3.7 定积分物理应用（数三不要求）

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核心结论

1. 液体静压力公式

设铅直放置的壁面处于液体中，在垂直坐标 $y$ 处，水面高度为 $y_0$，壁面宽度为 $b(y)$，液体密度为 $\rho$：

$$F = \int_{y_1}^{y_2} \rho g (y_0 - y) b(y)\,\mathrm dy.$$

2. 抽水做功公式（克服重力做功）

设容器底位于 $y_{\text{底}}$，液面位于 $y_{\text{液面}}$，容器出口位于 $y_{\text{顶}}$，截面面积为 $A(y)$：

$$W = \int_{y_{\text{底}}}^{y_{\text{液面}}} \rho g A(y)(y_{\text{顶}} - y)\,\mathrm dy.$$

3. 变力做功与力的分解

质点在变力 $\vec{F}$ 作用下沿直线位移，若力与位移夹角为 $\theta(x)$：

$$W = \int_a^b F(x)\cos\theta(x)\,\mathrm dx.$$

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原理与推导

1. 为什么液体压力要切“水平细条”？

根据流体静力学原理，液体压强 $P = \rho g h$ 仅由深度 $h$ 决定。 在同一水平线（同一水深）上，各点压强相等；沿铅直方向，压强随深度线性变化。 因此，必须沿水平方向将受力壁面切成细长条（宽度 $b(y)$，厚度 $\mathrm dy$）。在每个细条上压强近似为常数，从而构造面积微元 $\mathrm dS = b(y)\,\mathrm dy$ 和压力微元 $\mathrm dF = \rho g h(y) b(y)\,\mathrm dy$。

2. 为什么抽水做功要切“水平薄水片”？

做功为力乘以位移 $W = F \cdot l$。 不同高度处的水提升到容器顶部所需的位移不同（高处水层移动距离短，低处水层移动距离长）。 因此不能整体乘以平均高度，必须把水体沿水平方向切分成厚度为 $\mathrm dy$ 的薄水片。该薄片的全部水滴提升位移均为 $y_{\text{顶}} - y$，重力微元为 $\rho g A(y)\,\mathrm dy$，做功微元即为 $\mathrm dW = \rho g A(y)(y_{\text{顶}} - y)\,\mathrm dy$。

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题型识别与解题策略

物理模型	核心微元结构	关键注意步骤
闸门水压力	$\mathrm dF = \rho g [y_{\text{水面}} - y] \cdot b(y)\,\mathrm dy$	必须以对称轴为坐标轴，准确写出边界宽度 $b(y)$ 与水深 $y_{\text{水面}}-y$
容器质量	$m = \rho \cdot l \cdot S$	本质是求横截面被覆盖区域的面积，善用对称性与三角代换
抽水做功	$\mathrm dW = \rho g A(y) \cdot [y_{\text{出口}} - y]\,\mathrm dy$	区分截面函数 $A(y)$ 是否分段；上下限为液体的实际分布范围 $[y_{\text{底}}, y_{\text{面}}]$
变力引力做功	$\mathrm dW = F_x\,\mathrm dx = G\frac{m_1 m_2}{r^2}\cos\theta\,\mathrm dx$	牢记力的正交分解，斜边距离与三角函数投影必须用坐标统一表示

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3.7.1 液体静压力模型

物理机理与微元构造

$$\text{压力} = \text{压强} \times \text{受力面积}, \qquad P = \rho g h.$$

1. 建立坐标系：通常以对称轴为纵轴 $y$，设定基准水平面；
2. 切分水平微元：在高度 $y$ 处取厚度为 $\mathrm dy$ 的水平细窄条，水深为 $h_{\text{深}}(y) = y_0 - y$；
3. 窄条面积：若壁面宽度为 $b(y)$，面积微元 $\mathrm dS = b(y)\,\mathrm dy$；
4. 压力积分： $$F = \int_{y_1}^{y_2} \rho g (y_0 - y) b(y)\,\mathrm dy.$$

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3.7.2 液体质量模型

对于横截面沿母线方向保持恒定的柱体或卧式罐体：

$$m = \rho V = \rho \cdot l \cdot S,$$

其中 $l$ 为柱体长度，$S$ 为截面中液体占有的图形面积。问题完全转化为平面图形面积的计算。

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3.7.3 抽水做功模型

抽水过程为克服液体自身重力做功：

1. 微元水层重力：高度 $y$ 处的水平水层面积为 $A(y)$，重力微元 $\mathrm dF = \rho g A(y)\,\mathrm dy$；
2. 移动位移：提升至容器顶部出口 $y_{\text{顶}}$ 的距离为 $l(y) = y_{\text{顶}} - y$；
3. 总功积分： $$W = \int_{y_{\text{底}}}^{y_{\text{液面}}} \rho g A(y)(y_{\text{顶}} - y)\,\mathrm dy.$$

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3.7.4 变力做功模型

两质点间万有引力大小为 $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$。
质点沿坐标轴位移时，力与运动方向存在夹角，必须进行正交分解：

$$\mathrm dW = F_x\,\mathrm dx = F \cos\theta\,\mathrm dx.$$

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典型例题

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易错点

1. 水深与高度混淆：水深是点到水表面的垂直距离 $h_{\text{深}} = y_{\text{水面}} - y$，而不是该点的高度坐标 $y$。若把水深写成 $y$，将导致整个积分式颠倒。
2. 抽水位移记错：抽水做功中，水被提升的距离是 $y_{\text{出口}} - y$，容器出口往往在容器顶部 $y_{\text{顶}}$，若水未抽到顶部而是抽到某一固定高度，需准确写出出口高度。
3. 力的方向与投影正负：变力做功时，若力与位移不在同一条直线上，必须利用几何三角形将力正交分解到运动方向上，切勿直接用总引力代入积分。
4. 截面面积函数分段未拆分：遇到由不同曲线拼接构成的容器（如例 3.118），在不同高度区间上截面半径表达式不同，积分必须在交界点处拆段分别积分。

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我的总结

定积分物理应用看似题型复杂，但核心思想高度同一：找准均匀方向切微元。

1. 压力切水平条：因为同深压强相同；
2. 做功切水平片：因为同高位移相同；
3. 变力分解到路径：求出切向分力 $F_x$，再乘以 $\mathrm dx$。 考研数学二对物理应用的考查重视“建立坐标系与列出积分式”，只要掌握这三条主线，计算多项式或简单换元即可稳妥拿分。

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参考资料

• 考研数学历年真题（年份与卷种随题标注：2002 数二、2010 数二、2011 数二、2025 数二）
• 同济大学数学系《高等数学》第七版（定积分在物理学中的应用）
• 考研数学主流复习资料与本人学习笔记归纳