09-07 错题记录

例 4.12（因变量函数复合换元 · $u=\tan y$ 化一阶线性方程）

死套标准形式受阻：本题中导数项带有系数 $\sec^2 y$ ，既非标准形式 $y'+P(x)y=Q(x)$ ，又含三角函数无法直接分离变量。若机械同除以 $\sec^2 y$ 得到 $y' + \frac{x}{1+x^2}\sin y\cos y = x\cos^2 y$ ，由于右端含因变量，依然无法使用一阶线性公式法，陷入死胡同。
复合导数特征结构捕捉：必须形成条件反射——看见 $y'$ 带有复杂的因变量函数系数时，检查它是否恰好是后面某个因变量式子的导数！本题中 $(\tan y)' = \sec^2 y \cdot y'$ ，这一特征明确提示应当将整体 $\tan y$ 视为新未知函数 $u$ 。
换元降阶通法原则：形如 $f'(y)y' + P(x)f(y) = Q(x)$ 的方程，本质上就是关于 $u = f(y)$ 的标准一阶线性微分方程 $u' + P(x)u = Q(x)$ 。
初值条件变量同步：给出初值 $y(0) = 0$ 时，必须同步求出新变量的初值 $u(0) = \tan 0 = 0$ ；积分求出 $u$ 后，务必代回原未知量 $\tan y$ 。

第一步：结构识别与因变量换元 注意到左端导数项中， $(\tan y)' = \sec^2 y \cdot y'$ 。
令中间变量：

u = \tan y

两端对自变量 $x$ 求导得：

\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = \sec^2 y \cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = y'\sec^2 y

代入原方程，原非线性方程瞬间化为关于 $u(x)$ 的一阶非齐次线性微分方程标准型：

\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} + \frac{x}{1+x^2}u = x

第二步：公式法求解线性微分方程通解 此时 $P(x) = \dfrac{x}{1+x^2}, Q(x) = x$ 。
计算积分因子：

\int P(x)\,\mathrm{d}x = \int \frac{x}{1+x^2}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\ln(1+x^2)

（因 $1+x^2 \ge 1 > 0$ ，无需加绝对值）。
套用一阶线性微分方程通解公式：

\begin{aligned} u &= e^{-\int \frac{x}{1+x^2}\,\mathrm{d}x}\left[ \int x e^{\int \frac{x}{1+x^2}\,\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x + C \right]\\ &= e^{-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)}\left[ \int x e^{\frac{1}{2}\ln(1+x^2)}\,\mathrm{d}x + C \right]\\ &= \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\left[ \int x\sqrt{1+x^2}\,\mathrm{d}x + C \right] \end{aligned}

计算内层积分（凑微分法）：

\int x\sqrt{1+x^2}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\int (1+x^2)^{1/2}\,\mathrm{d}(1+x^2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}(1+x^2)^{3/2} = \frac{1}{3}(1+x^2)^{3/2}

代入整理得到 $u$ 的通解表达式：

u = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\left[ \frac{1}{3}(1+x^2)^{3/2} + C \right] = \frac{1}{3}(1+x^2) + \frac{C}{\sqrt{1+x^2}}

第三步：代入初值条件确定常数 $C$ 由初始条件知：当 $x = 0$ 时 $y = 0$ ，对应新变量初值为：

u(0) = \tan 0 = 0

代入通解式中：

0 = \frac{1}{3}(1 + 0) + \frac{C}{\sqrt{1 + 0}} \implies 0 = \frac{1}{3} + C \implies C = -\frac{1}{3}

第四步：代回变量给出最终特解 将 $C = -\dfrac{1}{3}$ 及 $u = \tan y$ 代回：

\tan y = \frac{1}{3}(1+x^2) - \frac{1}{3\sqrt{1+x^2}}

提取公因式 $\dfrac{1}{3}$ 整理，得所求特解方程为：

\boxed{\tan y = \frac{1}{3}\left( 1 + x^2 - \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \right)}

（亦可显式写为 $y = \arctan\left[ \dfrac{1}{3}\left( 1 + x^2 - \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}} \right) \right]$ ）。

