3.6 定积分几何应用

核心结论

1. 面积公式体系

直角坐标： $S = \int_a^b [f(x) - g(x)]\,\mathrm dx$ 或 $S = \int_c^d [x_2(y) - x_1(y)]\,\mathrm dy$ 。
极坐标： $S = \frac{1}{2}\int_\alpha^\beta r^2(\theta)\,\mathrm d\theta$ 。
参数方程： $S = \int_{\alpha}^{\beta} |y(t) x'(t)|\,\mathrm dt$ 。

2. 旋转体体积公式体系

二重积分统领公式：绕直线 $L: ax+by+c=0$ （不穿过区域 $D$ ）旋转： $V = 2\pi \iint_D r(x,y)\,\mathrm d\sigma, \qquad r(x,y) = \frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$
绕坐标轴旋转特例（区域 $0 \le y \le f(x)$ $0 \leq y \leq f (x)$ ， $a \le x \le b$ $a \leq x \leq b$ ）：
- 绕 $x$ 轴： $V_x = \pi \int_a^b f^2(x)\,\mathrm dx$ ；
- 绕 $y$ 轴： $V_y = 2\pi \int_a^b x f(x)\,\mathrm dx$ 。

3. 弧长与侧面积公式体系（数三不要求）

弧微分 $\mathrm ds$ ：
- 直角坐标： $\mathrm ds = \sqrt{1 + [y'(x)]^2}\,\mathrm dx$ ；
- 参数方程： $\mathrm ds = \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2}\,\mathrm dt$ ；
- 极坐标： $\mathrm ds = \sqrt{r^2(\theta) + [r'(\theta)]^2}\,\mathrm d\theta$ 。
旋转体侧面积：绕 $x$ 轴旋转一周： $S_x = 2\pi \int_C |y|\,\mathrm ds.$

4. 形心与平行截面立体（数三不要求）

曲边梯形形心： $\bar{x} = \frac{\int_a^b x f(x)\,\mathrm dx}{\int_a^b f(x)\,\mathrm dx}, \qquad \bar{y} = \frac{\frac{1}{2}\int_a^b f^2(x)\,\mathrm dx}{\int_a^b f(x)\,\mathrm dx}.$
已知平行截面面积 $A(x)$ 的立体体积： $V = \int_a^b A(x)\,\mathrm dx.$

原理与推导

1. 旋转体体积的柱壳微元与二重积分统一性

传统教材中，绕 $x$ 轴常用圆盘法（微元 $\mathrm dV = \pi y^2\,\mathrm dx$ ），绕 $y$ 轴常用圆柱壳法（微元 $\mathrm dV = 2\pi x y\,\mathrm dx$ ）。从二重积分角度看，在平面区域 $D$ 内取面元 $\mathrm d\sigma = \mathrm dx\mathrm dy$ ，点 $(x,y)$ 绕轴 $L$ 旋转一周所扫过的细圆环体积为 $2\pi r(x,y)\,\mathrm d\sigma$ 。在全区域积分即得：

V = 2\pi \iint_D r(x,y)\,\mathrm d\sigma.

该公式的巨大优势在于：不论旋转轴是坐标轴还是任意直线 $y=c$ 或 $x=c$ ，只需写出距离 $r(x,y)$ ，然后自由选择 $X$ -型或 $Y$ -型累次积分，完全免除反解函数或分段切片的繁琐步骤。

2. 弧微分的几何推导

在光滑曲线上取微段，根据勾股定理：

(\mathrm ds)^2 = (\mathrm dx)^2 + (\mathrm dy)^2.

