5.1 重极限

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5.1.1 重极限的概念与定义辨析

关于二元函数的极限，数学界存在两种主要的严格表述：第一种是从点集角度出发（多数数学分析教材采用）；第二种是从去心邻域角度出发（多数高等数学教材采用）。

两种教材定义对比

1. 第一种定义（点集角度，多数数分教材）

• 特点：基于集合论视角，通俗说来，只要 $f(x, y)$ 是“有定义的”点且满足受控不等式即可，自然“排除”了去心邻域内的无定义点。
• 在此定义下的结论示例： $$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy} = \lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{xy+1-1}{xy(\sqrt{xy+1}+1)} = \lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{1}{\sqrt{xy+1}+1} = \frac{1}{2}.$$

2. 第二种定义（邻域角度，多数高数教材）

• 特点：要求在去心邻域 $\mathring{U}(P_0, \delta)$ 内不能有无定义的“漏洞”。
• 在此定义下的结论示例： 由于函数 $f(x, y) = \dfrac{\sqrt{xy+1}-1}{xy}$ 在原点邻域内的坐标轴（$x = 0$ 或 $y = 0$）上处处无定义，因此： $$\lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy} \quad \textbf{不存在}.$$

3. 两种定义下的冲突反例与考研避坑原则

按照上述两种定义，对某些具有无定义路径的函数会得出截然相反的结论：

$$\lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} (x^2 + y^2) \sin \frac{1}{x+y} = \begin{cases} 0, & \text{第一种定义（数分）}, \\ \text{不存在}, & \text{第二种定义（高数,\quad 因直线 } x+y=0 \text{ 处无定义）}. \end{cases}$$

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沿坐标轴趋近于原点（与偏导数的桥梁）

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5.1.2 极限计算的两大速杀神器

在考研客观题（单选、填空）中，判断重极限是否存在或求值是高频考点。熟练掌握以下两大工具可实现极速秒杀。

神器一：极坐标换元法

令极坐标变换公式：

$$x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta \quad (r \to 0^+, \ \theta \in [0, 2\pi])$$

其中 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$，$\theta$ 为在 $[0, 2\pi]$ 上任意取值的方向角。

极坐标化简后的 4 类判定准则

化简形态	判定结论	典型示例	原理与说明
形态 1：无穷小 $\times$ 有界量 ($r^\alpha \cdot g(\theta), \ \alpha > 0$)	极限存在且为 0	$r\sin^2\theta$ $r^2\sin\theta\cos^3\theta$	无论 $\theta$ 取何值，$g(\theta)$ 始终受控有界，有界量乘无穷小必为 0
形态 2：仅含 $\theta$ 的表达式 ($g(\theta)$ 非常数)	极限不存在	$\sin^2\theta$ $\sin\theta\cos^2\theta$	极限值随趋近射线角度 $\theta$ 的改变而改变，路径不唯一
形态 3：有界量比无穷小 ($\dfrac{g(\theta)}{r^\alpha}, \ \alpha > 0$)	极限不存在	$\dfrac{\cos\theta}{r}$	当 $r \to 0^+$ 时，分式趋于 $\infty$
形态 4：无法写成有界量形式 ($\dfrac{r^\alpha}{h(\theta)}$ 且分母可为 0)	极坐标失效 (出现未定式)	$\dfrac{r}{\sin\theta} = r \cdot \dfrac{1}{\sin\theta}$	当 $\theta \to 0$ 时 $\sin\theta \to 0$，出现“$\frac{0}{0}$”未定式，极坐标无法直接判断（真题极罕见）

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神器二：齐次分式二级结论

针对考研中极其高频的齐次/加权齐次分式极限：

$$\lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \frac{x^p y^q}{x^m + y^n}$$

