5.3 分段函数的多元微分概念题

总目录 · 笔记整理索引 · 本章索引 · 上一节：5.2 偏导数和可微概念题 · 下一节：5.4 极易混淆的概念性知识：对位置求偏导和对变量求偏导

5.3.1 核心特征与求导方法论

1. 两类分段函数的本质区别

在多元微分中，分段函数主要呈现为两类完全不同的形态：

类型	表达式形态	去心邻域特征	求导策略
点分段函数 (孤立点分段)	$f(x, y) = \begin{cases} \dfrac{xy}{x^2 + y^2}, & (x, y) \ne (0, 0) \\ 0, & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$	在除原点外的任意点 $(x_0, y_0)$ ，其充分小去心邻域内表达式唯一不变	原点用定义法；非原点直接公式法
线/面分段函数 (三段及以上)	$f(x, y) = \begin{cases} xy, & xy \ne 0 \\ x, & y = 0 \\ y, & x = 0 \end{cases}$	在分界线（如坐标轴）上任意点的去心邻域内，表达式仍然处于分段状态	区域内部用公式法；分界线上必须用定义法

2. 求导方法论：何时公式法，何时定义法

flowchart TD
    Start["待求偏导点 (x₀, y₀)"] --> Domain["考察其去心邻域 Ů((x₀, y₀), δ) 内函数表达式"]
    Domain -->|表达式唯一不变| Formula["公式法直接求导<br>(按常规一元求导法则)"]
    Domain -->|表达式发生变化<br>包含分界面与不同区域| Def["必须使用定义法求导<br>lim [f(x₀+Δx, y₀) - f(x₀, y₀)] / Δx"]

5.3.2 典型例题逐题深度剖析

题型一：全路径极限、累次极限与二阶混合偏导综合判定

关于函数

f(x, y) = \begin{cases} xy, & xy \ne 0, \\ x, & y = 0, \\ y, & x = 0, \end{cases}

给出以下结论：
① $\left.\dfrac{\partial f}{\partial x}\right|_{(0, 0)} = 1$ ；
② $\left.\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\right|_{(0, 0)} = 1$ ；
③ $\lim\limits_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y) = 0$ ；
④ $\lim\limits_{y \to 0}\lim\limits_{x \to 0} f(x, y) = 0$ 。
其中正确的个数为 ( )
(A) 4. (B) 3. (C) 2. (D) 1.

1. 检验结论 ①：原点一阶偏导数（正确）

由偏导数定义，固定 $y = 0$ ，自变量沿 $x$ 轴趋近：

f'_x(0, 0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x, 0) - f(0, 0)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x - 0}{x} = 1.

故 ① 正确。
(注：由对称性，同理可得 $f'_y(0, 0) = \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{f(0, y) - f(0, 0)}{y} = \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{y - 0}{y} = 1$ 。)

2. 检验结论 ③：全路径重极限（正确）

验证点 $(x, y) \to (0, 0)$ 的所有趋近路径：

路径 1（ $x \ne 0$ 且 $y \ne 0$ ）： 沿四个象限内部趋近，此时 $f(x, y) = xy$ ，有：
$\lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} xy = 0;$
路径 2（ $y = 0$ ）： 沿 $x$ 轴趋近，此时 $f(x, 0) = x$ ，有：
$\lim_{\substack{x \to 0 \\ y = 0}} x = 0;$
路径 3（ $x = 0$ ）： 沿 $y$ 轴趋近，此时 $f(0, y) = y$ ，有：
$\lim_{\substack{x = 0 \\ y \to 0}} y = 0.$

[!tip] 提示重点框注：关于任意路径（螺线路径）的严密性实际上，在趋近于原点时，还存在着其他路径，比如取一条螺线（不用在意表达式具体是什么），在趋于原点时， $xy$ 有时等于 0，有时不等于 0。
此时 $f(x, y)$ 可以取到多种函数表达式。但每种表达式的极限都是 0（因为 $|f(x, y)| \le \max(|xy|, |x|, |y|) \to 0$ ）。因此 $f(x, y)$ 在原点处的极限一定为 0。
故 $\lim\limits_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y) = 0$ ，③ 正确。

3. 检验结论 ④：累次极限的路径约束机理（正确）

累次极限的运算结构为：

\lim_{y \to 0}\lim_{x \to 0} f(x, y) = \lim_{y \to 0}\left[ \lim_{x \to 0} f(x, y) \right].