若 $y=y(x)$ ，提公因式 $\mathrm dx$ 即得 $\mathrm ds = \sqrt{1 + (y')^2}\,\mathrm dx$ ；
若 $x=x(t), y=y(t)$ ，提公因式 $\mathrm dt$ 即得 $\mathrm ds = \sqrt{(x')^2 + (y')^2}\,\mathrm dt$ ；
若为极坐标 $x = r(\theta)\cos\theta, y = r(\theta)\sin\theta$ ，由微分运算法则： $\mathrm dx = (r'\cos\theta - r\sin\theta)\,\mathrm d\theta, \qquad \mathrm dy = (r'\sin\theta + r\cos\theta)\,\mathrm d\theta,$ 平方相加化简即得： $(\mathrm dx)^2 + (\mathrm dy)^2 = [r^2 + (r')^2](\mathrm d\theta)^2$ ，故 $\mathrm ds = \sqrt{r^2 + (r')^2}\,\mathrm d\theta$ 。

题型识别与解题策略

题型特征	推荐策略	注意事项
给定曲线与切线/坐标轴围成面积	画草图判断交点，优选单重积分不分段的坐标轴方向	严格检验被积函数正负性，在 $x$ 轴下方需加绝对值
绕任意平行线（如 $y=c$ ）旋转体积	使用圆柱壳/二重积分统领公式，距离为 $	y-c
参数方程曲线求面积/体积/弧长	统一换元到参数 $t$ ，微分项 $\mathrm dx = x'(t)\,\mathrm dt$ 务必同步代换	积分限的上下对应关系必须与 $x$ 的积分方向一致
绕 $y$ 轴侧面积	对调 $x$ 与 $y$ 的角色转化为标准的绕 $x$ 轴侧面积	点坐标与定义域需同步对调
组合几何体（如圆弧+星形线）	拆分为规则立体（球、圆锥）减去不规则部分	表面积包含所有暴露曲面，注意是否包含底面

3.6.1 平面图形的面积

平面区域 $D$ 的面积本质上即为常数函数 $1$ 在 $D$ 上的二重积分：

S = \iint_D 1\,\mathrm d\sigma.

1. 直角坐标系下的面积

若区域 $D$ 由两条曲线 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ （满足 $f(x) \ge g(x)$ ）以及两条直线 $x=a, x=b$ （ $a < b$ ）围成：

S = \iint_D 1\,\mathrm d\sigma = \int_a^b \mathrm dx \int_{g(x)}^{f(x)} 1\,\mathrm dy = \int_a^b [f(x) - g(x)]\,\mathrm dx.

3.6_01_平面图形面积_直角坐标.png

2. 极坐标系下的面积

若区域 $D$ 由极坐标曲线 $r = r(\theta)$ 与两条射线 $\theta = \alpha, \theta = \beta$ （ $\alpha < \beta$ ）围成：

S = \iint_D 1\,\mathrm d\sigma = \int_\alpha^\beta \mathrm d\theta \int_0^{r(\theta)} r\,\mathrm dr = \frac{1}{2}\int_\alpha^\beta r^2(\theta)\,\mathrm d\theta.

3.6_02_平面图形面积_极坐标.png

3.6.2 旋转体体积

1. 绕一般直线旋转的二重积分公式

设平面区域 $D$ 绕直线 $L: ax + by + c = 0$ （该直线不穿过区域 $D$ 内部）旋转一周，所得旋转体体积记为 $V$ 。在区域 $D$ 中取面元 $\mathrm d\sigma$ ，点 $(x,y)$ 到旋转轴 $L$ 的垂直距离为：

r(x,y) = \frac{|ax + by + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}.

薄圆柱壳环状微元体积为 $\mathrm dV = 2\pi r(x,y)\,\mathrm d\sigma$ ，在 $D$ 上累加得到统领公式：

V = 2\pi \iint_D r(x,y)\,\mathrm d\sigma.

