三步：求解常系数方程通解
特征方程为 $r^2 + 1 = 0 \implies r_{1,2} = \pm i$ 。
故关于自变量 $t$ 的通解为：

y(t) = C_1 \cos t + C_2 \sin t \quad (C_1, C_2 \text{ 为任意常数})

第四步：换回原自变量 $x$ （关键防错步！）
由 $x = \cos t$ ，在 $0 < t < \pi$ 时 $\sin t = \sqrt{1 - x^2}$ ，回代得：

y(x) = C_1 x + C_2 \sqrt{1 - x^2}

第五步：代入初值条件确定特解
对 $y(x)$ 关于 $x$ 求导：

y'(x) = C_1 - \frac{C_2 x}{\sqrt{1 - x^2}}

代入初值 $\left.y\right|_{x=0} = 1, \; \left.y'\right|_{x=0} = 2$ ：

\begin{cases} y(0) = C_2 = 1 \\ y'(0) = C_1 = 2 \end{cases} \implies C_1 = 2, \quad C_2 = 1

故所求特解为：

\boxed{y = 2x + \sqrt{1 - x^2}}

例 4.33（1998 数二真题 · 因变量代换 $y=\frac{u}{\cos x}$ · 整式化降负求导 / 反向凑微分秒杀）

分式商求导陷阱（算力黑洞）：
- 题目给出 $y = \dfrac{u}{\cos x}$ ，若机械套用商导数公式 $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ ，求一阶导数分母产生 $\cos^2 x$ ，二阶导数分母产生 $\cos^3 x$ 与 $\cos^4 x$ ；
- 代入原方程后需极其繁琐地通分、展开、合并，极易发生符号错误与遗漏项；
- 降负核心心法：必须化分式为整式！改写为乘积形式 $y = u \sec x$ ，利用 $(\sec x)' = \sec x \tan x$ ，求导运算干净利落！
高阶巧解：反向设未知函数凑微分（一秒破局）：
- 代换关系 $y = \dfrac{u}{\cos x}$ 可直接反写为 $u = y \cos x$ ；
- 对 $u$ 连续对 $x$ 求导两次： $u' = y'\cos x - y\sin x$ ， $u'' = y''\cos x - 2y'\sin x - y\cos x$ ；
- 惊奇发现： $u'' + 4u = y''\cos x - 2y'\sin x - y\cos x + 4y\cos x = y''\cos x - 2y'\sin x + 3y\cos x$ ，恰好就是原方程左端！原方程瞬间化为 $u'' + 4u = e^x$ ；
- 此法不仅免除了正割函数导数，更无需任何多项式代入抵消，堪称考场“降维打击”。
非齐次常系数线性微分方程特解与变量回代：
- $u'' + 4u = e^x$ 中， $\lambda = 1$ 不是特征根 $r = \pm 2i$ ，故设特解 $u^* = Ae^x$ ，易求得 $A = \dfrac{1}{5}$ ；
- 通解为 $u(x) = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x + \dfrac{1}{5}e^x$ ；
- 切勿遗漏最终回代：原方程未知量是 $y$ ，必须用 $y = \dfrac{u}{\cos x}$ 换回！

方法一：整式化正向求导代入法（经典标准解法）

第一步：化分式为整式并求导
将代换变形为：

y = u \sec x

对 $x$ 求一阶导数（注意 $(\sec x)' = \sec x \tan x$ ）：

y' = u' \sec x + u \sec x \tan x

再次对 $x$ 求导得二阶导数：

\begin{aligned} y'' &= (u' \sec x)' + (u \sec x \tan x)' \\ &= (u'' \sec x + u' \sec x \tan x) + [u' \sec x \tan x + u(\sec x \tan^2 x + \sec^3 x)] \\ &= u'' \sec x + 2u' \sec x \tan x + u(\sec^3 x + \sec x \tan^2 x) \end{aligned}