常见题型速算对比

• 例 A：$\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \dfrac{xy^3}{x^2 + y^4}$
  $\implies S = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{5}{4} > 1 \implies$ 极限存在且为 0。
• 例 B：$\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \dfrac{x^2}{x^4 + y^4} = \lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \dfrac{x^2 y^0}{x^4 + y^4}$
  $\implies S = \dfrac{2}{4} + \dfrac{0}{4} = \dfrac{1}{2} \leqslant 1 \implies$ 极限不存在。
• 例 C：$\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \dfrac{xy}{x^2 + y^2}$
  $\implies S = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1 \leqslant 1 \implies$ 极限不存在。

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5.1.3 证明极限不存在的通用法则：取路径法

若题目要求规范证明某个重极限不存在（常见于大题中的可微性论证或概念辨析题），不能仅依赖二级结论，必须掌握取路径法的标准书写。

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5.1.4 典型例题精析与解法全览

例 5.1：多元微分基础极限计算

第 (1) 题：$\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \dfrac{x^2 y}{x^2 + y^2}$

• 小题秒杀：
  • 方法 1（二级结论）：$S = \dfrac{2}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2} > 1 \implies \therefore$ 原式 $= 0$。
  • 方法 2（极坐标法）：代入得 $\dfrac{r^3 \cos^2\theta \sin\theta}{r^2} = r \cos^2\theta \sin\theta = 0$（无穷小 $\times$ 有界量）。
• 大题规范解法（夹逼原理）： 由于 $0 \leqslant \left| \dfrac{x^2 y}{x^2 + y^2} \right| \leqslant \dfrac{x^2 |y|}{x^2} = |y|$，且 $\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} |y| = 0$。
  由夹逼定理知： $$\lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2} = 0.$$

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第 (2) 题：$\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \dfrac{x^2 + y^2}{|x| + |y|}$

• 小题秒杀（极坐标法）： 代入得： $$\frac{r^2}{r|\cos\theta| + r|\sin\theta|} = r \cdot \frac{1}{|\cos\theta| + |\sin\theta|}.$$ 因为 $|\cos\theta| + |\sin\theta| \geqslant 1$，故其倒数 $\dfrac{1}{|\cos\theta| + |\sin\theta|} \leqslant 1$ 为有界量。
  无穷小 $\times$ 有界量 $\implies$ 原式 $= 0$。
• 大题规范解法（拆项放缩 + 夹逼原理）： 由于 $$0 \leqslant \frac{x^2 + y^2}{|x| + |y|} = \frac{x^2}{|x| + |y|} + \frac{y^2}{|x| + |y|} \leqslant \frac{x^2}{|x|} + \frac{y^2}{|y|} = |x| + |y|,$$ 而 $\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} (|x| + |y|) = 0$。
  由夹逼定理知： $$\lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \frac{x^2 + y^2}{|x| + |y|} = 0.$$

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第 (3) 题：$\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \dfrac{xy^2 \sin xy}{x^2 + y^4}$

• 小题秒杀（等价无穷小代换 + 二级结论）： 当 $x \to 0, y \to 0$ 时，$\sin xy \sim xy$。
  代入得 $\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \dfrac{x^2 y^3}{x^2 + y^4}$，指数和 $S = \dfrac{2}{2} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{7}{4} > 1 \implies \therefore$ 原式 $= 0$。
• 大题规范解法对比：
  • 解法 1（基本不等式有界性）： 因为 $x^2 + y^4 \geqslant 2|x| y^2 \implies 0 \leqslant \left| \dfrac{xy^2}{x^2 + y^4} \right| \leqslant \dfrac{1}{2}$（有界量）。
    而 $\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \sin xy = 0$（无穷小量）。
    由有界量乘无穷小仍为无穷小，得原式 $= 0$。
  • 解法 2（绝对值夹逼）： $$0 \leqslant \left| \frac{xy^2 \sin xy}{x^2 + y^4} \right| \leqslant \frac{1}{2} |\sin xy| \to 0 \implies \text{原式} = 0.$$
  • 解法 3（等价代换后放缩）： 因 $\sin xy \sim xy$，原式 $= \lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \dfrac{x^2 y^3}{x^2 + y^4}$。
    又 $0 \leqslant \left| \dfrac{x^2 y^3}{x^2 + y^4} \right| \leqslant \dfrac{x^2 |y^3|}{x^2} = |y^3| \to 0$，由夹逼定理知原式 $= 0$。