3.6_03_旋转体体积_一般直线距离.png

2. 绕直角坐标轴旋转的特例

设区域 $D$ 由曲线 $y=f(x) \ge 0$ 、直线 $x=a$ 、 $x=b$ （ $0 \le a < b$ ）及 $x$ 轴围成：

3.6_04_旋转体体积_绕坐标轴旋转.png

绕 $x$ 轴旋转一周：旋转半径 $r(x,y) = y$ ： $V_x = 2\pi \iint_D y\,\mathrm d\sigma = 2\pi \int_a^b \mathrm dx \int_0^{f(x)} y\,\mathrm dy = \pi \int_a^b f^2(x)\,\mathrm dx.$
绕 $y$ 轴旋转一周：旋转半径 $r(x,y) = x$ ： $V_y = 2\pi \iint_D x\,\mathrm d\sigma = 2\pi \int_a^b \mathrm dx \int_0^{f(x)} x\,\mathrm dy = 2\pi \int_a^b x f(x)\,\mathrm dx.$

3.6.3 弧长公式（数三不要求）

平面光滑曲线弧长的统一计算公式为：

s = \int_C \mathrm ds.

曲线方程形式	参数范围	弧微分 $\mathrm ds$	弧长计算公式 $s$
直角坐标 $y=y(x)$	$a \le x \le b$	$\sqrt{1 + [y'(x)]^2}\,\mathrm dx$	$s = \int_a^b \sqrt{1 + [y'(x)]^2}\,\mathrm dx$
参数方程 $\begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \end{cases}$	$\alpha \le t \le \beta$	$\sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2}\,\mathrm dt$	$s = \int_\alpha^\beta \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2}\,\mathrm dt$
极坐标 $r=r(\theta)$	$\alpha \le \theta \le \beta$	$\sqrt{[r(\theta)]^2 + [r'(\theta)]^2}\,\mathrm d\theta$	$s = \int_\alpha^\beta \sqrt{r^2(\theta) + [r'(\theta)]^2}\,\mathrm d\theta$

3.6.4 旋转体侧面积（数三不要求）

曲线 $y = f(x) \ge 0$ （ $a \le x \le b$ ）绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体侧面积为：

S_x = 2\pi \int_C y\,\mathrm ds = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1 + [f'(x)]^2}\,\mathrm dx.

3.6.5 形心、质心、重心（数三不要求）

1. 平面上曲边梯形的形心坐标

设平面区域 $D = \{ (x,y) \mid 0 \le y \le f(x),\ a \le x \le b \}$ ， $y = f(x)$ 连续。

3.6_13_平面曲边梯形形心坐标推导.png

利用二重积分推导：

形心横坐标 $\bar{x}$ ： $\bar{x} = \frac{\iint_D x\,\mathrm d\sigma}{\iint_D 1\,\mathrm d\sigma} = \frac{\int_a^b x f(x)\,\mathrm dx}{\int_a^b f(x)\,\mathrm dx}.$
形心纵坐标 $\bar{y}$ ： $\bar{y} = \frac{\iint_D y\,\mathrm d\sigma}{\iint_D 1\,\mathrm d\sigma} = \frac{\frac{1}{2}\int_a^b f^2(x)\,\mathrm dx}{\int_a^b f(x)\,\mathrm dx}.$

2. 质心坐标公式（仅数学一、数学二）

一维非均匀细棒（线密度 $\rho(x)$ ）： $\bar{x} = \frac{\int_a^b x\rho(x)\,\mathrm dx}{\int_a^b \rho(x)\,\mathrm dx}.$
平面薄片（面密度 $\rho(x,y)$ ）： $\bar{x} = \frac{\iint_D x\rho(x,y)\,\mathrm d\sigma}{\iint_D \rho(x,y)\,\mathrm d\sigma}, \qquad \bar{y} = \frac{\iint_D y\rho(x,y)\,\mathrm d\sigma}{\iint_D \rho(x,y)\,\mathrm d\sigma}.$

3.6.6 平行截面面积已知的立体体积（数三不要求）

在区间 $[a,b]$ 上，垂直于 $x$ 轴的平面截立体 $\Omega$ 所得截面面积若为连续函数 $A(x)$ ，取微元 $\mathrm dV = A(x)\,\mathrm dx$ ：

V = \int_a^b A(x)\,\mathrm dx.