第二步：代入原微分方程化简
代入原方程左端：

\begin{aligned} \text{原方程左端} &= y'' \cos x - 2y' \sin x + 3y \cos x \\ &= [u'' \sec x + 2u' \sec x \tan x + u(\sec^3 x + \sec x \tan^2 x)]\cos x \\ &\quad - 2(u' \sec x + u \sec x \tan x)\sin x + 3(u \sec x)\cos x \\ &= [u'' + 2u' \tan x + u(\sec^2 x + \tan^2 x)] - 2[u' \tan x + u \tan^2 x] + 3u \\ &= u'' + u(\sec^2 x - \tan^2 x + 3) \end{aligned}

由基本恒等式 $\sec^2 x - \tan^2 x = 1$ ，得：

\text{原方程左端} = u'' + 4u

从而原方程化为关于 $u(x)$ 的二阶常系数非齐次线性微分方程：

u'' + 4u = e^x

第三步：求解常系数非齐次线性方程

齐次方程通解： $r^2 + 4 = 0 \implies r = \pm 2i$ ，故 $\overline{u} = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x$ ；
非齐次特解：自由项 $f(x) = e^x$ ， $\lambda = 1$ 不是特征根，设 $u^* = Ae^x$ 。代入得 $5Ae^x = e^x \implies A = \dfrac{1}{5}$ ；
得到 $u(x)$ 通解： $u(x) = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x + \frac{1}{5}e^x$

第四步：换回原未知函数 $y(x)$
由 $y = \dfrac{u}{\cos x}$ ，得原方程通解为：

\boxed{y = \frac{C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x + \frac{1}{5}e^x}{\cos x}}

（亦可展开写为 $y = \dfrac{C_1 \cos 2x}{\cos x} + 2C_2 \sin x + \dfrac{e^x}{5\cos x}$ ，其中 $C_1, C_2$ 为任意常数）。

方法二：反向求导配凑法（🌟 讲义蓝色笔迹速解技巧）

第一步：反向设定函数
将变换改写为：

u = y \cos x

第二步：连续求导配凑原方程左端
对 $x$ 求一阶导数：

u' = y' \cos x - y \sin x

对 $x$ 求二阶导数：

u'' = y'' \cos x - 2y' \sin x - y \cos x

观察原方程左端项 $y'' \cos x - 2y' \sin x + 3y \cos x$ ：
将 $u''$ 加上 $4u$ ：

\begin{aligned} u'' + 4u &= (y'' \cos x - 2y' \sin x - y \cos x) + 4(y \cos x) \\ &= y'' \cos x - 2y' \sin x + 3y \cos x \end{aligned}

恰好完全重合！故方程瞬时化简为：

u'' + 4u = e^x

随后求解通解步骤与方法一完全相同。

例 4.36（李林 880 · 变上限积分与任意位移参数 · 参数 $a$ 偏求导秒杀 vs 特值消元 / 全微分凑项一步定解）

积分限含双变量的认知突围：
- 面对 $\displaystyle\int_x^{x+a} \dots \mathrm{d}t$ ，上下限均含变量，常规对 $x$ 求导需同时对上限、下限链式求导并保留 $a$ ，容易被双变量 $x, a$ 缠住；
- 核心破局眼力：抓住题干题眼——“对任意非 $x$ 变量 $a$ 恒成立”！既然是对 $x, a$ 恒成立的等式，意味着我们可以把 $x$ 视作独立常数，两边直接对参数 $a$ 偏求导！
参数 $a$ 偏求导的降维威力（🌟 全网最快秒杀路径）：
- 视 $x$ 为常数对 $a$ 求导时，积分下限 $x$ 不含 $a$ ，末项 $f(x)$ 不含 $a$ ，二者的导数全部恒为 0！
- 仅有上限 $x+a$ 对 $a$ 求导为 $1$ ，瞬间导出 $f'(x+a) = \dfrac{(x+a)[(x+a)^2+1]}{f(x+a)}$ ；
- 直接令 $a = 0$ ，无需思考任何赋特值的猜想，一步秒出微分方程 $f(x)f'(x) = x(x^2+1)$ ！
极速积分心法：全微分逆用（无需展开四次多项式）：
- 得到 $f(x)f'(x) = x(x^2+1)$ 后，若常规展开为 $x^3+x$ ，积分得 $\dfrac{1}{4}x^4 + \dfrac{1}{2}x^2 + C$ ，代入初值计算 $C$ 后还需配完全平方；
- 更高维的做法是识别核：右端 $2x(x^2+1) = (x^2+1)\,\mathrm{d}(x^2+1) = \left[\dfrac{1}{2}(x^2+1)^2\right]'$ ；
- 左端为 $[f^2(x)]'$ ，两端直接看穿 $f^2(x) = \dfrac{1}{2}(x^2+1)^2 + C$ ；
- 代入 $x=1, f(1)=\sqrt{2} \implies 2 = 2 + C \implies C = 0$ ，心算即可秒杀！
考场严谨性踩分点（开方正负号论证）：
- 算得 $f^2(x) = \dfrac{1}{2}(x^2+1)^2$ 后，不能机械脱绝对值；
- 规范必须注明：“由 $f(1) = \sqrt{2} > 0$ ，结合 $f(x)$ 导数连续及被积函数分母非零（处处不可为 0，由介值定理恒保号），故 $f(x) > 0$ 恒成立，开方取正号”。