[!important] 核心要点破局点：外层极限的前提约束

若单纯计算 $\lim\limits_{x \to 0} f(x, y)$ ，则只要求 $x \ne 0$ ， $y = 0$ 和 $y \ne 0$ 的路径都可以取到；

但此题研究的是 $\lim\limits_{y \to 0}\left[ \lim\limits_{x \to 0} f(x, y) \right]$ ，最外层的 $\lim\limits_{y \to 0}$ 相当于一个大前提，约束了 $y \ne 0$ ，此时在内层极限过程中绝无法取 $y = 0$ 这条路径上的表达式！

所以在内层极限中，受 $y \ne 0$ 约束， $x \to 0$ （且 $x \ne 0$ ）时点必在象限内，只能取 $xy$ 表达式：

\lim_{\substack{x \to 0 \\ x \ne 0}} f(x, y) = \lim_{x \to 0} xy = 0 \quad (y \ne 0 \text{ 视为非零常数}).

再取外层极限：

\lim_{y \to 0} 0 = 0.

故 ④ 正确。

4. 检验结论 ②：二阶混合偏导数的定义计算（错误）

去心邻域内表达式分段，求二阶混合偏导必须严格按照定义展开：

f''_{xy}(0, 0) = \left.\frac{\partial f'_x}{\partial y}\right|_{(0, 0)} = \lim_{y \to 0} \frac{f'_x(0, y) - f'_x(0, 0)}{y}.

此时计算 $f'_x(0, y)$ （其中 $y \ne 0$ ）：

根据偏导定义： $f'_x(0, y) = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{f(x, y) - f(0, y)}{x}$ ；
此处 $x \to 0$ 意味着 $x \ne 0$ ；同时由外层极限知 $y \ne 0$ ；
在 $x \ne 0$ 且 $y \ne 0$ 的双重约束下， $f(x, y)$ 只能取 $xy$ 表达式；而在 $(0, y)$ 点处（ $x = 0$ ）表达式为 $y$ ：

f'_x(0, y) = \lim_{\substack{x \to 0 \\ x \ne 0}} \frac{f(x, y) - f(0, y)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{xy - y}{x} = \lim_{x \to 0} \left( y - \frac{y}{x} \right).

因为 $y \ne 0$ 且视为常数，当 $x \to 0$ 时 $\dfrac{-y}{x} \to \infty$ ，故：

f'_x(0, y) \implies \text{极限不存在！}

既然在 $y$ 轴非原点处 $f'_x(0, y)$ 根本不存在，则差商 $\dfrac{f'_x(0, y) - f'_x(0, 0)}{y}$ 无意义，从而 $f''_{xy}(0, 0)$ 不存在！结论 ② 错误。

综上所述，正确的结论为 ①、③、④ 共 3 个，应选 (B)。

题型二：偏导函数在坐标轴上的存在性与连续性陷阱

第一步：计算原点偏导数（定义法）

沿坐标轴取定义极限：

f'_x(0, 0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x, 0) - f(0, 0)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{0 - 0}{x} = 0.

由函数表达式关于 $x$ 与 $y$ 的对称性，同理可得：

f'_y(0, 0) = 0.

第二步：判断原点可微性（全微分定义极限）

验证可微性极限 $\lim\limits_{\rho \to 0} \dfrac{\Delta z - \mathrm{d}z}{\rho} \stackrel{?}{=} 0$ ，其中 $\mathrm{d}z = 0\cdot x + 0\cdot y = 0$ ：

\lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \frac{f(x, y) - f(0, 0) - (0 \cdot x + 0 \cdot y)}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \frac{f(x, y)}{\sqrt{x^2 + y^2}}.

分路径讨论：

若 $xy \ne 0$ ： $\lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \frac{(x^2 + y^2)\sin\frac{1}{xy}}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \sqrt{x^2 + y^2}\sin\frac{1}{xy} = 0 \quad (\text{无穷小} \times \text{有界量});$
若 $xy = 0$ （在坐标轴上）： $\lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \frac{0 - 0}{\sqrt{x^2 + y^2}} = 0.$

无论沿何种路径趋近，极限恒为 0，故函数在点 $(0, 0)$ 处严格可微！排除 (B)、(D)。

第三步：判断偏导函数连续性（求 $f'_x(x, y)$ 并检验邻域）

偏导数连续要求 $\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} f'_x(x, y) = f'_x(0, 0) = 0$ 。分区域求 $f'_x(x, y)$ ：