3.6_14_平行截面面积已知的立体体积.png

参数方程换元的代数本质

3.6_14b_参数方程换元本质核心图解.png

若曲线由参数方程 $\begin{cases} x = g(t) \\ y = h(t) \end{cases}$ 给出：

$f(x) = h(t) = y$ ；
$\mathrm dx = g'(t)\,\mathrm dt$ 。

由此得到定积分的恒等转换：

\int_a^b y\,\mathrm dx = \int_{t_1}^{t_2} h(t) g'(t)\,\mathrm dt = \int_{t_1}^{t_2} y(t)x'(t)\,\mathrm dt.

换元必须保证被积式、微分微元、积分上下限三者对应关系完全一致。

典型例题

3.6_05_例3.103_切线与抛物线围成区域.png

设切点为 $(x_0, y_0)$ ，切线斜率 $k = 2x_0$ 。过点 $(1,0)$ 的切线方程为 $y = 2x_0(x - 1)$ 。代入切点坐标： $x_0^2 = 2x_0(x_0 - 1) \implies x_0^2 - 2x_0 = 0$ 。由题意切点在第一象限，得 $x_0 = 2, y_0 = 4, k = 4$ 。切线方程为 $y = 4(x - 1) \iff x = \frac{y}{4} + 1$ 。

区域 $D$ 若视为 $Y$ -型区域无需分段：

D = \left\{ (x,y) \,\middle|\, 0 \le y \le 4,\ \sqrt{y} \le x \le \frac{y}{4} + 1 \right\}.

（1）求面积 $A$ ：

A = \iint_D 1\,\mathrm d\sigma = \int_0^4 \mathrm dy \int_{\sqrt{y}}^{\frac{y}{4}+1} \mathrm dx = \int_0^4 \left( \frac{y}{4} + 1 - \sqrt{y} \right)\,\mathrm dy = \left[ \frac{y^2}{8} + y - \frac{2}{3}y^{3/2} \right]_0^4 = \mathbf{\frac{2}{3}}.

（2）求绕 $x$ 轴体积 $V_x$ ：
旋转半径 $r(x,y) = y$ ：

\begin{aligned} V_x &= 2\pi \iint_D y\,\mathrm d\sigma = 2\pi \int_0^4 y \left( \frac{y}{4} + 1 - \sqrt{y} \right)\,\mathrm dy \\ &= 2\pi \left[ \frac{y^3}{12} + \frac{y^2}{2} - \frac{2}{5}y^{5/2} \right]_0^4 = 2\pi \left( \frac{16}{3} + 8 - \frac{64}{5} \right) = \mathbf{\frac{16}{15}\pi}. \end{aligned}

（3）求绕 $y$ 轴体积 $V_y$ ：
旋转半径 $r(x,y) = x$ ：

\begin{aligned} V_y &= 2\pi \iint_D x\,\mathrm d\sigma = 2\pi \int_0^4 \mathrm dy \int_{\sqrt{y}}^{\frac{y}{4}+1} x\,\mathrm dx \\ &= \pi \int_0^4 \left[ \left(\frac{y}{4} + 1\right)^2 - y \right]\,\mathrm dy = \pi \left[ \frac{y^3}{48} - \frac{y^2}{4} + y \right]_0^4 = \mathbf{\frac{4}{3}\pi}. \end{aligned}

（4）求绕直线 $y = 4$ 体积 $V_{y=4}$ ：
旋转半径 $r(x,y) = 4 - y$ ：

V_{y=4} = 2\pi \iint_D (4 - y)\,\mathrm d\sigma = 4 \cdot 2\pi \iint_D 1\,\mathrm d\sigma - 2\pi \iint_D y\,\mathrm d\sigma = 8\pi A - V_x = 8\pi\left(\frac{2}{3}\right) - \frac{16}{15}\pi = \mathbf{\frac{64}{15}\pi}.

3.6_06_例3.104_对数螺线围成区域及旋转体.png

（1）求面积 $A$ ：

A = \iint_D 1\,\mathrm d\sigma = \int_0^\pi \mathrm d\theta \int_0^{e^\theta} r\,\mathrm dr = \frac{1}{2}\int_0^\pi e^{2\theta}\,\mathrm d\theta = \mathbf{\frac{1}{4}(e^{2\pi} - 1)}.