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例 5.2：极坐标失效反例与高阶曲线路径

• 极坐标失效分析： 若强行代入极坐标： $$\frac{r^4}{r^2 \cos\theta \sin\theta} = r^2 \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}\sin 2\theta}.$$ 注意：当 $\theta \to 0, \frac{\pi}{2}, \pi$ 时，分母 $\sin 2\theta \to 0$，因此 $\dfrac{1}{\frac{1}{2}\sin 2\theta}$ 不是有界量，极坐标换元后为未定式，无法得出结论！
• 严格证明（取高阶曲线路径）： 若取一般直线路径 $y = kx$，原式 $= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{(1+k^2)^2 x^4}{k x^2} = 0$，容易让人误以为极限为 0。
  但若选取高阶路径 $y = x^4$（让分母衰减更快）： $$\lim_{\substack{y = x^4 \\ x \to 0}} \frac{(x^2 + y^2)^2}{xy} = \lim_{x \to 0} \frac{(x^2 + x^8)^2}{x \cdot x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{x^4 + 2x^{10} + x^{16}}{x^5} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} + 2x^5 + x^{11} \right) = \infty.$$ 沿特定路径极限趋于无穷，故该重极限不存在！
• 考情点评：此题原点邻域内的坐标轴处处无定义，属于前文所述有歧义的边缘题型，考研命题时会规避，重点在于理解“沿一般直线可能掩盖极限发散的真相”。

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例 5.3：分段函数在原点处的连续性判断

• 小题秒杀（极坐标）： $$\lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \frac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \lim_{r \to 0^+} \frac{r^2 \cos\theta \sin\theta}{r} = \lim_{r \to 0^+} r \cos\theta \sin\theta = 0.$$
• 大题规范解法： 因为 $0 \leqslant \left| \dfrac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}} \right| \leqslant \dfrac{|x| |y|}{|x|} = |y| \to 0$，由夹逼定理知： $$\lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} f(x, y) = 0.$$
• 连续性结论：
  • 若 $a = 0$，则 $\lim\limits_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y) = f(0, 0)$，函数在全平面处处连续；
  • 若 $a \ne 0$，则 $\lim\limits_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y) \ne f(0, 0)$，函数在点 $(0, 0)$ 处不连续，其余区域处处连续。

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例 5.4：可微性判据中的重极限计算

• 极坐标视角（秒杀）： 令 $\Delta x = r\cos\theta, \Delta y = r\sin\theta$： $$\frac{r^3 \sin\theta \cos^2\theta}{r^3} = \sin\theta \cos^2\theta.$$ 化简结果仅为 $\theta$ 的函数，随趋向角度不同而改变，$\therefore$ 极限不存在。
• 大题规范解法（取直线路径）： 考虑沿不同射线路径 $\Delta y = k\Delta x$（$\Delta x \to 0^+$）趋向于原点： $$\lim_{\substack{\Delta x \to 0^+ \\ \Delta y = k\Delta x}} \frac{\Delta y (\Delta x)^2}{\left[(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2\right]^{\frac{3}{2}}} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{k(\Delta x)^3}{\left[(\Delta x)^2 + k^2(\Delta x)^2\right]^{\frac{3}{2}}} = \frac{k}{(1 + k^2)^{\frac{3}{2}}}.$$ 极限值随斜率 $k$ 的改变而改变，路径不唯一，故极限不存在。

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例 5.5：取路径法证明极限不存在的范式演练

二级结论速看

1. $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1 \leqslant 1 \implies$ 极限不存在。
2. $\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{4} = 1 \leqslant 1 \implies$ 极限不存在。

大题规范证明（分母同阶取路径法）

1. 针对 $\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \dfrac{xy}{x^2 + y^2}$：