当 $xy \ne 0$ 时： 点的去心邻域内表达式不变，使用求导公式法： $f'_x(x, y) = 2x\sin\frac{1}{xy} + (x^2 + y^2)\cos\frac{1}{xy} \cdot \left(-\frac{1}{x^2 y}\right) = 2x\sin\frac{1}{xy} - \frac{x^2 + y^2}{x^2 y}\cos\frac{1}{xy};$
当 $x = 0$ 或 $y = 0$ 时： 去心邻域内跨越坐标轴，表达式改变，必须使用定义法： $f'_x(x, y) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x, y) - f(x, y)}{\Delta x}.$
- ① 若点在 $x$ 轴上（ $y = 0$ ）： $f'_x(x, 0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x, 0) - f(x, 0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{0 - 0}{\Delta x} = 0;$
- ② 若点在 $y$ 轴上且非原点（ $x = 0, y \ne 0$ ）： 此时 $f(0, y) = 0$ 。当 $\Delta x \ne 0$ 时， $\Delta x \cdot y \ne 0$ ，函数值为非零段： $\begin{aligned} f'_x(0, y) &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x, y) - f(0, y)}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{[(\Delta x)^2 + y^2]\sin\frac{1}{\Delta x \cdot y} - 0}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \Delta x \sin\frac{1}{\Delta x \cdot y} + \frac{y^2 \sin\frac{1}{\Delta x \cdot y}}{\Delta x} \right] \\ &= 0 + \frac{y^2 [-1, 1]}{0} \implies \text{\textbf{极限不存在！}} \end{aligned}$

由此得到导函数 $f'_x(x, y)$ 的完整解析式：

f'_x(x, y) = \begin{cases} 2x\sin\dfrac{1}{xy} - \dfrac{x^2 + y^2}{x^2 y}\cos\dfrac{1}{xy}, & xy \ne 0, \\ 0, & y = 0, \\ \text{不存在}, & x = 0, y \ne 0. \end{cases}

[!caution] 结论判定在 $y$ 轴上的任意非原点处（ $y \ne 0$ ）， $f'_x$ 根本不存在，即点 $(0, 0)$ 的任意去心邻域内都存在 $f'_x$ 无定义的点！
从而重极限 $\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} f'_x(x, y)$ 根本不存在，故 $f'_x(x, y)$ 在 $(0, 0)$ 处不连续。

综上， $f(x, y)$ 在 $(0, 0)$ 处可微，但偏导数不连续，应选 (C)。

题型三：逆否命题秒杀律与分段偏导函数完整构造

考研概念选择题优先运用逻辑关系的逆否命题极速排除：

判定连续性：
- 沿路径 $y = 0$ （ $x$ 轴）趋近： $\lim\limits_{x \to 0} f(x, 0) = \lim\limits_{x \to 0} x^2 = 0$ ；
- 沿路径 $x = 0$ （ $y$ 轴）趋近： $\lim\limits_{y \to 0} f(0, y) = \lim\limits_{y \to 0} y^2 = 0$ ；
- 沿路径 $xy \ne 0$ （象限内部）趋近： $\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} 1 = 1 \ne 0$ 。
  路径极限不同，故重极限不存在，函数在 $(0, 0)$ 处不连续！
由逆否命题排除选项：
- 因 可微 $\implies$ 连续，其逆否命题为 不连续 $\implies$ 不可微！由此直接排除 (A)、(C)；
- 因 两偏导连续 $\implies$ 可微，其逆否命题为 不可微 $\implies$ 偏导数至少有一个不连续！
由对称性锁定答案：
由于 $f(x, y)$ 中 $x$ 与 $y$ 具有完全的地位对称性，因此 $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ 与 $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ 在原点的性态必定完全相同，不可能一个连续一个不连续，故两个偏导数均不连续！
直接锁定 (D)。

1. 原点处偏导数

f'_x(0, 0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x, 0) - f(0, 0)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - 0}{x} = 0.