（2）求绕极轴（ $x$ 轴）旋转体积 $V$ ：
微元点到极轴距离为 $y = r\sin\theta$ ：

\begin{aligned} V &= 2\pi \iint_D y\,\mathrm d\sigma = 2\pi \int_0^\pi \mathrm d\theta \int_0^{e^\theta} (r\sin\theta) \cdot r\,\mathrm dr \\ &= \frac{2\pi}{3}\int_0^\pi e^{3\theta}\sin\theta\,\mathrm d\theta. \end{aligned}

利用分部积分公式 $\int e^{ax}\sin bx\,\mathrm dx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin bx - b\cos bx)$ ：

\int_0^\pi e^{3\theta}\sin\theta\,\mathrm d\theta = \left[ \frac{e^{3\theta}}{10}(3\sin\theta - \cos\theta) \right]_0^\pi = \frac{e^{3\pi}+1}{10}.

故体积为：

V = \frac{2\pi}{3} \cdot \frac{e^{3\pi} + 1}{10} = \mathbf{\frac{\pi}{15}(e^{3\pi} + 1)}.

3.6_07_例3.105_三叶玫瑰线极坐标.png

3.6_08_例3.106_三叶玫瑰线对称花瓣.png

3.6_09_例3.107_反解单调函数与旋转体.png

第 1 步：解函数方程求 $f(x)$
原式为： $2f(x) + x^2 f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{x^2+2x}{\sqrt{1+x^2}}$ (1)。
以 $\frac{1}{x}$ 代换 $x$ 得： $2f\left(\frac{1}{x}\right) + \frac{1}{x^2}f(x) = \frac{1+2x}{x\sqrt{1+x^2}}$ (2)。
由 $\frac{2}{x^2} \times (1) - (2)$ 消去 $f(1/x)$ ，解得：

f(x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}, \qquad x \in (0,+\infty).

第 2 步：单调性与反解
$f'(x) = \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} > 0$ ，故 $f(x)$ 严格单调增加。
由 $y = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ 反解得： $x = \frac{y}{\sqrt{1-y^2}}$ 。

第 3 步：计算绕 $x$ 轴旋转体体积（圆柱壳法）
区域由 $y \in [1/2, \sqrt{3}/2]$ ，左边界 $x=0$ ，右边界 $x = \frac{y}{\sqrt{1-y^2}}$ 围成。绕 $x$ 轴旋转半径为 $y$ ：

V = 2\pi \int_{1/2}^{\sqrt{3}/2} y \cdot \frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\,\mathrm dy = 2\pi \int_{1/2}^{\sqrt{3}/2} \frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}\,\mathrm dy.

作三角代换 $y = \sin t$ （ $t \in [\pi/6, \pi/3]$ ）：

V = 2\pi \int_{\pi/6}^{\pi/3} \sin^2 t\,\mathrm dt = \pi \left[ t - \frac{\sin 2t}{2} \right]_{\pi/6}^{\pi/3} = \mathbf{\frac{\pi^2}{6}}.

3.6_10_例3.108_双圆弧对称容器容积.png

对称性化简：
上半段圆弧为 $x^2 + (y-1)^2 = 1$ （ $y \in [1/2, 2]$ ，高度为 $1.5$ ）；下半段圆弧为 $x^2 + y^2 = 1$ （ $y \in [-1, 1/2]$ ，高度同样为 $1.5$ ）。
两段曲线绕 $y$ 轴所得旋转体关于分割线 $y=1/2$ 形状与体积完全对称，故总容积 $V = 2V_1$ 。

计算上半部分体积： $x^2 = 2y - y^2$ ：

V_1 = \pi \int_{1/2}^2 x^2\,\mathrm dy = \pi \int_{1/2}^2 (2y - y^2)\,\mathrm dy = \pi \left[ y^2 - \frac{y^3}{3} \right]_{1/2}^2 = \frac{9}{8}\pi.