   • 取路径思路：分母各项为 $x^2$ 与 $y^2$，两项已同阶。令 $y^2 = k^2 x^2$，即取直线路径 $y = kx$。
   • 规范书写： 沿直线路径 $y = kx$ 趋近于原点，有： $$\lim_{\substack{x \to 0 \\ y = kx}} \frac{xy}{x^2 + y^2} = \lim_{x \to 0} \frac{k x^2}{x^2 + k^2 x^2} = \frac{k}{1 + k^2}.$$ 当取 $k = 1$ 时，极限值为 $\dfrac{1}{2}$；当取 $k = -1$ 时，极限值为 $-\dfrac{1}{2}$。
     极限值随 $k$ 的变化而变化，由极限唯一定理，原极限不存在。

2. 针对 $\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \dfrac{xy^2}{x^2 + y^4}$：

   • 取路径思路：分母各项为 $x^2$ 与 $y^4$，若取一般直线 $y=kx$，代入得 $\dfrac{k^2 x^3}{x^2+k^4 x^4} \to 0$，会被误导！
     必须令分母两项同阶：令 $y^4 \sim x^2$，即取抛物线路径 $x = k y^2$（或 $y^2 = kx$）。
   • 规范书写： 沿抛物线路径 $x = k y^2$ 趋近于原点，有： $$\lim_{\substack{y \to 0 \\ x = k y^2}} \frac{xy^2}{x^2 + y^4} = \lim_{y \to 0} \frac{(k y^2) y^2}{(k y^2)^2 + y^4} = \lim_{y \to 0} \frac{k y^4}{(k^2 + 1) y^4} = \frac{k}{k^2 + 1}.$$ 极限值随 $k$ 的改变而改变（如 $k = 1$ 值为 $\dfrac{1}{2}$，$k = 0$ 值为 $0$），由极限唯一性，原极限不存在。

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5.1.5 重极限解题策略决策树

flowchart TD
    Start["遇到二元函数重极限题目"] --> TypeCheck{"题型性质"}
    
    TypeCheck -->|"客观小题 (求值/判存在)"| FastPath["选择秒杀神器"]
    TypeCheck -->|"主观大题 (规范论证)"| RigorousPath["规范数学论证"]
    
    FastPath --> PolarCheck{"式中含 x² + y² 或同次齐次式?"}
    PolarCheck -->|"是"| Polar["极坐标换元 (x=rcosθ, y=rsinθ)"]
    Polar --> PolarRes{"化简结果"}
    PolarRes -->|"无穷小 × 有界量"| ExistZero["极限存在且为 0"]
    PolarRes -->|"仅含 θ / 有界比无穷小"| NotExist["极限不存在"]
    
    PolarCheck -->|"否"| FormulaCheck{"型如 xᵖ yᑫ / (xᵐ + yⁿ)?"}
    FormulaCheck -->|"是"| SecondThm["二级结论: 计算 S = p/m + q/n"]
    SecondThm -->|"S > 1"| ExistZero
    SecondThm -->|"S ≤ 1 或存在奇数次幂"| NotExist
    
    RigorousPath --> Guess{"预判结果"}
    Guess -->|"预判极限存在且为 0"| Squeeze["绝对值放缩 + 夹逼准则<br>(利用基本不等式 2|ab| ≤ a² + b²)"]
    Guess -->|"预判极限不存在"| PathMethod["取路径法 (令分母两项同阶)<br>设 yⁿ = k xᵐ，代入消元得 g(k)"]

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我的总结

多元函数微分学是高等数学的核心板块。在复习时应抓住以下结构：

1. 概念网络：极限、连续、偏导数、全微分、偏导数连续五者之间的逻辑蕴含关系必须通过反例彻底理清；
2. 计算核心：复合函数与隐函数链式法则，注意区分“对位置偏导”与“对变量偏导”；
3. 极值应用：无条件极值（二阶充分条件 $AC-B^2$）与条件极值（拉格朗日乘数法），注重驻点与边界最值的全面考察。

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参考资料

• 考研数学历年真题（全国统考真题）
• 同济大学数学系《高等数学》（多元函数微分法及其应用）
• 考研数学主流复习资料与本人学习笔记