例 4.17.2（张宇《基础三十讲》· 反函数导数化伯努利方程 / 凑微分全微分秒杀 / 变量代换与分部积分）

常规导数 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 陷入死胡同：
- 面对微分方程 $y\,\mathrm{d}x = (1 + x\ln y)x\,\mathrm{d}y$ ，若按定势思维看 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dfrac{y}{x(1 + x\ln y)}$ ，分母是 $x$ 与 $\ln y$ 的非线性耦合乘积，既无法分离变量，又非齐次式，更非一阶线性微分方程，算力彻底卡死；
- 考场最高决策原则：正向 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 分母复杂时，果断反客为主看反函数导数 $\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}$ ！
反函数视角下的结构识别（伯努利方程）：
- 取倒数后，原方程两边同除以 $y\,\mathrm{d}y$ ： $\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = \dfrac{x(1+x\ln y)}{y} = \dfrac{1}{y}x + \dfrac{\ln y}{y}x^2$ ；
- 移项后呈现为 $\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} - \dfrac{1}{y}x = \dfrac{\ln y}{y}x^2$ ，以 $y$ 为自变量、 $x$ 为未知函数，等号右端含有二次项 $x^2$ ，正是参数 $n=2$ 的标准伯努利微分方程！
伯努利换元导数负号遗漏（高频失分陷阱）：
- 两端同乘 $x^{-2}$ ： $x^{-2}\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} - \dfrac{1}{y}x^{-1} = \dfrac{\ln y}{y}$ ；
- 令 $u = x^{1-n} = x^{-1}$ ，两端对 $y$ 求导： $\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y} = -x^{-2}\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} \implies x^{-2}\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = \mathbf{-\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}}$ ；
- 极易失误漏掉负号！若误写为 $+u'$ ，会导致后续一阶非齐次方程非齐次项符号颠倒，计算全盘皆输；代入后规范化为： $\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y} + \dfrac{1}{y}u = -\dfrac{\ln y}{y}$ 。
分部积分与符号细节：
- 积分因子为 $e^{\int \frac{1}{y}\mathrm{d}y} = y$ （由 $\ln y$ 知 $y>0$ ，无需加绝对值）；
- 内层积分 $\displaystyle\int \left(-\frac{\ln y}{y}\right) \cdot y\,\mathrm{d}y = -\int \ln y\,\mathrm{d}y = -(y\ln y - y) + C = y - y\ln y + C$ ；
- 乘以 $\dfrac{1}{y}$ 后得到 $u = 1 - \ln y + \dfrac{C}{y}$ ；
- 务必完成最后一步变量回代： $u = \dfrac{1}{x}$ 。
降维破局新视野：全微分/凑微分秒杀法（一题多解）：
- 原式改写为 $y\,\mathrm{d}x - x\,\mathrm{d}y = x^2\ln y\,\mathrm{d}y$ ；
- 看到左端具有商导数分子特征，两端同除以 $x^2$ ： $\dfrac{y\,\mathrm{d}x - x\,\mathrm{d}y}{x^2} = \ln y\,\mathrm{d}y$ ；
- 左边恰好是 $-\mathrm{d}\left(\dfrac{y}{x}\right)$ ，右边是纯 $y$ 的微分 $\mathrm{d}(y\ln y - y)$ ！
- 两端直接积分瞬间得出 $-\dfrac{y}{x} = y\ln y - y + C_1$ ，两端同除以 $-y$ 即刻秒杀通解 $\dfrac{1}{x} = 1 - \ln y + \dfrac{C}{y}$ ！无需引入伯努利换元，考场效率提升数倍！

方法一：反函数导数化伯努利方程法（教材标准通法）

第一步：视角反转，建立关于 $x(y)$ 的导数方程 观察原方程： $y\,\mathrm{d}x = (x + x^2\ln y)\,\mathrm{d}y$ 。
若将 $y$ 视为因变量， $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dfrac{y}{x + x^2\ln y}$ 分母项不可拆，无法处理；
故将 $x$ 视为未知函数、 $y$ 视为自变量，两边同除以 $y\,\mathrm{d}y$ （由题意包含 $\ln y$ ，显然 $y > 0$ ）：

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = \frac{x + x^2\ln y}{y} = \frac{1}{y}x + \frac{\ln y}{y}x^2

移项整理为标准形式：

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} - \frac{1}{y}x = \frac{\ln y}{y}x^2

此为关于未知函数 $x(y)$ 、参数 $n = 2$ 的伯努利微分方程。

第二步：两端除以 $x^2$ 并换元线性化 方程两端同乘 $x^{-2}$ ：

x^{-2}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} - \frac{1}{y}x^{-1} = \frac{\ln y}{y}

令中间变量：

u = x^{1-2} = x^{-1} = \frac{1}{x}

两边对自变量 $y$ 求导：

\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y} = -x^{-2}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} \implies x^{-2}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = -\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}

代入方程得：

-\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y} - \frac{1}{y}u = \frac{\ln y}{y} \implies \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y} + \frac{1}{y}u = -\frac{\ln y}{y}

成功降维化为关于 $u(y)$ 的一阶非齐次线性微分方程！

第三步：公式法求解一阶线性微分方程 此处 $P(y) = \dfrac{1}{y}$ ， $Q(y) = -\dfrac{\ln y}{y}$ 。
计算积分因子：

e^{\int P(y)\,\mathrm{d}y} = e^{\int \frac{1}{y}\,\mathrm{d}y} = e^{\ln y} = y \quad (y > 0)