故容器总容积为：

V = 2V_1 = 2 \times \frac{9}{8}\pi = \mathbf{\frac{9}{4}\pi}.

3.6_11_例3.109_曲线正负判定与表格法.png

答案： $\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n^2}(1 - e^{-n})$
符号检验：令 $y=0$ 得交点 $x=-1$ 与 $x=0$ 。
当 $x \in (-1, 0)$ 时， $x+1 > 0$ ，而 $nx < 0 \implies e^{nx} - 1 < 0$ 。因此 $y(x) < 0$ ，曲线在 $x$ 轴下方。
面积应加负号：

S = \int_{-1}^0 |y(x)|\,\mathrm dx = \int_{-1}^0 (x+1)(1 - e^{nx})\,\mathrm dx = \int_{-1}^0 (x+1)\,\mathrm dx - \int_{-1}^0 (x+1)e^{nx}\,\mathrm dx.

第一项为 $\frac{1}{2}$ ；第二项采用分部积分：

\int_{-1}^0 (x+1)e^{nx}\,\mathrm dx = \left[ \left(\frac{x+1}{n} - \frac{1}{n^2}\right)e^{nx} \right]_{-1}^0 = \frac{1}{n} - \frac{1}{n^2}(1 - e^{-n}).

两项相减即得：

S = \mathbf{\frac{1}{2} - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}(1 - e^{-n})}.

3.6_12_例3.110_对称区域与绕直线旋转.png 3.6_12b_例3.110_对称性分析草图.png

第 1 步：确定曲线方程与定义域
对 $y$ 积分得 $f(x,y) = (y+1)^2 + g(x)$ 。由初值条件解得 $g(x) = -(2-x)\ln x$ 。
曲线方程为 $(y+1)^2 = (2-x)\ln x$ 。
因 $(y+1)^2 \ge 0$ ，结合 $x>0$ 得积分区间为 $x \in [1, 2]$ 。曲线关于直线 $y = -1$ 严格对称。

第 2 步：垂直于 $x$ 轴的圆截面法
截面是以 $(x,-1)$ 为圆心的圆，截面半径平方为 $R^2(x) = (y+1)^2 = (2-x)\ln x$ 。
体积为：

V = \pi \int_1^2 R^2(x)\,\mathrm dx = \pi \int_1^2 (2-x)\ln x\,\mathrm dx.

第 3 步：分部积分求解
凑微分 $(2-x)\,\mathrm dx = -\mathrm d\left[\frac{(2-x)^2}{2}\right]$ ：

\int_1^2 (2-x)\ln x\,\mathrm dx = -\left[ \ln x \cdot \frac{(2-x)^2}{2} \right]_1^2 + \int_1^2 \frac{(2-x)^2}{2x}\,\mathrm dx.

端点项在 $x=2$ 与 $x=1$ 处均为 $0$ 。
展开分子积分：

\int_1^2 \left( \frac{x}{2} - 2 + \frac{2}{x} \right)\,\mathrm dx = \left[ \frac{x^2}{4} - 2x + 2\ln x \right]_1^2 = 2\ln 2 - \frac{5}{4}.

故体积为：

V = \mathbf{\left( 2\ln 2 - \frac{5}{4} \right)\pi}.

3.6_15_例3.111_星形线四象限对称示意图.png

星形线具有四象限对称性。在第一象限 $t \in [0, \pi/2]$ ： $x'(t) = -3a\cos^2 t\sin t, y'(t) = 3a\sin^2 t\cos t$ ，弧微分 $\mathrm ds = 3a\sin t\cos t\,\mathrm dt$ 。

（1）面积 $A$ ：

A = 4\int_0^a y\,\mathrm dx = 12a^2\int_0^{\pi/2} \sin^4 t\cos^2 t\,\mathrm dt = 12a^2\left(\int_0^{\pi/2}\sin^4 t\,\mathrm dt - \int_0^{\pi/2}\sin^6 t\,\mathrm dt\right) = \mathbf{\frac{3\pi a^2}{8}}.