对称性可得 $f'_y(0, 0) = 0$ 。

2. 平面上非原点处的偏导数

当 $xy \ne 0$ 时（不在坐标轴上）：
邻域内表达式恒为常数 1，公式法得： $f'_x(x, y) = \frac{\partial (1)}{\partial x} = 0;$
当 $x = 0$ 或 $y = 0$ 时（在坐标轴上）：
邻域内表达式改变，必须用定义法：
- 在 $x$ 轴上（ $y = 0$ ）： $f'_x(x, 0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x, 0) - f(x, 0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x + \Delta x)^2 - x^2}{\Delta x} = 2x;$
- 在 $y$ 轴上（ $x = 0, y \ne 0$ ）： 此时 $f(0, y) = y^2$ $f (0, y) = y^{2}$ 。当 $\Delta x \ne 0$ $Δ x \neq = 0$ 时， $f(\Delta x, y) = 1$ $f (Δ x, y) = 1$ ： $f'_x(0, y) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x, y) - f(0, y)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1 - y^2}{\Delta x}.$
  - 若 $y = \pm 1$ ，分子为 $1 - (\pm 1)^2 = 0$ ，则 $f'_x(0, \pm 1) = 0$ ；
  - 若 $y \ne \pm 1$ ，分子为非零常数，分母趋于 0，极限不存在！

3. 汇总偏导函数并判定连续性

\frac{\partial f(x, y)}{\partial x} = \begin{cases} 2x, & y = 0, \\ 0, & y = \pm 1, x = 0, \\ \text{不存在}, & y \ne 0, \pm 1, x = 0, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}

由对称性同理可得：

\frac{\partial f(x, y)}{\partial y} = \begin{cases} 2y, & x = 0, \\ 0, & x = \pm 1, y = 0, \\ \text{不存在}, & x \ne 0, \pm 1, y = 0, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}

显然， $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ 与 $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ 在点 $(0, 0)$ 的任意去心邻域内都存在大量无定义的点，故两偏导数在 $(0, 0)$ 处均不连续。
应选 (D)。

5.3.3 分段函数多元概念题解题总结与避坑模型

公式法与定义法的界限（邻域法则）：
- 邻域表达式不变 $\implies$ 放心用求导公式；
- 邻域表达式分段 $\implies$ 坚决用定义法求极限，绝不能直接套公式求导。
累次极限的外层约束法则：
- 计算 $\lim\limits_{y \to 0}\left[\lim\limits_{x \to 0} f(x, y)\right]$ 时，外层的 $y \to 0$ 预先规定了 $y \ne 0$ ；
- 内层极限过程中， $y$ 是一个固定的非零常数，绝不能走 $y = 0$ 所在的表达式。
二阶混合偏导数 $f''_{xy}(0, 0)$ 的定义式展开：
$f''_{xy}(0, 0) = \lim_{y \to 0} \frac{f'_x(0, y) - f'_x(0, 0)}{y}$
求内层 $f'_x(0, y)$ 时，条件为 $x \to 0$ 且 $y \ne 0$ 。若在 $y$ 轴非原点处该偏导不存在，则二阶混合偏导直接不存在。
偏导数连续性的“定义域陷阱”：
- 函数 $g(x, y)$ 在点 $(0, 0)$ 处连续的前提是： $g(x, y)$ 在点 $(0, 0)$ 的某个邻域内处处有定义；
- 若偏导函数 $f'_x(x, y)$ 在坐标轴某些点处根本不存在，则导函数在原点去心邻域内不满足有定义的前提，必不连续！

我的总结

多元函数微分学是高等数学的核心板块。在复习时应抓住以下结构：

概念网络：极限、连续、偏导数、全微分、偏导数连续五者之间的逻辑蕴含关系必须通过反例彻底理清；
计算核心：复合函数与隐函数链式法则，注意区分“对位置偏导”与“对变量偏导”；
极值应用：无条件极值（二阶充分条件 $AC-B^2$ ）与条件极值（拉格朗日乘数法），注重驻点与边界最值的全面考察。

参考资料

考研数学历年真题（全国统考真题）
同济大学数学系《高等数学》（多元函数微分法及其应用）
考研数学主流复习资料与本人学习笔记

ギターと孤独と蒼い惑星

5.3 分段函数的多元微分概念题

5.3 分段函数的多元微分概念题

5.3.1 核心特征与求导方法论

1. 两类分段函数的本质区别

2. 求导方法论：何时公式法，何时定义法

5.3.2 典型例题逐题深度剖析

题型一：全路径极限、累次极限与二阶混合偏导综合判定

题型二：偏导函数在坐标轴上的存在性与连续性陷阱

题型三：逆否命题秒杀律与分段偏导函数完整构造

5.3.3 分段函数多元概念题解题总结与避坑模型

我的总结

参考资料

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