方法一：参数 $a$ 偏求导法（🌟 逻辑最自然、考场 5 秒秒杀）

第一步：视 $x$ 为常数，两端直接对 $a$ 求导
因为已知等式对任意实数 $x$ 与 $a$ 恒成立，视 $x$ 为常数，两端直接关于变量 $a$ 求导：

左端对 $a$ 求导： $\dfrac{\partial}{\partial a}[f(x+a)] = f'(x+a) \cdot 1$ ；
右端积分下限 $x$ 与常数项 $f(x)$ 均不含 $a$ ，对 $a$ 导数均为 $0$ ；
仅积分上限 $x+a$ 关于 $a$ 的导数为 $1$ 。

依据变上限积分求导法则：

f'(x+a) = \frac{(x+a)\left[(x+a)^2+1\right]}{f(x+a)} \cdot 1 + 0

第二步：令 $a=0$ 瞬时锁定微分方程
在上式中直接令 $a = 0$ （因对任意 $a$ 均成立）：

f'(x) = \frac{x(x^2+1)}{f(x)}

整理得：

f(x)f'(x) = x(x^2+1)

第三步：全微分凑项极速求解通解
两端同时乘以 $2$ ：

2f(x)f'(x) = 2x(x^2+1)

注意到左端为 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[f^2(x)]$ ，右端可直接凑微分：

2x(x^2+1) = (x^2+1)\frac{\mathrm{d}(x^2+1)}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[ \frac{1}{2}(x^2+1)^2 \right]

两端同时关于 $x$ 积分：

f^2(x) = \frac{1}{2}(x^2+1)^2 + C

第四步：初值定常数与正负号判定
代入初始条件 $f(1) = \sqrt{2}$ ：

(\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2}(1^2+1)^2 + C \implies 2 = \frac{1}{2}(4) + C \implies 2 = 2 + C \implies C = 0

从而：

f^2(x) = \frac{1}{2}(x^2+1)^2

由于 $f(1) = \sqrt{2} > 0$ ，且被积函数分母要求 $f(t) \ne 0$ ，由连续函数介值定理保号性， $f(x)$ 恒为正值。
开方取正，得：

\boxed{f(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}(x^2+1)}

方法二：特值赋零消元法（讲义常规推荐法）

第一步：令 $x=0$ 消去下限变量
由恒等式对任意 $x, a$ 成立，令 $x = 0$ ：

f(a) = \int_0^a \frac{t(t^2+1)}{f(t)}\,\mathrm{d}t + f(0)

第二步：两端对 $a$ 求导

f'(a) = \frac{a(a^2+1)}{f(a)} \implies f(a)f'(a) = a^3 + a

将自变量记号换回 $x$ ，积分步骤与方法一相同。

方法三：导数定义极限法（微积分根本思想）

移项两端同除以 $a$ （ $a \ne 0$ ）：

\frac{f(x+a) - f(x)}{a} = \frac{1}{a}\int_x^{x+a} \frac{t(t^2+1)}{f(t)}\,\mathrm{d}t