（2）周长 $L$ ：

L = 4\int_0^{\pi/2} \mathrm ds = 12a\int_0^{\pi/2} \sin t\cos t\,\mathrm dt = \mathbf{6a}.

（3）体积 $V_x$ 与侧面积 $S_x$ ：

V_x = 2\pi \int_0^a y^2\,\mathrm dx = 6\pi a^3\left(\int_0^{\pi/2}\sin^7 t\,\mathrm dt - \int_0^{\pi/2}\sin^9 t\,\mathrm dt\right) = 6\pi a^3 \cdot \frac{16}{315} = \mathbf{\frac{32}{105}\pi a^3}.

S_x = 4\pi \int_0^{\pi/2} y\,\mathrm ds = 12\pi a^2 \int_0^{\pi/2} \sin^4 t\,\mathrm d(\sin t) = \mathbf{\frac{12}{5}\pi a^2}.

3.6_16_例3.115_单位圆弧与星形线组合旋转体.png

区域 $D = D_1 \setminus D_2$ ，其中 $D_1$ 为单位四分之一圆域， $D_2$ 为星形线在第一象限围成区域。

体积计算：

单位圆绕 $x$ 轴旋转生成半球体： $V_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{2}{3}\pi$ ；
星形线旋转体体积： $V_2 = 3\pi \int_0^{\pi/2} (\sin^7 t - \sin^9 t)\,\mathrm dt = \frac{16}{105}\pi$ ；
所求体积： $V = V_1 - V_2 = \frac{2}{3}\pi - \frac{16}{105}\pi = \mathbf{\frac{18}{35}\pi}$ 。

表面积计算：旋转体表面由外部半球面 $S_1$ 与内部星形线旋转曲面 $S_2$ 组成：

$S_1 = \frac{1}{2}(4\pi R^2) = 2\pi$ ；
$S_2 = 2\pi \int_0^{\pi/2} y\,\mathrm ds = 6\pi \int_0^{\pi/2} \sin^4 t\,\mathrm d(\sin t) = \frac{6}{5}\pi$ ；
总表面积： $S = S_1 + S_2 = 2\pi + \frac{6}{5}\pi = \mathbf{\frac{16}{5}\pi}$ 。

答案： $\dfrac{\pi}{6}(17\sqrt{17} - 5\sqrt{5})$

方法一（常规按 $y$ 积分）：
反解 $x = \sqrt{y}$ （ $1 \le y \le 4$ ），导数 $x'(y) = \frac{1}{2\sqrt{y}}$ 。
$S = 2\pi \int_1^4 x \sqrt{1 + [x'(y)]^2}\,\mathrm dy = 2\pi \int_1^4 \sqrt{y+\frac{1}{4}}\,\mathrm dy = \mathbf{\frac{\pi}{6}(17\sqrt{17} - 5\sqrt{5})}.$
方法二（ $x$ 与 $y$ 坐标对偶转化法）：
将题目中所有 $x$ 与 $y$ 的角色对换，原问题等价于：
“曲线 $y = \sqrt{x}$ 从点 $(1,1)$ 到点 $(4,2)$ 的弧段绕 $x$ 轴旋转一周的侧面积”。
直接套用标准绕 $x$ 轴侧面积公式：
$S = 2\pi \int_1^4 y \sqrt{1 + [y'(x)]^2}\,\mathrm dx = 2\pi \int_1^4 \sqrt{x} \sqrt{1 + \frac{1}{4x}}\,\mathrm dx = 2\pi \int_1^4 \sqrt{x+\frac{1}{4}}\,\mathrm dx = \mathbf{\frac{\pi}{6}(17\sqrt{17} - 5\sqrt{5})}.$
两种方法结果一致，方法二将非标准旋转轴转化为标准 $x$ 轴模型，降低出错概率。