套用一阶线性微分方程通解公式：

\begin{aligned} u(y) &= e^{-\int \frac{1}{y}\,\mathrm{d}y}\left[ \int \left(-\frac{\ln y}{y}\right) e^{\int \frac{1}{y}\,\mathrm{d}y}\,\mathrm{d}y + C \right]\\ &= \frac{1}{y}\left[ \int \left(-\frac{\ln y}{y}\right) \cdot y\,\mathrm{d}y + C \right]\\ &= \frac{1}{y}\left[ -\int \ln y\,\mathrm{d}y + C \right] \end{aligned}

由分部积分法： $\displaystyle\int \ln y\,\mathrm{d}y = y\ln y - \int y \cdot \frac{1}{y}\,\mathrm{d}y = y\ln y - y$ 。
代入得：

u(y) = \frac{1}{y}\left[ -(y\ln y - y) + C \right] = \frac{1}{y}(y - y\ln y + C) = 1 - \ln y + \frac{C}{y}

第四步：回代变量求出通解 将 $u = \dfrac{1}{x}$ 代回，得到原微分方程的通解为：

\boxed{\frac{1}{x} = 1 - \ln y + \frac{C}{y}\quad (C\text{ 为任意常数})}

（亦可显式解出 $x = \dfrac{y}{y(1 - \ln y) + C}$ ）。

方法二：商微分配凑法（🌟 考场秒杀技 · 两行完卷）

第一步：移项分离商导数结构 将原方程展开并移项：

y\,\mathrm{d}x - x\,\mathrm{d}y = x^2\ln y\,\mathrm{d}y

观察左端为 $y\,\mathrm{d}x - x\,\mathrm{d}y$ ，两端同除以 $x^2$ ：

\frac{y\,\mathrm{d}x - x\,\mathrm{d}y}{x^2} = \ln y\,\mathrm{d}y

第二步：识别全微分并直接两端积分 注意到商求导公式：

\mathrm{d}\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{x\,\mathrm{d}y - y\,\mathrm{d}x}{x^2} \implies \frac{y\,\mathrm{d}x - x\,\mathrm{d}y}{x^2} = -\mathrm{d}\left(\frac{y}{x}\right)

故方程等价于：

-\mathrm{d}\left(\frac{y}{x}\right) = \ln y\,\mathrm{d}y

两端直接求不定积分：

-\frac{y}{x} = \int \ln y\,\mathrm{d}y = y\ln y - y + C_1

两端同除以 $-y$ （令 $C = -C_1$ 为任意常数）：

\boxed{\frac{1}{x} = 1 - \ln y + \frac{C}{y}\quad (C\text{ 为任意常数})}

反函数判定律：遇见分式导数 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dfrac{A}{B}$ ，若分母 $B$ 项数多且高度混合、分子 $A$ 结构单一时，必须 100% 触发反转条件反射看 $\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}$ ；
伯努利本质特征：导数方程写出后形如 $\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} + P(y)x = Q(y)x^n$ ，核心解法是除以 $x^n$ 并令 $u = x^{1-n}$ ，导数项换元必产生系数 $\dfrac{1}{1-n}$ （本题 $n=2$ 产生负号）；
商求导四大凑微分经典核：
- $\dfrac{x\,\mathrm{d}y - y\,\mathrm{d}x}{x^2} = \mathrm{d}\left(\dfrac{y}{x}\right)$
- $\dfrac{y\,\mathrm{d}x - x\,\mathrm{d}y}{y^2} = \mathrm{d}\left(\dfrac{x}{y}\right)$
- $\dfrac{x\,\mathrm{d}y - y\,\mathrm{d}x}{xy} = \mathrm{d}\left(\ln\left|\dfrac{y}{x}\right|\right)$
- $\dfrac{x\,\mathrm{d}y - y\,\mathrm{d}x}{x^2+y^2} = \mathrm{d}\left(\arctan\dfrac{y}{x}\right)$

ギターと孤独と蒼い惑星

09-07 错题记录

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例 4.12（因变量函数复合换元 · $u=\tan y$ 化一阶线性方程）

例 4.17.2（张宇《基础三十讲》· 反函数导数化伯努利方程 / 凑微分全微分秒杀 / 变量代换与分部积分）

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例 4.12（因变量函数复合换元 · u=tan⁡yu=\tan yu=tany 化一阶线性方程）

例 4.17.2（张宇《基础三十讲》· 反函数导数化伯努利方程 / 凑微分全微分秒杀 / 变量代换与分部积分）

例 4.12（因变量函数复合换元 · $u=\tan y$ 化一阶线性方程）