两端取极限 $a \to 0$ ：

左端由导数定义为 $f'(x)$ ；
右端由积分第一中值定理（或变上限积分洛必达法则）： $\lim_{a \to 0} \frac{1}{a}\int_x^{x+a} g(t)\,\mathrm{d}t = g(x) = \frac{x(x^2+1)}{f(x)}$

同样瞬时建立微分方程 $f(x)f'(x) = x(x^2+1)$ 。

ギターと孤独と蒼い惑星

📚 第 4 章微分方程 · 错题集

📚 第 4 章微分方程 · 错题集

例 4.1（张宇《基础三十讲》· 复合线性项换元 $u=x+y+100$ / 分子有理化 vs 万能代换多解辨析 / 通解与任意常数吸收）

例 4.2（张宇《基础三十讲》· 二阶可降阶微分方程 / $u=p^2$ 一阶线性代换秒杀 vs 齐次代换分母为 0 奇异解辨析）

例 4.12（因变量函数复合换元 · $u=\tan y$ 化一阶线性方程）

例 4.17.2（张宇《基础三十讲》· 反函数导数化伯努利方程 / 凑微分全微分秒杀 / 变量代换与分部积分）

例 4.21（二阶线性非齐次微分方程解的结构 · 特解相减求齐次解 · 剥离齐次项反求微分方程）

例 4.32（2005 数二真题 · 自变量代换 $x=\cos t$ · 复合链式求导 · 初值代入避坑铁律）

例 4.33（1998 数二真题 · 因变量代换 $y=\frac{u}{\cos x}$ · 整式化降负求导 / 反向凑微分秒杀）

例 4.36（李林 880 · 变上限积分与任意位移参数 · 参数 $a$ 偏求导秒杀 vs 特值消元 / 全微分凑项一步定解）

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📚 第 4 章 微分方程 · 错题集

例 4.1（张宇《基础三十讲》· 复合线性项换元 u=x+y+100u=x+y+100u=x+y+100 / 分子有理化 vs 万能代换多解辨析 / 通解与任意常数吸收）

例 4.2（张宇《基础三十讲》· 二阶可降阶微分方程 / u=p2u=p^2u=p2 一阶线性代换秒杀 vs 齐次代换分母为 0 奇异解辨析）

例 4.12（因变量函数复合换元 · u=tan⁡yu=\tan yu=tany 化一阶线性方程）

例 4.17.2（张宇《基础三十讲》· 反函数导数化伯努利方程 / 凑微分全微分秒杀 / 变量代换与分部积分）

例 4.21（二阶线性非齐次微分方程解的结构 · 特解相减求齐次解 · 剥离齐次项反求微分方程）

例 4.32（2005 数二真题 · 自变量代换 x=cos⁡tx=\cos tx=cost · 复合链式求导 · 初值代入避坑铁律）

例 4.33（1998 数二真题 · 因变量代换 y=ucos⁡xy=\frac{u}{\cos x}y=cosxu​ · 整式化降负求导 / 反向凑微分秒杀）

例 4.36（李林 880 · 变上限积分与任意位移参数 · 参数 aaa 偏求导秒杀 vs 特值消元 / 全微分凑项一步定解）

📚 第 4 章微分方程 · 错题集

例 4.1（张宇《基础三十讲》· 复合线性项换元 $u=x+y+100$ / 分子有理化 vs 万能代换多解辨析 / 通解与任意常数吸收）

例 4.2（张宇《基础三十讲》· 二阶可降阶微分方程 / $u=p^2$ 一阶线性代换秒杀 vs 齐次代换分母为 0 奇异解辨析）

例 4.12（因变量函数复合换元 · $u=\tan y$ 化一阶线性方程）

例 4.32（2005 数二真题 · 自变量代换 $x=\cos t$ · 复合链式求导 · 初值代入避坑铁律）

例 4.33（1998 数二真题 · 因变量代换 $y=\frac{u}{\cos x}$ · 整式化降负求导 / 反向凑微分秒杀）

例 4.36（李林 880 · 变上限积分与任意位移参数 · 参数 $a$ 偏求导秒杀 vs 特值消元 / 全微分凑项一步定解）