易错点

旋转半径符号与常数偏置：绕直线 $y=c$ 旋转时，微元到轴的距离是 $|y-c|$ 而非简单的 $y$ 或 $c-y$ 。如果区域在轴的两侧，积分必须拆开（不能跨轴旋转）。
面积正负号漏判：曲线在 $x$ 轴下方时 $y(x) < 0$ ，求面积必须取绝对值 $-y(x)$ 。例 3.109 中因 $nx<0$ ，被积函数为负，漏掉负号将全题扣分。
侧面积混淆 $\mathrm ds$ 与 $\mathrm dx$ ：旋转体侧面积微元是 $2\pi y\,\mathrm ds$ （带弧微分），绝不能写成 $2\pi y\,\mathrm dx$ 。
极坐标弧长公式记错：极坐标弧微元为 $\sqrt{r^2 + (r')^2}\,\mathrm d\theta$ ，不是 $\sqrt{1+(r')^2}$ 。
表面积与侧面积概念混淆：表面积不仅包括曲面侧面积，还必须考察是否有露出平面的底面积（如例 3.115 外部半球面与内部星形曲面之和）。
参数方程积分限次序写反：使用参数方程求面积或体积时，参数 $t$ 的上下限必须严格对应 $x$ 的起点与终点；如果对应出来的 $t$ 上限小于下限，应严格保留原方向带入，由定向积分自动处理符号，切勿随意调换上下限。

我的总结

定积分几何应用这一节在考研数学中属于高频考点，我的复盘策略总结为三条主线：

体积用二重积分/柱壳思想统领：只要旋转轴平行于坐标轴（如 $y=-1$ 或 $y=4$ ），写出旋转半径 $r(x,y)$ ，直接列出 $V = 2\pi \iint_D r(x,y)\,\mathrm d\sigma$ 。这样无需纠结切片法还是柱壳法，根据区域特点自由选择 $X$ -型或 $Y$ -型累次积分。
充分挖掘图形对称性：
- 几何对称（如例 3.108 容器上下对称、例 3.110 上下对称）直接取半乘以 $2$ ；
- 参数对称（星形线例 3.111）取四分之一周期配合 Wallis 公式秒杀。
坐标对偶转化的妙用：遇到绕 $y$ 轴侧面积等非标准模型，通过对调 $x,y$ 坐标轴转化为绕 $x$ 轴标准模型，能有效减少考场公式混淆。

参考资料

考研数学历年真题（年份与卷种随题标注：2010 数二、2011 数二、2012 数二、2013 数二、2014 数二、2016 数二、2020 数二、2022 数二）
同济大学数学系《高等数学》第七版（定积分的几何应用章节）
考研数学主流辅导资料（张宇《高数十八讲》《1000题》例 3.115.1，李艳芳六套卷例 3.109）
本人考研课程学习笔记，关于二重积分统领旋转体体积微元以及坐标对偶转化解法的归纳整理

ギターと孤独と蒼い惑星

3.6 定积分几何应用

3.6 定积分几何应用

核心结论

1. 面积公式体系

2. 旋转体体积公式体系

3. 弧长与侧面积公式体系（数三不要求）

4. 形心与平行截面立体（数三不要求）

原理与推导

1. 旋转体体积的柱壳微元与二重积分统一性

2. 弧微分的几何推导

题型识别与解题策略

3.6.1 平面图形的面积

1. 直角坐标系下的面积

2. 极坐标系下的面积

3.6.2 旋转体体积

1. 绕一般直线旋转的二重积分公式

2. 绕直角坐标轴旋转的特例

3.6.3 弧长公式（数三不要求）

3.6.4 旋转体侧面积（数三不要求）

3.6.5 形心、质心、重心（数三不要求）

1. 平面上曲边梯形的形心坐标

2. 质心坐标公式（仅数学一、数学二）

3.6.6 平行截面面积已知的立体体积（数三不要求）

参数方程换元的代数本质

典型例题

易错点

我的总结

参考资料

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